陳秀林
空間角主要包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角.二面角是指從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形.求二面角的大小是一類常見的問題.本文重點(diǎn)介紹求二面角大小的四種方法:定義法、向量法、面積投影法、三垂線定理法.
一、定義法
過二面角棱上的任一點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作與棱垂直的射線,則兩射線所成的角叫做二面角的平面角.一般地,要求得二面角的大小只需要求出二面角的平面角的大小即可.在求二面角的大小時(shí),我們可以根據(jù)二面角的平面角的定義來求解.首先在二面角的棱上選取一點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)作棱的垂線,則兩條垂線的夾角,即為二面角的平面角,求得平面角的大小即可得到二面角的大小.
例題:
解:
利用定義法求二面角的大小的關(guān)鍵是作出二面角的平面角.在作圖的過程中要充分利用題目條件中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形三線合一的性質(zhì)、菱形或正方形的對(duì)角線相互垂直、直角三角形中勾股定理及其逆定理等.另外在構(gòu)造二面角的平面角時(shí),常用的方法還有垂面法,即經(jīng)過兩個(gè)面的垂線的平面與兩個(gè)平面的交線所夾的角即為二面角的平面角.
二、三垂線法
三垂線法是指利用三垂線定理求作二面角的平面角,求得二面角大小的方法.在求作二面角的平面角時(shí),需過其中一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線,再經(jīng)過垂足作棱的垂線,連接該點(diǎn)與棱上的垂足,進(jìn)而構(gòu)造出與二面角的平面角相關(guān)的角,再結(jié)合圖形中的垂直關(guān)系求得二面角的大小.以上述例題為例.
解:
此法與定義法的不同之處是將所求二面角的相關(guān)角置于直角三角形中,從而使解題的過程更加簡(jiǎn)潔.
三、向量法
向量法是通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將所求的二面角轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量的夾角的方法.解題的思路是通過建立空間直角坐標(biāo)系,求出兩個(gè)平面的法向量,根據(jù)向量的數(shù)量積公式求出夾角,再利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系來確定二面角的大小.值得說明的是,二面角的平面角與法向量的夾角的關(guān)系是相等或互補(bǔ).以上述例題為例.
解:
向量的引入降低了立體幾何問題的難度,但對(duì)同學(xué)們的運(yùn)算能力提出了更高的要求.求法向量的原則是先找后求,即如果存在一條已知的直線與二面角的某一個(gè)平面垂直,則該直線的方向向量即可視為此平面的法向量.
四、投影法
投影法,即為構(gòu)造出二面角的兩個(gè)平面中的一個(gè)平面在另外一個(gè)平面內(nèi)的投影,從而利用此平面與其投影的夾角θ來判斷所求二面角的大小的方法.若該平面與其投影的面積分別為 S1,S2,則與所求二面角的關(guān)系有兩種,即相等或互補(bǔ).以上述例題為例.
解:
在本題中,三角形 ECB 與其在面上的投影 EOC 的夾角即為所求二面角的補(bǔ)角,而兩角互補(bǔ),則其正弦值相等,所以可直接利用投影法來求解.
一般地,求二面角的問題主要有兩類,即求有棱二面角的大小和無棱二面角的大小,雖然圖形有所不同,但解題的方法基本上一致.同學(xué)們?cè)诮忸}的過程中要注意仔細(xì)審題,擇優(yōu)而用.
(作者單位:江蘇省大豐高級(jí)中學(xué))