讓史料豐盈思維

姜華

摘要：對于“倍拼法”求三角形的面積，學(xué)生的心中有很多問號。如果將教材的編排直接作為教學(xué)的流程，則少了思維的曲折和碰撞，把學(xué)生一下帶到了思維的終點。對此，重構(gòu)《三角形的面積》一課教學(xué)：立足學(xué)生的學(xué)情，選擇合適的史料融入教學(xué)，讓學(xué)生在古今思維的碰撞中產(chǎn)生共鳴，體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，讓思維得以豐盈。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;“倍拼法”;“以盈補缺”;《三角形的面積》

一、學(xué)情分析及史料拓展

“三角形的面積”是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊中的內(nèi)容。在此之前，學(xué)生已經(jīng)認識了“面積”，知道了三角形的特征以及長方形、正方形、平行四邊形的面積計算方法，為本課的學(xué)習(xí)儲備了相應(yīng)的知識基礎(chǔ)。如圖1所示，教材主要通過“倍拼法”引導(dǎo)學(xué)生理解三角形的面積公式，即“全等拼接，折半求積”，也就是將兩個全等的三角形拼成平行四邊形，所以一個三角形的面積是所在平行四邊形面積的一半，公式為S=ah÷2。這一方法通過建立三角形面積與平行四邊形面積的關(guān)系來解釋公式，與歐幾里得在《幾何原本》中的思路是一致的?！氨镀捶ā焙唵巍⒅庇^，緊密聯(lián)系了學(xué)生前一節(jié)課學(xué)過的“平行四邊形的面積”，具有普適性。

而在實際教學(xué)過程中，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很難自主想到“倍拼法”的策略，幾乎都是在教材或者教師指導(dǎo)下被動操作。為什么教材的編寫邏輯與學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀不一致呢？翻閱“認識面積”以及“平行四邊形的面積”相關(guān)的教材內(nèi)容，能發(fā)現(xiàn)些許端倪：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)過程中具備了面積守恒的意識，知道將一個圖形切割、重組后面積不變;受平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)過程的影響，學(xué)生比較容易想到運用“等積轉(zhuǎn)化”，把一個三角形“割補”成長方形進行公式推導(dǎo)。

我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的史料，能給學(xué)生這樣的認知經(jīng)驗注入歷史的厚重感。《九章算術(shù)》的“方田章”中介紹了直線型圖形的面積計算公式和實際運用問題。其中，第25題為：“今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？術(shù)曰：半廣以乘正從?！惫纾垂缧?，指三角形;“廣”指三角形的底邊長;“正從”指三角形底邊上的高。也就是用三角形底的一半乘三角形的高。著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“以盈補虛”的原理注釋了三角形面積公式的這種推導(dǎo)方法，蘇教版教材在《你知道嗎》欄目（見圖2）也有所提及?！耙杂a虛”實則就是“割補法”，即把一個平面圖形經(jīng)過分割、移補，使其面積保持不變，來計算它們的面積，體現(xiàn)的還是轉(zhuǎn)化的思想。

二、教學(xué)重構(gòu)：讓數(shù)學(xué)史料豐盈學(xué)生思維

對于教材的拼法，“為什么這樣拼？又是怎么想到這樣的拼法的？還有其他解決問題的路徑嗎？……”學(xué)生的心中有很多問號。如果將教材的編排直接作為教學(xué)的流程，則少了思維的曲折和碰撞，把學(xué)生一下帶到了思維的終點——方格對三角形和平行四邊形的量性特征進行了刻畫，學(xué)生只需要數(shù)一數(shù)、算一算即可獲知涂色三角形的面積。這樣的教學(xué)，心中有書，但“目中無人”。美國數(shù)學(xué)史家卡約黎認為，一門學(xué)科的歷史是“使面包和黃油更加可口的蜂蜜”。為此，我們需要立足學(xué)生的學(xué)情，選擇合適的史料融入教學(xué)，讓學(xué)生在古今思維的碰撞中產(chǎn)生共鳴，體會數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的過程，讓思維得以豐盈?；谏鲜鏊伎?，筆者重新建構(gòu)了本課教學(xué)，過程如下——

（課前，教師發(fā)放習(xí)題紙，要求學(xué)生在習(xí)題紙上的圖3中畫一畫、寫一寫，然后算出三角形的面積。）

師你們是怎么算出這個三角形的面積的？

生我認為，要算出三角形的面積，其實就是要數(shù)清三角形內(nèi)有多少個1平方厘米的正方形。雖然有些格子不是整格的，但是可以通過切拼的方法，湊成整格的。（展示方法，如圖4）將①號、②號三角形切割，旋轉(zhuǎn)后和上面空缺的地方拼補起來，這樣就拼成了長方形，長6厘米，寬3厘米，面積就是18平方厘米。

師這樣切拼轉(zhuǎn)化后的長方形與原來的三角形有什么聯(lián)系呢？

生面積相等，而且長方形的長與三角形的一條高長度相等。

生三角形最下面這條底邊的長度和轉(zhuǎn)化后長方形寬的長度之間有倍數(shù)關(guān)系。兩次分割，將三角形底邊的6厘米分成三段，兩端的線段分別屬于①號和②號三角形，中間一段就是長方形的寬。①號和②號的兩段拼起來后也等于長方形的寬。所以說三角形最下面這條底的長度是長方形寬的長度的2倍。

（全班自發(fā)鼓掌。）

師你們是怎么評價這種切割之后再拼補的“割補法”的？

生“割補法”將三角形轉(zhuǎn)化成了等面積的長方形，將原來三角形內(nèi)不好計數(shù)的非整格拼成了整格，就回到了長方形的面積計算。

師“退”是一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的策略?！案钛a法”在銳角三角形中成功了，那在鈍角三角形和直角三角形中也能應(yīng)用嗎？我們不妨來試一試。

（學(xué)生通過操作發(fā)現(xiàn)，鈍角三角形和直角三角形也可以用“割補法”轉(zhuǎn)化成等面積的長方形。）

師如果用第一位同學(xué)的方法，（出示圖5）在△ABC上割下①號和②號，你覺得應(yīng)該從哪里開始割？怎么割？自己動手畫一畫，也可以動手剪一剪，拼一拼。

（學(xué)生操作后交流。）

生（邊解說邊操作，過程如圖6）我們發(fā)現(xiàn)要從AB和AC的中點向BC邊作垂線，然后沿著垂線剪開，這樣就有了4個直角。找中點，是因為我們發(fā)現(xiàn)①號直角三角形的斜邊必須找一條和它一樣長的線段拼到一起，所以要將AB平均分成兩段。

師雖然方格紙沒有了，但是我們的思考卻更深入了?！案钛a法”在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中就有記載，著名數(shù)學(xué)家劉徽在注文中用“以盈補虛”的方法做了說明。古人概括三角形的面積的計算方法是“半廣以乘正從”，（出示圖7）你能結(jié)合圖來解釋一下這種計算方法嗎？

生“半廣”是長方形的寬，也就是三角形底邊長度的一半。“從”是長方形的長，也是三角形的高。所以三角形的面積=半廣×從，用現(xiàn)在的話說就是：S△=底÷2×高。

生我覺著第一位同學(xué)的割補方法有些麻煩，（展示做法，如圖8）我將原三角形沿高分成兩個直角三角形，①號、②號分別是它們所在長方形面積的一半，所以①號、②號的面積分別是12平方厘米、6平方厘米。所以三角形的總面積是18平方厘米。

師從他的圖中，能看出三角形和大長方形的關(guān)系嗎？

生三角形的底是長方形的長，三角形的高等于長方形的寬。三角形的面積是它所在的大長方形面積的一半。

生所以我們又可以有一種新的求三角形面積的方法了，S△=S長方形÷2=底×高÷2。

師這兩種轉(zhuǎn)化方法都是將三角形和長方形建立聯(lián)系：第一種方法，“割補法”，“以盈補虛”，得到的長方形的面積等于三角形的面積;第二種方法，“倍拼法”，得到的長方形的面積是三角形面積的2倍。雖然每一種算法里都有“÷2”，但背后的思路卻不一樣。深入思考會給我們帶來不一樣的收獲。

生其實還有一個證明三角形的面積是長方形面積一半的方法。（展示做法，如圖9）將倍拼后的①號向右平移6格之后，可以和倍拼后的②號拼成一個三角形，這個三角形和原來的三角形都只包含①號、②號兩部分，所以它們的面積是相等的。也就是說三角形的面積是長方形面積的一半。

生我突然發(fā)現(xiàn)，兩個大三角形就拼成了一個平行四邊形，而且三角形的面積也是平行四邊形面積的一半。

生這樣，整體思路又可以進一步簡化了：兩個完全一樣的三角形就可以拼成一個平行四邊形，三角形的面積是所在平行四邊形面積的一半。

生那我們又能得到求三角形面積的新方法了：因為三角形的底和平行四邊形的底相等，三角形底邊上的高也就是平行四邊形對應(yīng)底邊上的高，所以S△=S平行四邊形÷2=底×高÷2。

師雖然兩次都得到了S△=底×高÷2，但是思路上又有了變化，我們可以從多個角度來理解這里的“底×高”。

……

雖然學(xué)生最終推導(dǎo)出的三角形的面積公式都是S△=底×高÷2，但是每一次推導(dǎo)的思維路徑卻是不一樣的，無論是“底×高”還是“÷2”，在每一次的推導(dǎo)中的意義是不同的，因此也對應(yīng)著不同的詮釋。學(xué)生對原先冷冰冰的三角形面積公式多了一份火熱的思考，對圖形之間的關(guān)系進行了多向度的溝通和轉(zhuǎn)化，達成了更為靈活和精妙的推理，形成了多角度的理解。

從歷史出發(fā)，觀照現(xiàn)在，能夠更好地捕捉知識的核心價值;數(shù)學(xué)史的鏈接和融入，能夠給教學(xué)帶來新的方向，使學(xué)生的思維愈加豐盈。

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