廖運章 張銘慧

【摘 要】《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出同一個函數(shù)的定義，引領(lǐng)著高中數(shù)學教材編寫、課堂教學與測量評價。在解讀高中數(shù)學新課標、新教材的基礎(chǔ)上，筆者重構(gòu)應然的“同一個函數(shù)”的教學設計，建議高中數(shù)學教科書刪除用“對應關(guān)系”判斷同一個函數(shù)的方法，采用新課標的處理思想與具體操作的定義，并與《數(shù)學分析》等高等數(shù)學教科書保持一致。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學;同一個函數(shù);教學重構(gòu)

【作者簡介】廖運章，廣州大學數(shù)學與信息科學學院教授，博士生導師，主要從事數(shù)學課程與教學論研究;張銘慧，廣州大學數(shù)學與信息科學學院在讀碩士研究生。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）“附錄2 教學與評價案例”之“案例2 函數(shù)的概念”（以下簡稱“案例2”）明確指出，如果兩個函數(shù)的定義域相同，且相同的變量值對應的函數(shù)值也相同，那么，這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)。新課標為何專門對此做出規(guī)定？這些規(guī)定對數(shù)學教材編寫、課堂教學、測量評價有何引領(lǐng)價值，筆者將對此進行深入研究。

一、“同一個函數(shù)”的課標與教材分析

以往的高中數(shù)學考試大綱和課標關(guān)于“同一個函數(shù)”的概念是沒有規(guī)定的，但2004年人教A版和2004年湘教版高中數(shù)學教材則分別給出“兩個函數(shù)相等”的定義，依次是“如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等”“如果兩個函數(shù)f，g的定義域是同一個數(shù)集A，并且對任意的x∈A都有f（x）=g（x），就說這兩個函數(shù)相等，記作f=g”。此外，2004年滬教版高中數(shù)學教材雖未對“同一個函數(shù)”下定義，但練習3.1第5題要求判斷“下面四組函數(shù)中，函數(shù)f（x）與g（x）表示同一個函數(shù)的是……”。

囿于教材的不同處理，導致教學實踐出現(xiàn)如何判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)的諸多困惑。比如，對比函數(shù)y=x，x∈{-1，0，1}與y=x2019，x∈{-1，0，1}是否是同一個函數(shù)。從2004年人教A版來看，y=x2019不能再化簡，顯然與y=x不同，即“對應關(guān)系不完全一致”，這兩個函數(shù)不相等;但按照2004年湘教版的定義，如果相同的變量值對應的函數(shù)值相同，那么這兩個函數(shù)相等。孰是孰非，莫衷一是，容易讓人產(chǎn)生歧義。

其實，由于教材中“對應關(guān)系”是不加定義的，如何判斷“對應關(guān)系完全一致”難以統(tǒng)一，這是造成教學混亂的外在因素，其本質(zhì)是沒有理解函數(shù)概念，反映出函數(shù)概念“集合對應說”本身的缺陷——沒有明確什么是對應。這正是1859年數(shù)學家李善蘭等翻譯的《代微積拾級》首次引入函數(shù)名稱至今，學生難以把握函數(shù)定義本質(zhì)的根本原因。

（一）新課標的“同一個函數(shù)”

新課標史無前例地對函數(shù)定義做出規(guī)定，即“給定兩個非空實數(shù)集合A和B，以及對應關(guān)系f，若對于集合A中的每一個實數(shù)x，集合B中有唯一實數(shù)y=f（x）與x對應，則稱y=f（x）為集合A上的函數(shù)”。對應關(guān)系強調(diào)的是對應的結(jié)果，而不是對應的過程。例如，借助高中函數(shù)的表達式，可以認定函數(shù)y=cos2x+sin2x，x∈（-，+）與函數(shù)y=1，x∈（-+）表示同一個函數(shù)?！薄昂瘮?shù)y=x2，x∈（-，+）與函數(shù)y=x2，x∈（0，+）的對應關(guān)系相同，但它們是不同的函數(shù)，因為它們的定義域不同。

不難發(fā)現(xiàn)，新課標采用分離式看待函數(shù)，即函數(shù)就是一個對應系統(tǒng)，實數(shù)集A、實數(shù)集B、對應關(guān)系f是函數(shù)f：A→B的構(gòu)成要素，三者相對獨立，當A中的任意一個實數(shù)x，在B中都有唯一確定的實數(shù)y=f（x）和x對應時，這個對應系統(tǒng)就是從實數(shù)集A到實數(shù)集B的一個函數(shù)，記作y=f（x）（x∈A，y∈B）。

簡單來說，對實數(shù)集A中的任何一個實數(shù)x，實數(shù)集B中都有唯一確定的實數(shù)y=f（x）與x對應，y=f（x）就是集合A上的函數(shù)。其中，對應關(guān)系f是形式上的，是不帶實數(shù)集A、實數(shù)集B的，即x→f（x）表示給定實數(shù)x就有唯一對應的f（x），而不管x是否屬于實數(shù)集A，f（x）是否屬于實數(shù)集B。對應關(guān)系相同指的就是形式上相同，如上面提及的函數(shù)y=x2，x∈（-，+）與函數(shù)y=x2，x∈（0，+）。

對于同一個函數(shù)，新課標指出，更一般地，可以判斷兩個函數(shù)是否相同：如果兩個函數(shù)的定義域相同，且相同的變量值對應的函數(shù)值也相同，那么，這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)。直觀地說，如果兩個函數(shù)的圖象重合，這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)?？梢钥闯?，在兩個函數(shù)的定義域相同的情況下，新課標采用“相同的變量值對應相同的函數(shù)值”作為判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)的主要依據(jù)，這與《數(shù)學分析》等高等數(shù)學教科書的要求一致。

（二）新教材的“同一個函數(shù)”

隨著新課標關(guān)于判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)依據(jù)的頒行，各新版高中數(shù)學教材也做了相應的調(diào)整（見表1）?？墒?，2019年人教A版、2019年北師大版、2019年蘇教版等三套數(shù)學新教材仍主要采用“對應關(guān)系是否相同”來處理，并未采納新課標的建議。

2019年人教A版高中數(shù)學新教材關(guān)于“同一個函數(shù)”的定義由2004年人教A版數(shù)學教材的函數(shù)相等變化而來，即由“如果兩個函數(shù)的定義域和對應關(guān)系完全一致，我們就稱這兩個函數(shù)相等”，變?yōu)椤叭绻麅蓚€函數(shù)的定義域相同，并且對應關(guān)系完全一致，即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)”。盡管增加了“即相同的自變量對應的函數(shù)值也相同”的內(nèi)容，但教材例3的解答并未做相應調(diào)整，依然沿用對應關(guān)系判斷法進行判斷，如將例3第（3）問變形為y=x2=x=

-x，x<0，x，x≥0，與y=x（x∈R）進行比較，當x<0時，y=x2與y=x（x∈R）對應關(guān)系不相同，所以兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)。

2019年北師大版教材特別強調(diào)“對應關(guān)系指的是對應的結(jié)果，而不是對應的過程”，但在第52頁例1第（2）問判斷f（x）=x2，g（x）=（x+1）2是否是同一個函數(shù)，因為兩個函數(shù)的對應關(guān)系不同，所以不是同一個函數(shù)。此判斷理由并不能體現(xiàn)這是“對應結(jié)果”的不同，恰恰體現(xiàn)教材將對應關(guān)系理解為解析式，反而因為“過程（解析式）”不同而判斷其不是同一個函數(shù)。此外，其余3道習題也體現(xiàn)了2019年北師大版教材分離式看待函數(shù)三要素，并要求定義域和解析式都相同才能判斷兩個函數(shù)是同一個函數(shù)。

2019年蘇教版涉及“函數(shù)相同”的相關(guān)內(nèi)容不多，只簡單下定義，而未給出范例。該教材表示“表達式相同，即對應關(guān)系相同”，但“表達形式不同，對應關(guān)系也可相同”，所以2019年蘇教版認為對應關(guān)系除了解析式還有別的表現(xiàn)形式，但是并未進一步展開。因此，2019年蘇教版只能確定同時比較定義域和對應關(guān)系時，如果定義域不相同，那么函數(shù)不相同;而表達形式不同，但對應關(guān)系相同的例子只局限于相同的解析式用不同的字母表示。

（三）“同一個函數(shù)”的判斷

由于教材未定義對應關(guān)系，如何理解對應關(guān)系相同，每個人的看法都不一致，容易產(chǎn)生歧義。況且，在定義域相同的前提下，“對應關(guān)系完全一致”與“相同的自變量對應的函數(shù)值相同”并不等價?！皩P(guān)系完全一致”的外延小于“相同的自變量對應的函數(shù)值相同”的外延，違反給概念下定義的基本要求——定義應當相稱。

因此，筆者建議教師在“同一個函數(shù)”的課堂教學中采用“如果兩個函數(shù)的定義域相同，且相同的變量值對應的函數(shù)值也相同，那么，這兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)”。這正是新課標的處理思想與具體操作的定義。

下面基于2019年人教A版高中數(shù)學必修第一冊，以“兩個函數(shù)是同一個函數(shù)”例3的教學為例，設計應然的教學方案，具體教學過程如下。

二、應然的“同一個函數(shù)”教學設計

（一）教學目標

新課標要求學生建立完整的函數(shù)概念，判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)也是學習函數(shù)概念的一個重要方面。結(jié)合函數(shù)本質(zhì)理解并掌握同一個函數(shù)定義，學會用定義法和圖象法判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)。

（二）教學過程

1.概念回顧

問題1：我們學習了函數(shù)的概念，大家還能想起函數(shù)定義嗎？請用圖示簡單表示函數(shù)定義。

函數(shù)是一種特殊的對應關(guān)系f：A→B，通常表示為y=f（x），x∈A，函數(shù)值是f（x），“對應”是函數(shù)的本質(zhì)，如圖1所示。

形象地說，函數(shù)就是一個對應系統(tǒng)，由實數(shù)集A、實數(shù)集B、對應關(guān)系f構(gòu)成，當A中的任意一個實數(shù)x，在B中都有唯一確定的實數(shù)y=f（x）和x對應時，這個對應系統(tǒng)就是從實數(shù)集A到實數(shù)集B的一個函數(shù)，記作y=f（x）（x∈A，y∈B）。

【設計意圖】只有把握函數(shù)定義本質(zhì)，才能正確判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)。通過回顧已學的函數(shù)概念，為學生學習“同一個函數(shù)”概念做鋪墊，用圖表表示函數(shù)定義，促進學生理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)“對應”的本質(zhì)。

2.導入“同一個函數(shù)”概念

由函數(shù)定義可知，“對應”是函數(shù)的本質(zhì)。如果兩個函數(shù)的定義域相同，相同的變量值對應的函數(shù)值也相同，那么，這兩個函數(shù)具有特殊的關(guān)系，我們稱這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)。

教師板書“同一個函數(shù)”的定義：如果兩個函數(shù)的定義域相同，相同的變量值對應的函數(shù)值也相同，則稱兩個函數(shù)是同一個函數(shù)。

換言之，只要兩個函數(shù)的“對應系統(tǒng)”一樣，即“A中的任意一個實數(shù)x，在B中都有唯一確定的實數(shù)y=f（x）和x對應”相同，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)。

從圖象上看，如果兩個函數(shù)的定義域相同，對同一個自變量x的值，相應的函數(shù)值y相同，則由點集{（x，y）|y=f（x），x∈A，y∈B}，{（x，y）|y=g（x），x∈A，y∈B}構(gòu)成的圖象重合。因此，如果兩個函數(shù)的圖象重合，則這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)。

【設計意圖】由函數(shù)定義直接引出“同一個函數(shù)”概念，讓學生理解判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)要從函數(shù)的三要素出發(fā)，要緊緊圍繞函數(shù)的本質(zhì)——對應。同時，也可借助圖象表示函數(shù)，視覺化呈現(xiàn)兩個函數(shù)，有效幫助學生理解“相同的變量值對應的函數(shù)值也相同”。

3.理解概念

問題2：剛剛我們學習了同一個函數(shù)的定義。由定義可知，定義域以及“相同的變量值對應的函數(shù)值也相同”的對應結(jié)果是判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)的關(guān)鍵;此外，對比兩個函數(shù)的圖象也可以判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)。同學們能否用這兩種方法解以下例題？

例1 下列函數(shù)中哪個函數(shù)與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)？

（1）函數(shù)y=x2;（2）函數(shù)u=3v3。

問題3：函數(shù)y=x2（u=3v3）與函數(shù)y=x的定義域分別是什么？它們的定義域相同嗎？

問題4：y=x2（u=3v3）在實數(shù)集R內(nèi)取何函數(shù)值？y=x呢？這兩個函數(shù)在實數(shù)集R內(nèi)對應的函數(shù)值相同嗎？

問題5：由函數(shù)定義可知，因為這兩個函數(shù)相同的變量值對應的函數(shù)值不同（相同），所以這兩個函數(shù)不是（是）同一個函數(shù)。同學們能否通過函數(shù)圖象來驗證這一結(jié)論？

【設計意圖】新課標采用分離式看待函數(shù)，函數(shù)的定義域、對應關(guān)系、值域三要素相對獨立，判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)也需同時判斷定義域和“相同的變量值對應的函數(shù)值是否相同”。定義法的運用緊緊圍繞著函數(shù)的本質(zhì)與同一個函數(shù)的定義。此外，學生也可以對比兩個函數(shù)的圖象，直觀而快速地驗證“相同的變量值對應的函數(shù)值是否相同”，從而判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)。

問題6：同學們能從以上例題總結(jié)出判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)的基本步驟嗎？

在解題的過程中，教師總結(jié)解題步驟，讓學生經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，幫助學生形成一定的邏輯思維能力，讓學生在解題時有清晰的解題思路。

4.鞏固概念（變式教學）

根據(jù)新課標與新教材的同一個函數(shù)定義的指引，例1的解答滲透了“相同的變量值對應的函數(shù)值也相同”的解題思想。教師通過以上例題，引導學生初步理解“同一個函數(shù)”的概念及其判斷步驟后，再通過設置練習題的方式進一步引導學生鞏固和內(nèi)化相關(guān)知識。

學生活動：教師請兩名學生到講臺上分別板演。學生完成后，師生共同評價并完善。

例2 下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)？

（1）函數(shù)y=（x）2;（2）函數(shù)m=n2n。

例3 函數(shù)y=x，x∈{-1，0，1}與y=x2019，x∈{-1，0，1}是否相等？請說明理由。

例2與例3各有特色，教師幫助學生鑒別習題特點，靈活地應用定義進行解題，使學生在理解中應用概念，在應用中深化理解同一個函數(shù)的定義。

5.系統(tǒng)化概念

（1）課堂小結(jié)視覺化，促進知識系統(tǒng)化

問題7：本節(jié)課我們學習了同一個函數(shù)的定義、判斷同一個函數(shù)的兩種基本方法，以及判斷同一個函數(shù)的基本步驟，同學們能否用自己的語言進行描述？或者用一種直觀的方法來總結(jié)今天所學的知識。

教師引導學生進行總結(jié)后，用課件出示以下內(nèi)容。

①同一個函數(shù)的定義：如果兩個函數(shù)的定義域相同，相同的變量值對應的函數(shù)值也相同，則稱兩個函數(shù)是同一個函數(shù)。

②判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)的基本方法：定義法（函數(shù)值法）、圖象法。

③判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù)的基本步驟：定義域是否相同相同的變量值對應的函數(shù)值是否相同，如圖2。

【設計意圖】函數(shù)本身具有抽象性，要通過把函數(shù)知識分解為一個個學生可以接受的局部知識進行教學，“同一個函數(shù)”也是其中的重要組成部分。理解和應用同一個函數(shù)的定義也是深化理解整個函數(shù)知識系統(tǒng)的過程。用圖示的方式直觀簡明地視覺化呈現(xiàn)同一個函數(shù)的定義及其內(nèi)在聯(lián)系，能使學生愉悅地獲取知識，也有助于其在后續(xù)學習過程中將此局部知識重新融入整個函數(shù)知識系統(tǒng)之中。

（2）布置課后作業(yè)，鞏固和發(fā)展知識系統(tǒng)

1.下列各對函數(shù)是否是同一個函數(shù)？并說明理由。

（1）函數(shù)f（n）=2n+1，n∈Z，函數(shù)g（n）=2n-1，n∈Z;

（2）函數(shù)f（x）=2x，x∈{2，4}，函數(shù)g（x）=x2，x∈{2，4};

（3）函數(shù)f（x）=（x-2）2，x≥2022;函數(shù)g（x）=x-2，x≥2022。

2.課本P67練習第3題。

3.課本P72習題3.1第2題。

以上課后作業(yè)旨在培養(yǎng)學生在不同情境中判斷同一個函數(shù)的能力，引導學生將已有的知識系統(tǒng)運用到新的問題之中，激發(fā)學生不斷探索和求知，完善和發(fā)展自身知識結(jié)構(gòu)，保持知識系統(tǒng)先進性。

三、討論與建議

通過比較分析發(fā)現(xiàn)，除2004年人教A版數(shù)學教材和2004年湘教版數(shù)學教材用“函數(shù)相等”外，新課標及其配套新教材都采用“同一個函數(shù)”的術(shù)語。是否要區(qū)別“同一個函數(shù)”與“函數(shù)相等”兩個概念？蘇柏山教授認為，表現(xiàn)形式有所不同，甚至進行簡單的變形后的函數(shù)都不能認為是“同一函數(shù)”，而只能認為是“相等的函數(shù)”，建議采用“相等的函數(shù)”[4]。

華東師范大學版《數(shù)學分析》采用“兩個函數(shù)相同”，約定某兩個函數(shù)相同，是指它們有相同的定義域和對應法則;如果兩個函數(shù)對應法則相同而定義域不同，那么這兩個函數(shù)仍是不相同的;兩個相同的函數(shù)，其對應法則的表達形式可能不同[5]。高等教育出版社《數(shù)學分析》采用“函數(shù)相等”：“對于兩個函數(shù)f和g當且僅當它們有相同的定義域X，且對X內(nèi)的每一個實數(shù)x，它們有相同的函數(shù)值，我們才稱這兩個函數(shù)相等，記為f=g。顯然它們的值域也必相同。”[6]此外，北京師范大學出版社《數(shù)學分析》采用“函數(shù)相等”。北京

大學出版社《數(shù)學分析》不區(qū)分“函數(shù)相等”和“同一個函數(shù)”，兩個詞都使用[7]。一般地，國內(nèi)相關(guān)大學數(shù)學教材都沒有區(qū)分“函數(shù)相等”或“同一個函數(shù)”。

國外引進的相關(guān)數(shù)學分析教材也沒有明確區(qū)分這兩個術(shù)語。俄羅斯數(shù)學教材選譯《數(shù)學分析（第一卷）（第4版）》采用“函數(shù)相等”：“如果兩個函數(shù)f1，f2有相同的定義域X，且對每個x∈X，這兩個函數(shù)的函數(shù)值f1（x），f2（x）一致，就認為兩個函數(shù)f1與f2一致或相等，這時記作f1=f2”[8]。機械工業(yè)出版社《數(shù)學分析》采用“函數(shù)相等”[9]。而美國托馬士等所著的《托馬士微積分》則采用“同一函數(shù)”[10]。

不難看出，無論是國內(nèi)還是國外大學數(shù)學教材，都沒有特別區(qū)分“同一個函數(shù)”和“函數(shù)相等”，可不區(qū)分使用，但新課標已采用“同一個函數(shù)”的說法，為不產(chǎn)生歧義，建議高中數(shù)學統(tǒng)一采用“同一個函數(shù)”的術(shù)語。

參考文獻：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書 數(shù)學（A版）必修 第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]王尚志，保繼光.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊[M].北京：北京師范大學出版社，2019.

[3]單墫，李善良.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2019.

[4]蘇柏山.應區(qū)別“同一個函數(shù)”與“相等的函數(shù)”兩個概念[J].河北機電學院學報，1993（4）：82-86.

[5]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

[6]復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）[M].3版.北京：高等教育出版社，2007.

[7]伍勝健.數(shù)學分析：第一冊[M].北京：北京大學出版社，2009.

[8]卓里奇B A .數(shù)學分析：第一卷[M].4版.蔣鐸，王昆揚，周美柯，等譯.北京：高等教育出版社，2005.

[9]APOSTOL T M.數(shù)學分析（原書第2版）[M].邢富沖，邢辰，李松潔，等譯.北京：機械工業(yè)出版社，2006.

[10]托馬士，芬尼.托馬士微積分（上冊）[M].駱傳忠，駱傳孝，譯.北京：曉園出版社，1993.

（責任編輯：陸順演）