葉立軍 趙亞婷

(杭州師范大學經(jīng)亨頤教育學院 311121)

1 問題提出

“概率與統(tǒng)計”是高中數(shù)學課程內(nèi)容的重要組成部分，在整個高中數(shù)學課程中占有中心地位．同時，數(shù)據(jù)分析是概率與統(tǒng)計教學的核心，概率與統(tǒng)計是學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)發(fā)展的知識載體．[1]以下以2020年和2021年新高考全國Ⅰ卷、Ⅱ卷為例，從宏觀與微觀兩個維度研究新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題的命題特征，對統(tǒng)計與概率的課堂教學提出建議，提高學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

2 概率與統(tǒng)計試題內(nèi)涵及特征

當前對概率與統(tǒng)計試題的概念沒有統(tǒng)一界定，本文中我們根據(jù)考查知識點的內(nèi)容將概率與統(tǒng)計試題內(nèi)涵界定為“考查內(nèi)容為概率與統(tǒng)計相關知識點的試題”．

概率與統(tǒng)計試題具有如下特征：

(1)應用性

概率與統(tǒng)計試題作為數(shù)學學科與生產(chǎn)生活實際聯(lián)系的主要渠道[2]，在現(xiàn)實生活中的應用極為廣泛，呈現(xiàn)生產(chǎn)、生活、科研等不同領域的應用需求，其分析結(jié)果用于解決現(xiàn)實問題，體現(xiàn)較強的應用性．

(2)情境性

情境是高考實現(xiàn)價值引領、素養(yǎng)導向綜合考查的載體．[3]概率與統(tǒng)計試題均設計了具有鮮明時代特色、新穎且真實的情境，考查學生在熟悉或陌生情境下利用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，體現(xiàn)較強的情境性．

(3)綜合性

概率與統(tǒng)計試題通過構建真實的情境將數(shù)學各個知識點串聯(lián)加以貫通考查，如在試題中除了考查概率統(tǒng)計之外，還考查函數(shù)、數(shù)列等內(nèi)容．同時，概率與統(tǒng)計試題也關注綜合核心素養(yǎng)的考查，在關注數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的同時也關注邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)．

3 概率與統(tǒng)計試題分析

3.1 分析框架

依據(jù)概率與統(tǒng)計試題的內(nèi)涵與特征，從宏觀與微觀兩個方面分析新高考全國卷中的相關試題，如表1．

表1 分析框架

宏觀方面為概率與統(tǒng)計試題的分布情況以及根據(jù)PISA2021的分類對試題的背景情境進行分析．其中，把PISA2021中的科學情境分離出純數(shù)學情境．

微觀方面借鑒高中數(shù)學課程標準對核心素養(yǎng)劃分的四個維度、三個水平進行分析．

3.2 宏觀分析

(1)試題分布分析

統(tǒng)計2020年與2021年新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題的題型、分值和總分情況，如表2．

表2 概率與統(tǒng)計試題的分布情況

由表2，新高考全國卷分為Ⅰ、Ⅱ卷，從試題類型上看，新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題分布在選擇與解答這兩個部分，基本上是以一道單選題(5分)、一道多選題(5分)、一道解答題(12分)，總分22分的固定模式進行考查．

(2)背景情境分析

依據(jù)改變后的PISA2021對概率與統(tǒng)計試題進行分析，如表3．

表3 概率與統(tǒng)計試題情境分析表

由表3，2020年新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題傾向于借助社會背景來考查學生對知識的掌握，其他背景情境比較欠缺．而2021年新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題的背景情境類型較豐富，不僅僅局限于社會情境．2021年新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題在關注社會現(xiàn)象的同時也在關注試題與生活的聯(lián)系、跨學科的應用．

3.3 微觀分析

按數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)四個維度進行分析，如表4．

表4 概率與統(tǒng)計試題四個維度考查情況

由表4，在情境與問題方面，新高考全國卷均從熟悉的情境來設計數(shù)學問題．同時，2021Ⅰ卷以“一帶一路”為背景進行考查，結(jié)合時政、關注社會發(fā)展．在知識與技能方面，試題主要考查統(tǒng)計圖識別、幾何概型、古典概型與排列組合，或附加考查函數(shù)的內(nèi)容，關注知識的整合．在思維與表達方面，主要要求學生在一定程度上可以利用離散型隨機變量思想去描述和分析隨機現(xiàn)象，也關注學生可以用統(tǒng)計或概率模型表達隨機現(xiàn)象，體會統(tǒng)計和概率的模型思想．在交流與反思方面，按照“反思”的含義，學生在做題時也有“反思”的過程[4]，比如檢查計算的結(jié)果等．

對概率與統(tǒng)計選擇題部分按數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)三個水平進行分析，如表5．

表5 概率與統(tǒng)計試題三個水平考查情況

由表5，新高考全國卷中概率與統(tǒng)計試題選擇題部分集中考查水平一和水平二，對水平三的考查較少．其中，在2020Ⅰ卷中出現(xiàn)利用概率部分知識考查新定義試題，在核心素養(yǎng)的四個維度中考查水平較高．而解答題部分在核心素養(yǎng)的四個維度除了交流與反思外，其余水平均達到水平二，并且2021Ⅱ卷的解答題在知識與技能、思維與表達方面均達到水平三．新高考全國卷均在關聯(lián)的情境中，對學生能否針對具體問題，運用適當?shù)慕y(tǒng)計或概率模型解決問題，用統(tǒng)計或概率模型表達隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律進行考查．

為了解新高考全國卷在核心素養(yǎng)的四個維度考查哪個水平為主，繪制數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的三個水平百分比堆積圖，得圖1．

圖1

由圖1，數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)集中考查水平一和水平二，對高水平素養(yǎng)考查較少．可見數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查比較重視基礎，以知識的理解和遷移為主，較少考查知識創(chuàng)新．

4 試題命題特征

4.1 試題立意高、起點低，注重對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查

新課標要求在概率與統(tǒng)計方面注重基本概念的理解，著眼于知識在理解基礎上的應用．[5]新高考全國卷概率與統(tǒng)計試題體現(xiàn)課標要求，注重學生在解決問題的同時培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)，但試題起點較低，考查均為常規(guī)的、熟悉的知識內(nèi)容，考查水平集中在水平一和水平二．

例1(2020Ⅰ卷第3題)6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去一個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有( )．

A．120種 B．90種 C．60種 D．30種

例2(2020Ⅰ卷第6題)安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有( )．

A．2種 B．3種 C．6種 D．8種

例3(2021Ⅰ卷第8題)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( ).

A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立

C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立

例1和例2考查的知識點是基礎的分步乘法計數(shù)原理，體會統(tǒng)計的模型思想．例3的知識點是事件的相互獨立性，體會概率的模型思想．這三題均是對數(shù)據(jù)分析水平一的考查，要求學生能夠面對熟悉的情境選擇合適的統(tǒng)計概率模型來解決問題，關注學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．此類題以單選題為主，考查難度不高．

4.2 試題體現(xiàn)綜合性，注重考查綜合應用能力

新高考全國卷試題具有較強的綜合性，注重知識點的整合和運用．具體表現(xiàn)為注重在知識的交匯處設計試題，從不同的角度分析數(shù)據(jù)，綜合考查不同的數(shù)學學科核心素養(yǎng)[6]．如將統(tǒng)計與概率加以整合，或?qū)⒏怕式y(tǒng)計與函數(shù)、數(shù)列等加以結(jié)合設計問題，考查學生綜合運用知識的能力．

例4(2021Ⅱ卷第21題)一種生物群可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設一個這種生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設X表示1個生物個體繁殖下一代的個數(shù)P(X=i) =pi(i= 0, 1, 2, 3)．

(1)已知p0= 0.4，p1= 0.3，p2= 0.2，p3= 0.1，求E(X)；

(2)設P表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個最小正實根，求證：當E(X)≤1時，p=l，當E(X) > 1時，P< 1；

(3)根據(jù)你的理解說明(2)問結(jié)論的實際含義．

例4把概率的相關知識和函數(shù)與導數(shù)結(jié)合出題，是對數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查也是對邏輯推理素養(yǎng)的考查．該試題具有較強的綜合性，要求學生對相關知識熟練掌握．

4.3 情境蘊含時代氣息，體現(xiàn)統(tǒng)計的教育價值

時政和社會熱點話題作為數(shù)學問題的背景出現(xiàn)，在考查學生數(shù)學理解能力的同時，也在引導學生關注國家發(fā)展．[7]新高考概率與統(tǒng)計試題以我國時政為背景情境，強調(diào)我國近幾年的發(fā)展，樹立學生“四個自信”，潛移默化影響學生的價值觀．

例5(2020Ⅱ卷第9題)我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產(chǎn)，下面是某地連續(xù)11天復工復產(chǎn)指數(shù)折線圖(圖2)，下列說法正確的是( )．

圖2

A．這11天復工指數(shù)和復產(chǎn)指數(shù)均逐日增加

B．這11天期間，復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量

C．第3天至第11天復工復產(chǎn)指數(shù)均超過80%

D．第9天至第11天復產(chǎn)指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量

例5是以2020年的后新冠肺炎疫情時期各地復產(chǎn)復工為背景，考查的是統(tǒng)計圖的識別，借助統(tǒng)計圖的分析來反映數(shù)據(jù)分析能力．隨著日期推移，復產(chǎn)復工指數(shù)在波動上升，反映了我國疫情處理卓有成效，經(jīng)濟健康發(fā)展．

例6(2021Ⅰ卷第18題)某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A, B兩類問題．每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題冋答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束． A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．

己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6．且能正確回答問題的概率與回答次序無關．

(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列：

(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．

例6以當時國家推動發(fā)展的“一帶一路”為背景，組織有關“一帶一路”的知識競賽．結(jié)合時政，使學生在解決問題的同時了解我國發(fā)展戰(zhàn)略，促進共同發(fā)展，實現(xiàn)共同繁榮．

4.4 強調(diào)模型思想，凸顯數(shù)學的應用價值

建模思想的形成是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑[8]，并且模型的建立與知識在現(xiàn)實生活中的應用直接相關．新高考全國卷較關注數(shù)學模型，考查學生面對隨機的數(shù)據(jù)選擇合適的概率、統(tǒng)計模型來解決問題，體會概率與統(tǒng)計的模型思想，感受統(tǒng)計知識的應用價值．

例7(2020Ⅱ卷第19題)為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：

PM2.5, SO2[0, 50](50, 150](150, 475][0, 35]32184(35, 75]6812(75, 115]3710

(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；

(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2 × 2列聯(lián)表：

PM2.5, SO2[0, 150](150, 475][0, 75](75, 115]

(3) 根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

例7以空氣質(zhì)量檢測為背景，展示不同PM2.5和SO2濃度的天數(shù)，體會數(shù)據(jù)的隨機性．該題的設置考查學生利用相關概率與統(tǒng)計模型來分析隨機現(xiàn)象，感受概率與統(tǒng)計模型在生活中的應用，提高學生的統(tǒng)計思維．

5 教學啟示

5.1 注重情境創(chuàng)設，凸顯學科育人目標

數(shù)學學科育人主要包括發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，增強學生發(fā)現(xiàn)和提出、分析和解決問題的能力．[9]學生獲取數(shù)學核心素養(yǎng)與提高“四能”依賴于經(jīng)驗的積累，而經(jīng)驗均植根于情境之中，新高考概率與統(tǒng)計試題的呈現(xiàn)均配有相應的問題背景情境，引導學生利用概率與統(tǒng)計知識來進行問題的解決．教師在教學過程中，應特別注重情境對學生解決概率統(tǒng)計問題的影響，根據(jù)考查內(nèi)容創(chuàng)設合適的問題情境，激發(fā)學生學習興趣，落實數(shù)學學科育人目標．

5.2 注重模型思想，體會統(tǒng)計的應用價值

數(shù)學模型的建立是數(shù)學應用的重要途徑，并且統(tǒng)計建模與數(shù)據(jù)分析的應用直接相關．新高考全國卷著重考查概率與統(tǒng)計的模型思想，要在題干中識別并利用相應的數(shù)學模型來解決問題．教師應注重概率與統(tǒng)計模型的教學，利用現(xiàn)實生活中跨學科的、未經(jīng)處理的一手案例來促進學生對概率與統(tǒng)計知識的理解，培養(yǎng)學生的建模能力和對概念與模型的辨識能力，體會統(tǒng)計的應用價值．

5.3 注重數(shù)學實驗教學，積累數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學實驗利用學生的親生經(jīng)歷，加強學生對隨機思想、統(tǒng)計思想的認識．[10]新高考全國卷的簡答題比較關注概率的隨機思想，利用相關知識分析隨機現(xiàn)象．教師要充分利用各種資源，增設數(shù)學實驗，增加學生對隨機現(xiàn)象的親身體驗，引導學生積極參與具體隨機事件的產(chǎn)生和發(fā)展過程，在大量的重復試驗中分析數(shù)據(jù)的規(guī)律，感知隨機現(xiàn)象的不確定性，加深對概率和隨機性的理解．對于隨機現(xiàn)象的試驗，教師可以嘗試進行計算機隨機模擬試驗的教學，激發(fā)學生的學習興趣，提高課堂教學效率．

5.4 開展項目式學習，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念

基于案例、問題的項目化學習有利于學生數(shù)據(jù)分析觀念的發(fā)展．[11]同時，統(tǒng)計教學要求學生在教師的引導下經(jīng)歷完整的數(shù)據(jù)分析過程．新高考全國卷借助現(xiàn)實情境，考查學生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)與知識的應用．教師應圍繞數(shù)據(jù)分析過程這一主線，開展項目式學習，以課內(nèi)課外相結(jié)合的方式，帶領學生經(jīng)歷調(diào)查收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)、交流和解釋數(shù)據(jù)、質(zhì)疑和反思結(jié)論、形成數(shù)據(jù)分析活動報告的數(shù)據(jù)分析全過程，讓學生在經(jīng)歷統(tǒng)計活動的過程中逐步培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析觀念．