基于極簡(jiǎn)教育技術(shù)理念的點(diǎn)電荷鏡像法電場(chǎng)可視化研究*——以GeoGebra軟件為例

向 倩 周志毅 丁益民 李 政 李子健

(湖北大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖北 武漢 430062)

為了聚焦新時(shí)代對(duì)人才培養(yǎng)的新需求，將教育信息化作為教育系統(tǒng)性變革的內(nèi)生變量，支撐引領(lǐng)教育現(xiàn)代化發(fā)展，推動(dòng)教育理念更新、模式變革、體系重構(gòu)，教育部制定了《教育信息化2.0行動(dòng)計(jì)劃》[1].作為高等學(xué)校一線教師，如何充分把握好這一機(jī)遇，落實(shí)教育部的這一要求，實(shí)現(xiàn)教育信息化2.0的宏偉目標(biāo)呢？隨著信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的發(fā)展，面對(duì)教育信息化浪潮，極簡(jiǎn)主義思路值得借鑒和運(yùn)用.我們可以將極簡(jiǎn)主義理念和教育技術(shù)實(shí)踐有機(jī)結(jié)合起來(lái)，以應(yīng)用驅(qū)動(dòng)為導(dǎo)向加快推進(jìn)教育信息化，堅(jiān)持深化應(yīng)用，促進(jìn)高等教育質(zhì)量的提升[2].隨著軟硬件技術(shù)的長(zhǎng)足發(fā)展及其在教育領(lǐng)域越來(lái)越廣泛的運(yùn)用，電腦及智能手機(jī)的大量普及為在教學(xué)上推廣極簡(jiǎn)教育技術(shù)提供了硬件支持；網(wǎng)絡(luò)上涌現(xiàn)出一大批優(yōu)秀教學(xué)應(yīng)用軟件給學(xué)校師生運(yùn)用極簡(jiǎn)教育技術(shù)提供了極為豐富的資源選擇.以優(yōu)秀的數(shù)學(xué)模擬軟件GeoGebra為例，借助這個(gè)軟件，師生能夠很方便地學(xué)習(xí)、研究點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)和電場(chǎng)的分布特點(diǎn).

模擬軟件GeoGebra是奧地利數(shù)學(xué)家Markus Hohenwarter開(kāi)發(fā)的一款超越幾何畫(huà)板態(tài)勢(shì)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件[3]，其優(yōu)點(diǎn)在于幾乎無(wú)需編程基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單易學(xué)，操作簡(jiǎn)便，使用起來(lái)快捷高效[4].該軟件在網(wǎng)絡(luò)上可以免費(fèi)下載，通過(guò)使用函數(shù)和變量定義能精確地繪制復(fù)雜圖形，并能方便地實(shí)現(xiàn)幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化演示，將本軟件用于物理教學(xué)十分符合極簡(jiǎn)教育技術(shù)理念的要求與特點(diǎn).

鏡像法求靜電場(chǎng)是電動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，然而由于電場(chǎng)的空間分布都十分的復(fù)雜和極具抽象性，并且需要較深的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)困難重重，也容易喪失學(xué)習(xí)的興趣，因此靜電場(chǎng)的可視化在教學(xué)中具有重要意義[5～7].為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文利用GeoGebra的3D繪圖功能實(shí)現(xiàn)點(diǎn)電荷的3種鏡像電場(chǎng)可視化為例，解決鏡像法求解電場(chǎng)中電勢(shì)分布、等勢(shì)線的細(xì)節(jié)描述的難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)抽象的理論知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀形象的動(dòng)態(tài)演示，為大學(xué)物理教師提供基于極簡(jiǎn)教育技術(shù)的教學(xué)思路及理念.

1 點(diǎn)電荷與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的電場(chǎng)

設(shè)無(wú)限大導(dǎo)體平面位于xOz面內(nèi)(如圖1陰影區(qū)域)，其右側(cè)距平面h處有一點(diǎn)電荷Q1，帶電荷量為q.為了計(jì)算上的簡(jiǎn)化及數(shù)學(xué)形式上的對(duì)稱性，將Q1置于y軸.由鏡像法可知鏡像電荷Q2帶電荷量為-q，位置與Q1關(guān)于導(dǎo)體對(duì)稱，因此也位于y軸，且到xOz面的距離為h′=h.點(diǎn)電荷與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面(即xOz面)的鏡像電荷和位置如圖1所示.

圖1 點(diǎn)電荷與無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像電荷和位置

在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)電荷Q1(x1,y1,0)，鏡像電荷Q2(x2,y2,0)，由于在三維空間無(wú)法描繪出4個(gè)變量之間的關(guān)系，且點(diǎn)電荷與鏡像電荷的場(chǎng)分布具有軸對(duì)稱性，因此只需要考慮平面xOy內(nèi)任意點(diǎn)P(x,y, 0)的電勢(shì)分布，其電勢(shì)函數(shù)可表示為

(1)

由對(duì)稱性可知，x2=x1，y2=-y1.

可視化實(shí)現(xiàn)：

(1)打開(kāi)GeoGebra，選擇【3D繪圖區(qū)】，設(shè)置滑動(dòng)條“q”“h”“k”.為了便于作圖，取靜電常數(shù)k=1，不影響電勢(shì)分布的大致形狀.然后確定電荷的位置，在輸入?yún)^(qū)輸入點(diǎn)電荷的位置“Q1=(0,h,0)”，鏡像電荷位置“Q2=(0,-h,0)”.

由函數(shù)φ(x,y)的性質(zhì)不難推出，當(dāng)x→0，y→h時(shí)φ(x,y)→+∞；當(dāng)x→0，y→-h時(shí)φ(x,y)→-∞，因此在這兩個(gè)點(diǎn)附近，電勢(shì)曲面表現(xiàn)為朝上下兩個(gè)方向上無(wú)限延伸的高高突起的尖柱形狀.由于φ(x,y)=-φ(x,-y)，函數(shù)呈中心對(duì)稱，曲面上的點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)在xOz兩側(cè)面呈中心對(duì)稱，因此這兩個(gè)柱體位于xOz兩側(cè)朝反方向無(wú)限延伸(如圖2)，其中z軸表示電勢(shì)，x，y表示空間位置坐標(biāo).圖2中電勢(shì)曲面上的縱坐標(biāo)表示xOy平面內(nèi)某點(diǎn)的電勢(shì)數(shù)值，曲面上關(guān)于O對(duì)稱的兩點(diǎn)，其電勢(shì)等值異號(hào).

圖2 電勢(shì)的空間分布

(3)在輸入?yún)^(qū)輸入“x=0”,就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)新的平面，即yOz平面，在工具欄點(diǎn)擊【相交曲線】工具后點(diǎn)擊兩個(gè)面即得到平面x=0與電勢(shì)分布曲面的交線(如圖3).接著隱藏兩個(gè)面，移動(dòng)鼠標(biāo)的同時(shí)按住鼠標(biāo)右鍵可從不同視角方向觀察三維電勢(shì)分布的截面圖.下面圖3呈現(xiàn)的是電勢(shì)分布曲面φ(x,y)為x=0平面所截后電勢(shì)在yOz平面上的分布曲線.

圖3 點(diǎn)電荷與鏡像電荷在yOz面的電勢(shì)分布

(4)在輸入?yún)^(qū)分別輸入“z=0.2”“z=0.5”“z=1”“z=2”“z=4”“z=7”“z=-0.2”“z=-0.5”“z=-1”“z=-2”“z=-4”“z=-7”，這幾個(gè)面相當(dāng)于等勢(shì)面，通過(guò)【相交曲線】工具，得到以上幾個(gè)面與電勢(shì)分布曲面的交線，即得到等勢(shì)線的空間分布圖4(a)，隱藏各個(gè)面，俯視得到點(diǎn)電荷與鏡像電荷等勢(shì)線的二維平面圖，如圖4(b).

(a)等勢(shì)線空間分布

2 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球面的電場(chǎng)

半徑為a的接地導(dǎo)體球外有一個(gè)點(diǎn)電荷q，點(diǎn)電荷距離球心為d，點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球面的鏡像電荷q′ 的大小和位置如圖5所示.

圖5 點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球面的鏡像電荷的大小和位置

根據(jù)鏡像法,鏡像電荷量

(2)

鏡像電荷的位置

(3)

設(shè)P點(diǎn)位于xOy平面上，坐標(biāo)為(x,y,0),電勢(shì)函數(shù)表示為

(4)

其中

(5)

(6)

(7)

(8)

可視化實(shí)現(xiàn)：

(1)設(shè)置滑動(dòng)條“q”“a”“d”“k”“θ”.依舊令k=1，且d>a.在輸入?yún)^(qū)依次輸入式(2)和(3)，“Q1=(d,0,0)”和“Q2=(d′,0,0)”.

(2)由于電勢(shì)函數(shù)較為復(fù)雜，依次在輸入?yún)^(qū)輸入式(5)、(6)、(7)、(8).

(3)在輸入?yún)^(qū)輸入電勢(shì)函數(shù)(4)，便可繪制出圖6(a).

(4)同第一種鏡像電場(chǎng)的操作方式，可繪制點(diǎn)電荷與鏡像電荷連線方向的電勢(shì)分布如圖6(b)，等勢(shì)線空間分布如圖6(c)，等勢(shì)線二維平面分布如圖6(d).

(a)電勢(shì)空間分布

3 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球面的電場(chǎng)

當(dāng)導(dǎo)體球不接地時(shí)，此時(shí)除了有鏡像電荷q′外，還存在另一個(gè)位于球心的鏡像電荷q″，使得導(dǎo)體球總體帶電量為零.點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球面的鏡像電荷的大小和位置如圖7所示.

圖7 點(diǎn)電荷與不接地導(dǎo)體球面的鏡像電荷的大小和位置

根據(jù)鏡像法

q″=-q′

(9)

d″=0

(10)

此時(shí)P點(diǎn)的電勢(shì)函數(shù)表示為

(11)

可視化實(shí)現(xiàn)與以上兩種情景類似，本部分不再詳述，最后通過(guò)GeoGebra分別繪制如圖8所示.

移動(dòng)滑動(dòng)條上各變量，會(huì)發(fā)現(xiàn)各圖像形成動(dòng)態(tài)變化，即電勢(shì)大小隨著各個(gè)變量的改變而改變，但是電勢(shì)大致的分布沒(méi)有受到影響.顯然以上圖像顯示的結(jié)果與傳統(tǒng)教學(xué)過(guò)程中得到的結(jié)論是一致的.而且這些圖形是根據(jù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果繪制出的，比目前眾多教材中還在大量采用的示意性圖準(zhǔn)確可靠.

(a)電勢(shì)空間分布

5 結(jié)束語(yǔ)

本文旨在嘗試在教學(xué)工作中運(yùn)用極簡(jiǎn)教育技術(shù)推進(jìn)課堂教學(xué)信息化，以極簡(jiǎn)主義理念所倡導(dǎo)的師生使用方便、直觀、實(shí)用、易學(xué)、易用作為出發(fā)點(diǎn)，以GeoGebra軟件對(duì)靜電場(chǎng)中點(diǎn)電荷的3種鏡像法電場(chǎng)進(jìn)行可視化研究為例，生動(dòng)鮮活、直觀詳盡地展現(xiàn)了在鏡像電場(chǎng)中各個(gè)視角的電勢(shì)分布和等勢(shì)線分布情況.在以往的教學(xué)中，學(xué)生很難通過(guò)公式推導(dǎo)和課本上呈現(xiàn)的二維平面圖，就能了解不同電場(chǎng)中電勢(shì)分布情況，然而借助極簡(jiǎn)教育技術(shù)，利用GeoGebra開(kāi)展靜電場(chǎng)仿真教學(xué)，很容易地令點(diǎn)電荷鏡像法電場(chǎng)可視化后，化抽象的概念為直觀的認(rèn)識(shí)，學(xué)生通過(guò)分析3D圖像，會(huì)發(fā)現(xiàn)不同鏡像電場(chǎng)的各個(gè)視角的電勢(shì)分布圖像各有特點(diǎn)，以及軟件頁(yè)面的顏色區(qū)分和動(dòng)態(tài)效果，加深了學(xué)生對(duì)不同場(chǎng)分布結(jié)構(gòu)的印象和理解，從而達(dá)到極簡(jiǎn)教育技術(shù)所倡導(dǎo)的目的，為廣大教師推動(dòng)教育觀念更新、在教學(xué)中推進(jìn)新技術(shù)支持下的教育教學(xué)創(chuàng)新思路提供參考與借鑒.