小車-彈簧-小車簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程實(shí)驗(yàn)分析

朱晟豪

摘要：?jiǎn)渭儚睦碚摻嵌确治龊?jiǎn)諧振動(dòng)容易感到較為抽象，開(kāi)展小車-彈簧-小車簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程實(shí)驗(yàn)，能夠從理論與實(shí)踐結(jié)合角度理解相關(guān)概念?；诖耍ㄟ^(guò)分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)理論，開(kāi)展了簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)在利用輕質(zhì)彈簧連接小車，形成的系統(tǒng)可以做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)位移按正弦變化，說(shuō)明小車在變力作用下將開(kāi)展變加速運(yùn)動(dòng)，整個(gè)系統(tǒng)可以維持能量守恒。

關(guān)鍵詞：小車-彈簧-小車;簡(jiǎn)諧振動(dòng);實(shí)驗(yàn)分析

引言：在高中物理的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)中，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為最基本的機(jī)械振動(dòng)知識(shí)，開(kāi)展實(shí)驗(yàn)探索簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中位移、速度、加速度等數(shù)據(jù)的周期性變化規(guī)律，能夠更好地理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)回復(fù)力特征。因此在掌握相關(guān)理論知識(shí)的基礎(chǔ)上，以小車-彈簧-小車系統(tǒng)為對(duì)象開(kāi)展了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)過(guò)程實(shí)驗(yàn)，做到進(jìn)一步驗(yàn)證動(dòng)量守恒、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)理論。

1實(shí)驗(yàn)理論

在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，輕質(zhì)彈簧聯(lián)接一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，并保持一端固定，可以構(gòu)成彈簧振子。作為振動(dòng)物體，受總能可以使其達(dá)到平衡位置，且力的方向始終指向平衡位置，可以稱之為回復(fù)力[1]?；貜?fù)力為零，說(shuō)明物體得到平衡位置。一旦離開(kāi)該位置，受回復(fù)力作用，振子將返回平衡位置，并在慣性作用下離開(kāi)，因此將導(dǎo)致振動(dòng)形成。而物體跟偏離平衡位置的位移保持正比關(guān)系，且在回復(fù)力作用下發(fā)生振動(dòng)，將稱之為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，滿足式（1）：

式中，F(xiàn)為回復(fù)力，k為常數(shù)，x為偏離平衡位置的位移。加速度a大小與x成正比，方向則保持相反。在簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)中，a始終變化，使物體保持變加速運(yùn)動(dòng)。根據(jù)以往學(xué)習(xí)到位移、加速度等知識(shí)理解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，較難體會(huì)物體運(yùn)動(dòng)情況，因此難以準(zhǔn)確把握回復(fù)力等數(shù)值變化規(guī)律。將小車-彈簧-小車當(dāng)成是研究對(duì)象，可以利用平滑導(dǎo)軌賦予系統(tǒng)初始勢(shì)能，使系統(tǒng)從初始原點(diǎn)位置開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，確認(rèn)系統(tǒng)在彈簧回復(fù)力作用下的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，根據(jù)小車各自位置變化對(duì)系統(tǒng)總體受力情況展開(kāi)分析，確定僅彈簧力做功狀態(tài)下的系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒。經(jīng)過(guò)一次全振動(dòng)分析，可以較好把握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

2實(shí)驗(yàn)方法

按照上述理論開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，需要提前準(zhǔn)備好兩個(gè)質(zhì)量均為M的相同小車，分別設(shè)為A和B，中間利用輕質(zhì)彈簧聯(lián)接，彈簧長(zhǎng)為l，勁度系數(shù)為K。系統(tǒng)質(zhì)心為彈簧中點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸則為水平向右方向，彈簧總壓縮量需要達(dá)到2d。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，利用運(yùn)動(dòng)傳感器、力傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)采集。彈簧質(zhì)量為0.007kg，相較于小車質(zhì)量較輕。按照式（2）確定振動(dòng)周期，可知基本不受彈簧影響。

式中，TA和TB分別為小車A和B的振動(dòng)周期，與小車質(zhì)量相關(guān)。在實(shí)驗(yàn)一開(kāi)始，先利用卡槽對(duì)兩個(gè)小車位置進(jìn)行固定。將卡槽迅速拔出后，小車將發(fā)生自由運(yùn)動(dòng)，然后利用傳感器對(duì)小車運(yùn)動(dòng)情況進(jìn)行檢測(cè)，確定小車A和B的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和系統(tǒng)質(zhì)心狀態(tài)。

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1小車運(yùn)動(dòng)

從記錄的小車A和B的運(yùn)動(dòng)情況來(lái)看，小車A位移在-0.04～0.08m之間不斷波動(dòng)，小車B的位移則在0.04～0.08m間波動(dòng)。在兩小車波動(dòng)幅值大小接近，方向相反的情況下，質(zhì)心位移在原始位置發(fā)生了輕微波動(dòng)，始終接近0。而發(fā)生的小幅度波動(dòng)，與實(shí)驗(yàn)誤差有關(guān)。因?yàn)閷?shí)驗(yàn)無(wú)法達(dá)到完全理想狀態(tài)，如釋放小車時(shí)無(wú)法完全保證兩個(gè)小車同時(shí)運(yùn)動(dòng)，測(cè)量和記錄位置變化時(shí)也將引入設(shè)備和人為誤差，導(dǎo)致記錄的兩個(gè)小車數(shù)據(jù)無(wú)法保證完全為同一時(shí)刻[2]。忽略這些誤差的影響，可以認(rèn)為系統(tǒng)質(zhì)心始終位于圓點(diǎn)，因此能夠驗(yàn)證質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。根據(jù)結(jié)果可知，系統(tǒng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期為0.349s，為確定是否準(zhǔn)確，需要對(duì)彈簧勁度系數(shù)展開(kāi)分析，通過(guò)理論求解周期值。彈簧帶有軟性特征，拉伸和壓縮過(guò)程中的力無(wú)法保證完全相同，因此需要測(cè)量，確定壓縮和拉伸的勁度系數(shù)分別為274N/m和247N/m。在彈簧彈力和小車位移保持正比、反向關(guān)系的情況下，小車諧振周期T滿足：

式中，K1和K2分別為壓縮和拉伸階段的勁度系數(shù)，最終可以確定系統(tǒng)周期為0.362s，與實(shí)驗(yàn)值之間的誤差達(dá)到3.6%，驗(yàn)證了試驗(yàn)結(jié)果符合要求。通過(guò)認(rèn)真觀察，也可以發(fā)現(xiàn)小車A和B做反向運(yùn)動(dòng)時(shí)，呈現(xiàn)出對(duì)稱美、和諧美，說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。遠(yuǎn)離平衡位置，在彈簧作用下，小車將開(kāi)始減速，反之距離平衡位置越近將開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)。位移與時(shí)間之間關(guān)系帶有正弦函數(shù)規(guī)律，因此振動(dòng)曲線為正弦，發(fā)生的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

3.2能量守恒

從能量守恒角度展開(kāi)分析，需要分別判斷系統(tǒng)動(dòng)量和機(jī)械能是否守恒。根據(jù)以往學(xué)習(xí)到的知識(shí)，可知小車A和B在相反運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，保持速度反相變化，同時(shí)振幅相同，最終速度峰值將造成導(dǎo)軌摩擦力作用下逐漸減小。將小車和彈簧看成是一個(gè)整體，位于中間位置的彈簧產(chǎn)生的線性回復(fù)力相當(dāng)于內(nèi)力，與每個(gè)小車承受的摩擦力大小相等，方向相反[3]。在各種力的相互作用下，系統(tǒng)總體受到的外力為零，因此能夠保持動(dòng)量守恒。在不同時(shí)刻對(duì)小車A和B的速度最大值VA和VB展開(kāi)分析，然后進(jìn)行小車A和B的做功驗(yàn)算，能夠得到表1。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，系統(tǒng)總動(dòng)量P合基本接近零，即維持了初動(dòng)量，能夠維持系統(tǒng)能量守恒。

對(duì)系統(tǒng)機(jī)械能展開(kāi)分析，可知在簡(jiǎn)諧振動(dòng)過(guò)程中，光滑導(dǎo)軌依然會(huì)對(duì)小車產(chǎn)生摩擦力，導(dǎo)致系統(tǒng)總的機(jī)械能減少。對(duì)小車在均減速期間運(yùn)動(dòng)狀態(tài)展開(kāi)分析，可以確定摩擦力大小。根據(jù)小車速度變化，可知小車加速度達(dá)到0.0371m/s2，摩擦力約為0.0321N。在小車并未被放開(kāi)時(shí)，彈簧壓縮至最大，系統(tǒng)機(jī)械能達(dá)到0.0347J。根據(jù)實(shí)驗(yàn)不同時(shí)刻小車位置，對(duì)系統(tǒng)機(jī)械能展開(kāi)分析，可以確定摩擦力作用下機(jī)械能變化情況。通過(guò)分析，可以發(fā)現(xiàn)小車機(jī)械能從0.0347J逐漸下降至0.0171J。根據(jù)摩擦力進(jìn)行做功補(bǔ)償，重新進(jìn)行機(jī)械能分析，能夠確定在不同時(shí)段小車機(jī)械能始終維持在0.0335～0.358J之間，誤差在0.1～3.6%范圍內(nèi)。由此可見(jiàn)，忽略導(dǎo)軌產(chǎn)生的摩擦力作用，在理想狀態(tài)下系統(tǒng)機(jī)械能在初始值周圍發(fā)生小幅度波動(dòng)。根據(jù)以往學(xué)習(xí)到的知識(shí)可知，彈簧壓縮時(shí)也無(wú)法確認(rèn)全部在一維內(nèi)發(fā)生形變，因此將導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差的產(chǎn)生。排除誤差影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以說(shuō)明系統(tǒng)機(jī)械能守恒，說(shuō)明簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以看成是彈簧振子運(yùn)動(dòng)，遵循機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

結(jié)論：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有往復(fù)性、周期性的特點(diǎn)，小車靜止位置為平衡位置，利用輕質(zhì)彈簧連接可以構(gòu)成彈簧振子，在平動(dòng)過(guò)程中彈簧中心為質(zhì)點(diǎn)。在彈簧力作用下，振子將發(fā)生運(yùn)動(dòng)，彈力將指向平衡位置，使系統(tǒng)發(fā)生變加速運(yùn)動(dòng)，位移呈正弦變化。依靠彈簧傳力，使系統(tǒng)維持能量守恒，可以使小車運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)。掌握簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)規(guī)律，不僅要求熟練運(yùn)用加速度、位移等知識(shí)，也要求了解運(yùn)動(dòng)過(guò)程與規(guī)律，從而為判斷物體是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)提供有力支持。

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