張海泉

(江蘇省興化中學(xué) 225700)

本文先對2021年泰州三市三區(qū)高二數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考的一道試題的解法作些探究，再將試題進(jìn)行縱向、橫向推廣與延拓，形成一般問題的解題思路,以期達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果.

1 試題呈現(xiàn)

圖1

2 解法探究

3 解后反思

本題是一道圓錐曲線中的定值問題，題目設(shè)計(jì)入口較寬，學(xué)生容易想到聯(lián)立直線與雙曲線方程求出兩直線交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為非對稱的韋達(dá)定理形式求解.題目設(shè)計(jì)的直線過焦點(diǎn)，所得交點(diǎn)P恰好在雙曲線的準(zhǔn)線上，很好地展示了雙曲線的一個(gè)完美特殊性質(zhì)，故學(xué)生易產(chǎn)生疑問：如果直線不是過焦點(diǎn),是否也有類似的性質(zhì)呢？

于是課堂上試著將題目變?yōu)橥卣诡}供學(xué)生探究.

4 猜想探索

5 歸納模型

基于學(xué)生的這種發(fā)現(xiàn)，試著從一般形式來探索.

探索過程：

6 拓展延伸

圖2

這樣，從教師的命題角度來看，本題可以以點(diǎn)帶面擴(kuò)大試題的教學(xué)功能.于是進(jìn)一步將定點(diǎn)拓展為定值問題.

7 縱向探究

所以D，N，C三點(diǎn)共線，即直線CD過定點(diǎn)N(n,0).

8 橫向探究

由于橢圓和雙曲線有統(tǒng)一定義，因此本題的探究過程可以類比到橢圓中，擴(kuò)展出橢圓中的一般結(jié)論(留給讀者自行探究).

要給學(xué)生一杯水，教師就要有一桶水，且須是一桶新鮮活水.因此，講授一道題，教師不能向?qū)W生一樣僅僅滿足于會解題，還需要考慮如何高效解題，注重通性通法，拓展探究、挖掘試題的內(nèi)涵和外延，找到試題的源頭，研究出一類題的解題規(guī)律，形成一種思維上的升華和命題模板，達(dá)到放得開、收得攏的自如境界.