數(shù)學(xué)多選題的基本類型及破解策略

林菊芳

(湖北省黃岡市團(tuán)風(fēng)中學(xué) 438800)

數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題是選擇題的一種，它具有備選答案不唯一，存在多個(gè)正確選項(xiàng)的特點(diǎn).試題可以從多角度審視某一核心數(shù)學(xué)概念的全貌，考查更多的數(shù)學(xué)基本知識(shí)點(diǎn)或能力點(diǎn)，對(duì)學(xué)生有較好的區(qū)分度.解答此類型數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題可以用直接法、特值法、反證法、數(shù)形結(jié)合法等逐項(xiàng)判斷.

一、數(shù)學(xué)多選題的基本類型

數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題根據(jù)各選擇支干擾因素的區(qū)分，對(duì)應(yīng)的選項(xiàng)設(shè)計(jì)大致分為以下六種基本類型，即：

(1)條件疏漏：將一些數(shù)學(xué)問題中容易疏漏的條件所產(chǎn)生的結(jié)果設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng)；

(2)實(shí)際背景忽視：細(xì)心模擬學(xué)生的演算過失和差錯(cuò)，得到迷惑性較強(qiáng)的選擇支干擾項(xiàng)，對(duì)提高試題的針對(duì)性和鑒別力十分有效；

(3)概念混淆：針對(duì)學(xué)生容易混淆的數(shù)學(xué)相關(guān)概念、性質(zhì)等設(shè)計(jì)選擇支干擾項(xiàng)；

(4)題意誤解：讀題不慎，審題不細(xì)，誤解題意，由此引發(fā)的錯(cuò)誤結(jié)論設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng)；

(5)推理錯(cuò)亂：由不合邏輯的推理而造成的錯(cuò)誤結(jié)果設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng)；

(6)思維定勢：熟悉的內(nèi)容，相似的形式，常會(huì)令人產(chǎn)生類比與聯(lián)想，可能產(chǎn)生負(fù)遷移，由此導(dǎo)致的錯(cuò)誤設(shè)計(jì)為選擇支干擾項(xiàng)等.

二、數(shù)學(xué)多選題的破解策略

1.概念辨析類多選題

例1(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第9題)(多選題)有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則( ).

A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

分析利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)中的基本知識(shí)、基本公式等，將統(tǒng)計(jì)中的概念、公式等基本知識(shí)交匯與融合在一起，通過平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義直接判斷即可.

解析對(duì)于選項(xiàng)A，兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的差為c，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)的差是c，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由于標(biāo)準(zhǔn)差D(yi)=D(xi+c)=D(xi)，則知兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由于yi=xi+c(i=1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，x的極差為xmax-xmin，y的極差為(xmax+c)-(xmin+c)=xmax-xmin，所以兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同，故選項(xiàng)D正確.故選CD.

2.運(yùn)算、推理類多選題

例2(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第11題)(多選題)已知點(diǎn)P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上，點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，則( ).

A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

分析求出過AB的直線方程，再求出圓心到直線AB的距離，得到圓上的點(diǎn)P到直線AB的距離范圍，判斷選項(xiàng)A與B；畫出圖形，由圖可知，當(dāng)過點(diǎn)B的直線與圓相切時(shí)，滿足∠PBA最小或最大，求出圓心與點(diǎn)B間的距離，再由勾股定理求得|PB|判斷選項(xiàng)C與D.

3.位置確定類多選題

例3(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第10題)(多選題)如圖1，在正方體中，O為底面的中點(diǎn)，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)，則滿足MN⊥OP的是( ).

圖1

分析對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)正方體棱長為2，設(shè)MN與OP所成角為θ，求出tanθ的值，從而不滿足MN⊥OP；對(duì)于選項(xiàng)B，C，D，作出平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，利用向量法進(jìn)行判斷.

圖2

4.信息創(chuàng)新類多選題

例4(2021年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第12題)設(shè)正整數(shù)n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，記ω(n)=a0+a1+…+ak，則( ).

A.ω(2n)=ω(n) B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3) D.ω(2n-1)=n

分析根據(jù)創(chuàng)新定義，2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1可判斷選項(xiàng)A；取n=2可判斷選項(xiàng)B；把8n+5和4n+3都化成n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2k-1+ak·2k，可判斷選項(xiàng)C；2n-1=1·20+1·21+…+1·2n-1可判斷選項(xiàng)D.

解析由于2n=a0·21+a1·22+…+ak-1·2k+ak·2k+1，則有ω(2n)=ω(n)=a0+a1+…+k，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)n=2時(shí)，2n+3=7=1·20+1·21+1·22，可得ω(7)=3，又ω(2)=0+1=1，所以ω(7)≠ω(2)+1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；w(8n+5)=w(8n+4+1)=w(8n+4)=1,w(4n+3)=w(4n+2+1)=w(4n+2)+1,由A選項(xiàng)知，w(2n)=w(n),所以w(8n+4)=w(4n+2),即w(8n+5)=w(4n+3),故選項(xiàng)C正確；由于2n-1=1·20+1·21+…+1·2n-1，可得ω(2n-1)=n，故選項(xiàng)D正確.故選ACD.

新高考中數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題的創(chuàng)新引入與設(shè)置，給數(shù)學(xué)知識(shí)的設(shè)置與考查提供更多的場所，給不同層次的學(xué)生增加了得分機(jī)會(huì)，也更精準(zhǔn)地測試和區(qū)分了不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力水平.同樣，數(shù)學(xué)多項(xiàng)選擇題不同基本類型與相應(yīng)的破解策略不斷涌現(xiàn)，特別是基本類型與破解策略之間經(jīng)常也是交叉與融合的，沒有太過明顯的類別，實(shí)際破解時(shí)要合理綜合，巧妙應(yīng)用.