楊潤歌 王瀟 郜舒竹

【摘? ?要】通過對“上山下山”問題、“漲價降價”問題和“雞兔同籠”問題的分析，可以發(fā)現(xiàn)若實現(xiàn)平均的平均即強(qiáng)度量的平均，應(yīng)滿足單位大小對應(yīng)和單位數(shù)量對應(yīng)的條件。之所以能夠?qū)崿F(xiàn)單位對應(yīng)，是因為在“求同”思維的驅(qū)使下利用了“多多轉(zhuǎn)換”的辯證思維過程。

【關(guān)鍵詞】平均;單位;單位化;多多轉(zhuǎn)換;強(qiáng)度量

在日常生活中，經(jīng)常會遇到“分東西”的情境，如將一定數(shù)量的橘子分成幾份，問每份有幾個，或?qū)⒁欢温烦谭殖蓭锥危瑔柮慷斡卸嚅L等。這類問題通常借助“平均分”即總數(shù)除以份數(shù)來求得相應(yīng)結(jié)果，但是當(dāng)求解兩個小組的平均成績時，在某些情況下為何不能利用兩組的平均分之和除以2呢？平均的平均為什么會出現(xiàn)不平均的情況？

一、平均的平均

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中，二年級初學(xué)除法時最早接觸了“平均”這一概念，到四年級時出現(xiàn)了“平均數(shù)”。平均數(shù)代表了一組數(shù)據(jù)的平均水平，例如“假設(shè)第一組5個同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分別為92分、94分、97分、90分和100分，其平均分是94.6分;第二組4個同學(xué)的數(shù)學(xué)成績分別為87分、90分、92分和93分，其平均分是90.5分”。通過平均數(shù)能判斷出第一組同學(xué)的數(shù)學(xué)水平更高，而兩組的平均分又是多少呢？通常采用的方法是“總分之和除以總?cè)藬?shù)”，即：[92+94+97+90+100+87+90+92+939]

≈92.78（分）。

但是借助兩組的“平均分之和除以總組數(shù)（[94.6+90.52=92.55]）”為何不對呢？或者說“平均的平均”不平均的原因是什么？關(guān)于這一點將借助圖1予以解釋。

當(dāng)兩組的平均分之和除以總組數(shù)，也就是除以“2”時，會發(fā)現(xiàn)兩個小組的人數(shù)不同，第一組5個人的平均分為94.6分，第二組4個人的平均分為90.5分。在平均的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再次平均時，第一組的第一個人可與第二組的第一個人對應(yīng)，第一組的第二個人與第二組的第二個人對應(yīng)……如此進(jìn)行下去會發(fā)現(xiàn)第一組的第五個人將被剩下。也就是說如果將每個人的平均成績看作一個單位時，第一組有5個單位，第二組有4個單位，由于單位數(shù)量的不對應(yīng)阻礙了平均的平均。由此表明“兩組的平均分之和除以總組數(shù)”的不合理性，若想合理則要保證單位數(shù)量的對應(yīng)。

由此可見，當(dāng)單位數(shù)量之間達(dá)到“同構(gòu)（Isomorphism）”時，才能實現(xiàn)平均的平均。同構(gòu)是指對象之間“結(jié)構(gòu)相同”，遵循“一一對應(yīng)（One-One Mapping）”的原則。[1]這樣的對應(yīng)不僅體現(xiàn)在單位數(shù)量上，還體現(xiàn)在單位的大小上。關(guān)于單位大小的對應(yīng)接下來將借助“上山下山”問題、“漲價降價”問題和“雞兔同籠”問題進(jìn)一步說明如何實現(xiàn)平均的平均。

二、“上山下山”的平均速度與速度的平均

“上山下山”問題是指“小明上山以2米/秒的速度行進(jìn)，下山以3米/秒的速度行進(jìn)，求小明行進(jìn)的平均速度”。對于“平均速度”通?？梢越柚烦膛c時間的數(shù)量關(guān)系求得，卻不能借助“速度的平均”來求得。

在該問題中，上山每秒所對應(yīng)的路程是2米，下山每秒所對應(yīng)的路程是3米，可將每秒所對應(yīng)的路程看作單位，此時上山與下山的單位大小并不對應(yīng)。在上山與下山路程相同的前提下，可以假定上山和下山的路程都是6米，那么上山的2米有3份，下山的3米有2份（如圖2所示）。其中的3份和2份是指單位的數(shù)量，由此單位數(shù)量也不存在對應(yīng)關(guān)系。由于總路程6米是固定的，所以單位大小的不對應(yīng)導(dǎo)致了單位數(shù)量的不對應(yīng)。

既然單位數(shù)量不對應(yīng)，則無法將下山時每一單位中多余出的1米平均分到上山與下山的每份中?；趩挝坏牟粚?yīng)，導(dǎo)致無法形成同構(gòu)的一一對應(yīng)關(guān)系，也就不能實現(xiàn)速度的平均。所以能否先通過轉(zhuǎn)換實現(xiàn)單位大小對應(yīng)后再來解決問題呢？

在下山時，可將每秒3米的路程轉(zhuǎn)換成每秒2米，2份單位里會多出2個1米。此時上山與下山的單位大小均為2米，一共有5份，也就是單位數(shù)量為5，每份可以多增加0.4米[2×（3-2）5=0.4（米）]，所以最終的平均速度是[2.4]米/秒[0.4+2=2.4（米）]。由3米到2米的過程中蘊含了單位“多”與“多”之間的轉(zhuǎn)換，這里的“多”實際上是指單位數(shù)量的“多”。

上山與下山的路程都是“6米”，即有6個以“1米”為單位的量，可看作是單位的“多”;若將“6米”看作一個整體，即有1個以“6米”為單位的量，可看作是單位的“一”。這種理解同一事物的不同想法可稱為單位的“一多轉(zhuǎn)換”。除了“一多轉(zhuǎn)換”外，還有上述談及的“多多轉(zhuǎn)換”。3個“2米”和2個“3米”都可看作是單位的“多”?？蓪⒗谩耙欢噢D(zhuǎn)換”或“多多轉(zhuǎn)換”思考問題的認(rèn)知方式稱為單位化（Unitizing）。

實際上，利用單位化解決問題是在“求同（Identification）”思維的驅(qū)使下完成“多多轉(zhuǎn)換”的單位對應(yīng)。這是因為在多數(shù)情況下，人們更愿意基于相同的量來思考問題，也就是“求同存異”。

三、“先漲后降”不相同

“漲價降價”問題是指“某品牌商品先提價[20%]銷售，后期無人問津，不得不優(yōu)惠[20%]后銷售，問最后售價與當(dāng)初原價相比如何”。若按照生活經(jīng)驗來看，先給20個橘子，再拿走20個橘子，此時還有0個橘子;或者規(guī)定向東行進(jìn)的方向為正方向，先向東走20米，再向西走20米，此時將位于原位置。根據(jù)認(rèn)知主體的經(jīng)驗，兩個例子中前后變化了相同的范圍卻能保持原量不變（用算式可表達(dá)為“[20-202=0]”），由此推知“漲價降價”問題中，最終售價理應(yīng)等于當(dāng)初原價。這是通過直覺獲得的推斷，是一種直覺的結(jié)果。[2]而實際情況并非如此，可以說“等于原價”是一種反直覺現(xiàn)象。

假設(shè)這一商品的原價為100元，漲價[20%]或降價[20%]都可以表達(dá)為[15]。這一問題包括兩個環(huán)節(jié)，一個是漲價，另一個是降價。漲價是基于原價100元的[20%]，漲所對應(yīng)的單位是“20元”，而降價是基于漲價后120元的[20%]，降所對應(yīng)的單位是“24元”，所以“漲”與“降”的單位大小不對應(yīng)。漲價后由原價的5份20元，變成了6份20元，其單位數(shù)量是“6”;而降價既然是[20%]，也就是[15]，所以應(yīng)先將漲價后的6份20元轉(zhuǎn)換成5份24元，這樣看來，降價所對應(yīng)的單位數(shù)量是“5”。

既然漲價與降價的單位大小和單位數(shù)量均不滿足一一對應(yīng)的結(jié)構(gòu)，那么可以借助單位化的認(rèn)知過程達(dá)到“求同”。最初原價與漲價后的單位大小是對應(yīng)的，均為20元，由此可以直接進(jìn)行單位數(shù)量的對應(yīng)。如圖3所示，漲價后是6份20元，由于降價的要求是“優(yōu)惠[20%]”，所以6份應(yīng)轉(zhuǎn)換成5份，即選取6份中的1份平均分到其余5份中去。這樣由6份中的每1份20元，轉(zhuǎn)換到5份中每1份是24元的過程體現(xiàn)了“多多轉(zhuǎn)換”的思維過程。

如圖4所示，降價是基于5份24元的，而“優(yōu)惠[20%]”是指去掉其中的1份，得到最后售價有4份24元。由于最后售價與最初原價（5份20元）既沒有單位大小的對應(yīng)，也沒有單位數(shù)量的對應(yīng)，所以二者不能直接比較，由此要再次進(jìn)行“多多轉(zhuǎn)換”的思維過程。將降價后的每1份（共4份）中多出原價的部分（多出4元）拿出來，轉(zhuǎn)換成5份。轉(zhuǎn)換后的5份中，有4份均為20元，剩余1份是16元。此時在部分單位大小對應(yīng)和單位數(shù)量對應(yīng)的條件下，再比較最后售價與最初原價即可發(fā)現(xiàn)降價后比原價少4元。

在“漲價降價”問題中，價格是總價分配到某一數(shù)量上的單價，正如“速度”一樣，“價格”已然是平均后的結(jié)果，因此不可用[20%-20%2=0（元）]得到最終售價與原價相等的結(jié)論。對價格進(jìn)行再平均時，應(yīng)先借助單位化中的“多多轉(zhuǎn)換”思維，使最終售價與原價的單位大小與單位數(shù)量由異變同，再進(jìn)行比較。

四、“雞兔同籠”問題中的平均

“雞兔同籠”問題是指“同一個籠子里的雞和兔共35只，總足數(shù)為94，問雞和兔各有多少只”。這道歷史名題的解題方法與想法是多種多樣的，而利用單位化的認(rèn)知方式可以從一個新的視角來看待它。

如果將雞的“2條”腿看作一個單位，兔的“4條”腿看作一個單位，二者之間將不存在單位大小的對應(yīng)。因為二者只數(shù)不相等，所以單位數(shù)量也不對應(yīng)。若使單位大小對應(yīng)，可以將每只兔中的一條腿移到每只雞身上，這樣會在思維中存在“3條腿”的雞和“3條腿”的兔。顯然，在現(xiàn)實情境中，“3條腿”的雞和“3條腿”的兔是不合理的，這與“半足術(shù)”中談及的“一頭一足是雞，一頭二足是兔”是同樣的道理。[3]實際中的“非雞非兔”與思維中的“是雞是兔”體現(xiàn)了對立統(tǒng)一的思維規(guī)律。由此看來，“多多轉(zhuǎn)換”體現(xiàn)了單位化中所蘊含的辯證思維。

在單位大小相同的條件下，可以將94條腿平均分配給雞和兔，這樣得到的雞和兔各有47條腿。進(jìn)而得到3條腿的雞有15只，3條腿的兔有15只，各自余下2條腿，可以看作2條腿的雞有2只。此時雞與兔的單位大小對應(yīng)，單位數(shù)量對應(yīng)，所以可以將之前移給雞的腿再還給兔，這樣2條腿的雞有17只，4條腿的兔有15只。但此時不滿足總頭數(shù)的要求，所以“[35-17+15=3（只）]”，將少3只兔，多6只雞，原因在于從單位大小來看，雞是2條腿，兔是4條腿，二者為2倍關(guān)系，單位數(shù)量進(jìn)而也是2倍關(guān)系。上述過程可用下面的算式予以表達(dá)：

[94÷2=47（條）3條腿的雞： 47÷3=15（只）……2（條）3條腿的兔： 47÷3=15（只）……2（條）2條腿的雞： 1+1=2（只）35-17+15=3（只）2條腿的雞： 17+6=23（只）4條腿的兔： 15-3=12（只）]

也可以借助“單位”的眼光來思考本題。仍將94條腿平均分給雞與兔，這樣雞與兔都有47條腿。當(dāng)雞以“2條”腿為單位時，會有23只這樣的雞，余1條腿;當(dāng)兔以“4條”腿為單位時，會有11只這樣的兔，余3條腿。根據(jù)總頭數(shù)的要求，最終2條腿的雞有23只，4條腿的兔有12只，此過程可用下面的算式予以表達(dá)：

[94÷2=47（條）2條腿的雞： 47÷2=23（只）……1（條）4條腿的兔： 47÷4=11（只）……3（條）4條腿的兔： 11+1=12（只）]

實際情境中平均每只雞2條腿，每只兔4條腿，當(dāng)雞與兔的數(shù)量不對應(yīng)時，需要改變單位，從而實現(xiàn)平均的平均。上述兩種想法均從“單位”出發(fā)，無論是通過“多多轉(zhuǎn)換”將雞與兔的腿數(shù)統(tǒng)一，還是直接以“2條”腿與“4條”腿為單位將總足數(shù)進(jìn)行平分，都對“雞兔同籠”問題產(chǎn)生了新的思考。同時也借助該問題說明單位中蘊含的辯證思維。

五、平均的平均與強(qiáng)度量

通過上述案例可以發(fā)現(xiàn)，借助單位對應(yīng)（單位大小和單位數(shù)量對應(yīng)）可以實現(xiàn)“平均的平均”，但究其背后的原因離不開中世紀(jì)學(xué)者對質(zhì)的量化。

在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，長度、時間、面積、體積、質(zhì)量、貨幣和角度等常見的量都具有可加的屬性，稱為“廣延量（Extensive Quantity）”。[4]廣延量是對亞里士多德所提出的“量”范疇的描述。同時，亞里士多德還提出了與之相對的“質(zhì)”范疇，質(zhì)指事物的本質(zhì)差異，其運動稱為增強(qiáng)（Intension）或減弱（Remission）。中世紀(jì)的默頓學(xué)院（Merton School）試圖將“質(zhì)”與“量”范疇建立聯(lián)系，即對質(zhì)進(jìn)行量化，如速度、溫度、濃度等是否也可以用數(shù)字表示呢？對質(zhì)進(jìn)行量化后的結(jié)果為強(qiáng)度量（Intensive Quantity），它是一種程度（Degree）的表達(dá)，而該程度不可加，由此可知強(qiáng)度量具有不可加的屬性。

古希臘時期，亞里士多德指出“更快（Quicker）”是相對于在同一時間內(nèi)比“更慢（Slower）”穿越了更多的空間而言的。[5]此時，在同一時間內(nèi)，速度初次與空間建立了聯(lián)系，或者說是速度與路程建立了聯(lián)系，該聯(lián)系借助強(qiáng)弱程度予以表達(dá)。從中世紀(jì)開始，速度作為路程與時間的比率而存在，借助數(shù)字予以表達(dá)。若速度為廣延量則必滿足可加性，如“[2米/秒+1米/秒=3米/秒]”。其中“[2米/秒]”指[1秒]內(nèi)行駛的路程為[2][米]，現(xiàn)加上“[1米/秒]”，是在路程“[2米]”的基礎(chǔ)上，增加“[1米]”，得到總路程“[3米]”。此時“[3米]”的用時將大于[1秒]，有?！癧3米/秒]”，說明等式不成立“[2米/秒+1米/秒≠3米/秒]”，因而證明速度不可加，它屬于強(qiáng)度量。

一般來說，運動的物體在某一時間間隔內(nèi)運動的快慢不一定是時時一致的，因而借助[v=St]求得的速度，只能表示該物體在時間間隔“[t]”，或者說是“[Δt]”內(nèi)的平均快慢程度。由此來看，速度已然是平均后的結(jié)果。仍以“[2米/秒=2米1秒]”為例，其中的路程與時間均為廣延量，根據(jù)其可加性，可有如下的表達(dá)方式：

[2米=2米×14米=2米+2米=2米×26米=2米+2米+2米=2米×3……]

第一個等式表示[1秒]所對應(yīng)的總路程是[2米]即1個[2米];第二個等式表示[2秒]內(nèi)的總路程是[4米]即2個[2米];第三個等式表示[3秒]內(nèi)的總路程是[6米]即3個[2米]……當(dāng)上述無限可加的過程停止時，可用“[2米1=4米2=6米3]”表示路程與時間的關(guān)系，也就是速度。由此說明廣延量與強(qiáng)度量之間具有同一性，即廣延量間的比為強(qiáng)度量的表達(dá)。[6]從這一點出發(fā)，求速度的平均，實際是求平均的平均，或稱為求強(qiáng)度量的平均。

速度、價格以及工作效率等都屬于強(qiáng)度量，它們因其不可加的屬性，無法直接實現(xiàn)再平均。若實現(xiàn)再平均應(yīng)滿足單位對應(yīng)的條件，這是在“求同”思維的驅(qū)使下利用“多多轉(zhuǎn)換”的辯證思維過程。由此，單位化作為認(rèn)知事物的方式，若在數(shù)學(xué)課程中挖掘體現(xiàn)單位化的內(nèi)容，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷單位化的認(rèn)知過程，不僅有助于學(xué)生理解“平均”與“平均的平均”，還將發(fā)展學(xué)生的求同思維與辯證思維。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹. 為“錯”說理[J].教學(xué)月刊·小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2020（6）：4-9.

[2]郜舒竹.數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中反直覺現(xiàn)象舉隅[J].課程·教材·教法，2020（8）：72-77.

[3]郜舒竹.雞兔同籠問題中的辯證思維[J].課程·教材·教法，2019（9）：88-93.

[4]STAVY R， TIROSH D. How students （mis-）understand science and mathematics[M]. New York：Teachers College Press， 2000：13.

[5]CLAGETT M.The science of mechanics in the Middle Ages[M].London： Oxford University Press， 1961：179.

[6]CANAGARATNA， SEBASTIAN G . Intensive and extensive underused concepts[J]. Journal of Chemical Education，1992，69（12）：957-963.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）