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      一道橢圓最值問題的解法探究

      2021-11-17 10:05:48江蘇省蘇州市第四中學(xué)215000
      關(guān)鍵詞:運算量最值橢圓

      江蘇省蘇州市第四中學(xué) (215000) 甄 艷

      圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)核心考點之一,而最值問題是熱點題型之一,最值問題主要考查直線與橢圓的相交關(guān)系和圓錐曲線的幾何性質(zhì),這類問題對考生的運算求解能力、推理論證能力和綜合思維能力要求較高.以下對一道橢圓有關(guān)的最值問題進行多解探究.

      (2)思路1:設(shè)出直線方程,聯(lián)立橢圓方程,由弦長公式表示|MN|,再由點到直線距離公式表示點A到直線的距離,用k表示出△AMN的面積,對k分類討論,最終由基本不等式和不等式性質(zhì)可求出△AMN面積的最大值.

      當k>0時,S△AMN<4,當k<0時,S△AMN=

      思路3:設(shè)出點M的坐標,利用已知條件表示出點N的坐標,利用解法2中提到的三角形面積公式表示出△AMN的面積,再利用點M在橢圓上實現(xiàn)整體代換,利用均值不等式a2+b2≥-2ab和不等式性質(zhì)可求出△AMN的面積的最大值.

      評析:解法1運用了分類思想,運算量比較大,如果考生的運算和推理能力不強,很難得出最終結(jié)果,解法2運用了參數(shù)方程法,運算量明顯減少,問題化歸為與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題,解法3對綜合思維能力要求高,整體代換思想和均值不等式的應(yīng)用具有創(chuàng)新性,解法4利用伸縮變換“化扁為圓”,將問題化成圓中考生比較熟悉的問題,運算量較少,但思維層次比較高,需要教師將教材中比較基礎(chǔ)的伸縮變換知識進行拓展.

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