靈活運用函數(shù)的性質(zhì)，巧妙解答函數(shù)問題

周敏

函數(shù)具有奇偶性、對稱性、單調(diào)性、周期性等多種性質(zhì).在解題時，靈活運用函數(shù)的這些性質(zhì)能順利解答很多函數(shù)問題.本文結(jié)合3道例題談一談函數(shù)的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.

一、函數(shù)的對稱性

若f（x-c）=f（x+c），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=c（c為常數(shù)）對稱.在運用函數(shù)的對稱性求解函數(shù)問題時，首先要對已知關(guān)系式進(jìn)行變形，得到形如f（x-c）=f（x+c）或的式子，即可求得f（x）的對稱軸和相對應(yīng)的函數(shù)值，求得問題的答案.

例1.

解：

解答本題的關(guān)鍵是運用函數(shù)的對稱性.我們先根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)系式f（x+2）=-f（x），求得函數(shù)f（x）的對稱軸 x =1 ，然后借助中間值f（0）以及函數(shù)的對稱性、單調(diào)性來比較的大小.

二、函數(shù)的單調(diào)性

所謂函數(shù)的單調(diào)性，是指函數(shù)f（x）在定義域上的圖象連續(xù)并呈逐漸增長或降低趨勢的特性.函數(shù)的單調(diào)性常用于求不等式的解集、比較函數(shù)值的大小等.在運用函數(shù)的單調(diào)性解題時，要首先要根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義明確函數(shù)的單調(diào)性，然后在定義域內(nèi)選取任意的兩點，若函數(shù)單調(diào)遞減，則;若函數(shù)單調(diào)遞增，則，將該關(guān)系式代入題設(shè)中求解即可.

例2.

解：

在解答本題時，我們首先要根據(jù)題意確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性去掉目標(biāo)式中的函數(shù)符號“ f ”，建立新不等式，解不等式便可求得問題的答案.

三、函數(shù)的周期性

一般地，對于任意 x ，都有，則常數(shù) T為函數(shù) f（x）的周期.在運用函數(shù)的周期性解題時，我們首先要根據(jù)函數(shù)周期的定義求出周期，然后借助函數(shù)的周期求出對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式或者函數(shù)值，進(jìn)而求得結(jié)果.

例3.

一般地，若，則函數(shù)的周期為 b -a.在求解上題時，要抓住關(guān)鍵條件奇函數(shù)滿足，對該關(guān)系式進(jìn)行變形求得函數(shù)的周期，再借助函數(shù)周期性來求函數(shù)的值.

運用函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性解題并不復(fù)雜，但首先要根據(jù)題意明確函數(shù)的性質(zhì)，然后靈活運用函數(shù)的這些性質(zhì)來解題.從以上問題中我們可以發(fā)現(xiàn)，很多函數(shù)問題同時涉及了多種函數(shù)性質(zhì)，在解題我們需根據(jù)解題需求，合理運用函數(shù)的性質(zhì).

（作者單位：江蘇省阜寧縣實驗高級中學(xué)）