一類PDE-ODE級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的指數(shù)鎮(zhèn)定

孟玉翠

（山西大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，太原 030006）

近年來(lái)，常微分方程（ODE）-偏微分方程（PDE）級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題越來(lái)越得到廣大研究者的關(guān)注［1-7］.它可以描述很多不同的物理問題，如交通流、化學(xué)反應(yīng)器和熱交換器等. 在文獻(xiàn)［8］中，作者提出了利用偏微分方程backstepping方法來(lái)鎮(zhèn)定一階不穩(wěn)定的雙曲偏微分方程，該方法還應(yīng)用到了具有執(zhí)行器和傳感器延遲的系統(tǒng)［9］. 文獻(xiàn)［10］將時(shí)滯描述為一個(gè)傳輸方程，并考慮了一階雙曲偏微分方程和ODE級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題. 關(guān)于偏微分方程backstepping方法的其他應(yīng)用可以在文獻(xiàn)［11-18］中找到. 雖然偏微分方程backstepping方法已經(jīng)有效地解決了ODE-PDE級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，但backstepping方法的核函數(shù)通常是一個(gè)偏微分方程，從而相對(duì)復(fù)雜. 與此不同，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新的變換，其優(yōu)點(diǎn)之一是核函數(shù)是一個(gè)常微分方程，其求解難度遠(yuǎn)比通常的backstepping方法核函數(shù)的求解小. 該方法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是在證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的困難.

考慮下面的系統(tǒng)：

其中：X是ODE的狀態(tài)；A∈?n×n；B∈?n×1；g∈C[0,1]；U是控制. 在狀態(tài)空間?n×L2(0,1)中考慮系（1），其內(nèi)積定義為

1 控制器的設(shè)計(jì)

我們將控制U(t)分為兩部分

其中：U0(t)用來(lái)鎮(zhèn)定一階雙曲偏微分方程；U1(t)是待定的新的控制. 按照文獻(xiàn)［8］，利用backstepping 方法，U0(t)可以設(shè)計(jì)如下：

由式（3）和（4），系統(tǒng)（1）可以化為

其中核函數(shù)q(x,y)是由式（4）給定的. 引入變換

對(duì)式（6）求導(dǎo)可得

和

將上述兩個(gè)等式相減，再根據(jù)式（4），可以將系統(tǒng)（5）轉(zhuǎn)化為

現(xiàn)在設(shè)計(jì)控制器U1(t)來(lái)鎮(zhèn)定系統(tǒng)（9），受文獻(xiàn)［19］的啟發(fā)，引入如下變換：

其中H(x):[0 ,1] →?n是待定的向量值核函數(shù). 顯然變換式（10）是可逆的，其逆為

為了求解向量值核函數(shù)H(x)，對(duì)X?(t)求導(dǎo)可得：

如果選擇H(x)使得

則式（12）變?yōu)?/p>

解式（13）可得

因此

只需鎮(zhèn)定系統(tǒng)（16）即可，根據(jù)極點(diǎn)配置定理

其中K使得矩陣A+e-ABK是Hurwitz矩陣. 在狀態(tài)反饋（17）的條件下，我們得到閉環(huán)系統(tǒng)

于是得到系統(tǒng)（1）的閉環(huán)系統(tǒng)

其中q(x,y)滿足式（4）.

定理1 令A(yù)∈?n×n，B∈?n×1，g∈C[0,1]. 假設(shè)(A,B)是可控的，σ(A)?{λ∈?|Reλ≥0} ，則存在K∈?1×n使得A+e-ABK是Hurwitz矩陣，并且對(duì)任意的初始狀態(tài)(X(0),u(?,0) )∈?n×L2(0,1)，閉環(huán)系統(tǒng)（20）存在唯一解(X(t),u(?,t) )∈C([ 0,∞);?n×L2(0,1)) ，并且存在常數(shù)ω>0，滿足

2 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

本節(jié)分析閉環(huán)系統(tǒng)（20）的穩(wěn)定性，為此先給出如下引理.

w-子系統(tǒng)是一個(gè)簡(jiǎn)單的傳輸方程，它的解可以被表示為

根據(jù)式（23）和（24）可知，隨著時(shí)間t趨于無(wú)窮大，w(x,t)的解指數(shù)衰減到零，故w-系統(tǒng)也是指數(shù)穩(wěn)定的.因此整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)（18）是指數(shù)穩(wěn)定的. 證畢.

定理1的證明.因?yàn)?A,B)是可控的，根據(jù)極點(diǎn)配置定理可知存在矩陣K1∈?1×n使得A+BK1是Hurwitz矩陣.由于eA[A+e-ABK1eA]e-A=A+BK1，A+e-ABK1eA是Hurwitz 矩陣當(dāng)且僅當(dāng)A+BK1是Hurwitz矩陣，故A+e-ABK1eA也是Hurwitz矩陣. 因此，我們可以選擇K=K1eA.

根據(jù)文獻(xiàn)［1］可知變換式（6）是可逆的，且其逆為

3 結(jié)論

本文提出了一種新方法來(lái)鎮(zhèn)定由一階雙曲PDE 和ODE 組成的級(jí)聯(lián)系統(tǒng). 與傳統(tǒng)的偏微分方程backstepping方法不同，所提新方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)為核函數(shù)是一個(gè)常微分方程，易于求解，從而簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)；另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是在證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，避免了構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的困難.