基于貝葉斯方法的沖擊試樣測量不確定度評估

李海蓉,彭 煜,胡 翔,靳俊杰,包 福,劉方義,姜 明

(1.湖北省計量測試技術(shù)研究院,湖北 武漢 430223;2.武漢紡織大學 材料科學與工程學院,湖北 武漢 430200;3.武漢紡織大學 計算機與人工智能學院,湖北 武漢 430200)

沖擊試驗是確定產(chǎn)品及設(shè)備在經(jīng)受沖擊負荷作用時產(chǎn)品的安全性、可靠性和有效性的一種試驗方法[1-2]。為了保證沖擊試驗機示值的準確性,必須對其進行計量檢定/校準。而用標準沖擊樣品對沖擊試驗機進行計量,能夠評定沖擊試驗機的綜合性能,或?qū)υO(shè)備問題進行追溯,是一種準確、簡單、高效的計量手段。

不確定度評估的目的是探知測量結(jié)果的準確和可靠程度[3-10]。GUM(The guide to the expression of uncertainty in measurement)[11]提供了測量不確定度的指導(dǎo)方法。它通過測量方程建立起誤差元變量與被測量之間的關(guān)系,從而確保誤差之間的可傳遞性。GUM S1[12]基于數(shù)值計算方法通過Monte-Carlo方法實現(xiàn)概率密度函數(shù)的抽樣。它也可看作是一種特殊先驗條件下基于貝葉斯方法(Bayesian method)的不確定度評估[13-14]?；谪惾~斯方法評定不確定度的研究大多采用A類評定,但通常未考慮完整測量方程[15-18]。

本文在考慮多源測量不確定性基礎(chǔ)上,通過對ABS共聚物沖擊試樣進行沖擊測試,建立適當?shù)臏y量方程,分別通過GUM標準評估方法與非線性系統(tǒng)的貝葉斯方法對評定數(shù)據(jù)源進行分析,并對二者結(jié)果進行對比與評價。進一步,我們提出簡單重復(fù)性取樣,優(yōu)化貝葉斯方法的先驗選取方案不足,以此,我們得到更置信的貝葉斯評估方案。

1 評估方法

1.1 數(shù)學模型

依據(jù)GBT1043.1-2008標準制備A型沖擊試樣,試樣原料為丙烯腈-丁二烯-苯乙烯共聚物(ABS,TAIRILAC 15A0)。樣品沖擊強度為

(1)

式(1)中:Ec為樣條沖擊強度,kJ/m2;c為沖擊能,J;h為樣條在缺口處的厚度,mm;b為樣條剩余寬度,mm。

由式(1)可知,沖擊樣條的測量不確定度包括沖擊能c的測量不確定度、樣條在缺口處的厚度h的測量不確定度以及樣條剩余寬度b的測量不確定度三個部分,且互不相關(guān),因此樣條沖擊強度的標準不確定度的計算公式如下:

(2)

1.2 誤差源分析

1) 在沖擊試樣尺寸測量過程中引入的不確定度

包括測量缺口處的厚度,以及寬度所引入的不確定度分量。此類不確定度評定需經(jīng)過重復(fù)性的實驗進行統(tǒng)計計算,進行A類不確定度評定。

2) 由于沖擊能修正而引入的不確定度

該分量與實驗儀器的精度和沖擊實驗過程中擺錘能量損失有關(guān),無須開展重復(fù)性實驗,進行B類不確定度評估。

3) 由于實驗數(shù)據(jù)修約而引入的不確定度

進行B類不確定度評估。

4) 與沖擊強度測量重復(fù)性相關(guān)的不確定度

進行A類不確定度評估。

1.3 GUM方法評估

根據(jù)JJF 1059.1-2012《測量不確定度評定與表示》進行GUM法不確定度評估。

1.4 貝葉斯方法評估

將參數(shù)μ看作隨機變量,且測試前具有關(guān)于參數(shù)μ的所有信息的先驗分布,通過測試得到數(shù)據(jù)X=(x1,x2,x3,…),結(jié)合X和先驗分布得到參數(shù)μ的后驗分布。后驗分布包含了μ的所有信息,因此對μ所作的任何計算都基于后驗分布。

貝葉斯理論可簡單表示為

h(μ|x)∝p(μ)L(μ|x)。

(3)

式中:h(μ|x)為后驗密度函數(shù),p(μ)為先驗密度函數(shù),L(μ|x)為樣本密度函數(shù),即似然函數(shù)。

當測量樣本(x1,x2,x3,…)相互獨立時,上一次的后驗分布可以作為下次計算的先驗分布。根據(jù)歷史測量數(shù)據(jù)得到先驗均值μ0和均值的先驗標準差τ,并假設(shè)測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布,因此可認為p(μ)～N(μ0,τ2),得到均值μ的先驗密度函數(shù)為

(4)

(5)

將式(4)和(5)代入式(3)得到后驗分布為

(6)

其中,

(7)

(8)

2 測試結(jié)果與分析

利用XJJ-50型簡支梁沖擊試驗機對樣條進行沖擊測試,得到數(shù)據(jù)如表1所示。

2.1 測試數(shù)據(jù)異常值判定

表1 樣品沖擊測試結(jié)果

2.2 不確定度評估

我們首先基于GUM方法評估該型儀器的不確定度?；诖俗鳛閷Ρ冉Y(jié)果,在2.3中引入貝葉斯方法與Monte-Carlo方法進行對比評估,并詳細介紹了其中引起差異性結(jié)果的原因。

2.2.1 由沖擊樣條尺寸測量引入的不確定度

a. 由沖擊試樣的厚度測量引入的不確定度

利用貝塞爾公式得到25次測量數(shù)據(jù)的標準偏差:

(9)

故標準不確定度為

(10)

由沖擊試樣厚度測量引入的相對標準不確定度為

(11)

b. 由沖擊試樣剩余寬度測量引入的不確定度

同理,基于A類不確定度評估方法評估剩余寬度測量數(shù)據(jù),利用貝塞爾公式得到其標準偏差為

(12)

其標準不確定度為

(13)

沖擊試樣剩余寬度測量引入的相對標準不確定度為

(14)

根據(jù)貝塞爾方法計算出的由于沖擊樣條尺寸測量引入的相對不確定度為

(15)

2.2.2 由于擺錘能量損失而引入的不確定度

a. 與沖擊試驗機測量誤差相關(guān)的不確定度

(16)

b. 由于能量損失而引入的不確定度

測試過程中的空氣阻力、指針摩擦、軸承摩擦等因素會造成擺錘沖擊能損失。參照該試驗機技術(shù)指標,7.5 J擺錘的能量損失為0.5%,所以區(qū)間半寬a=0.5%,測量值落在該區(qū)間的概率呈均勻分布,所以相對標準不確定度為

(17)

故在沖擊過程中,由于能量損失引入的不確定度為

(18)

2.2.3 由于測量沖擊能的重復(fù)性引入的不確定度

由貝塞爾公式可計算出沖擊強度Ec的標準偏差為

(19)

由于測量的可重復(fù)性引入的相對不確定度為

(20)

2.2.4 由于測試數(shù)據(jù)修約所引入的不確定度

(21)

其相對標準不確定度為

(22)

2.2.5 合成標準不確定度

綜合上述幾種不確定度分量,將其誤差源視為獨立分布變量,則合成標準不確定度

(23)

2.2.6 擴展不確定度

在95%的置信因素下,取包含因子k=2,則擴展不確定度為

uk=k×ugum=10.60%。

(24)

2.3 貝葉斯方法不確定度評估

2.3.1 由沖擊樣條尺寸測量引入的不確定度

本研究中樣條尺寸有25組數(shù)據(jù),根據(jù)前15組數(shù)據(jù)得出先驗分布,再根據(jù)貝葉斯理論計算出后10組數(shù)據(jù)的標準不確定度。

a. 由沖擊試樣厚度測量引入的不確定度

b. 由沖擊試樣剩余寬度測量引入的不確定度

故根據(jù)貝葉斯理論計算出由于沖擊樣條尺寸測量引入的相對不確定度為

(25)

2.3.2 由于擺錘能量損失而引入的不確定度

貝葉斯方法評估不確定度依賴于先驗信息,對于讀數(shù)誤差,損失誤差等不可測量的誤差因素,其先驗信息的缺失可能導(dǎo)致計算數(shù)據(jù)不足。因此,我們通過Monte-Carlo方法模擬這些不可測量誤差從而獲得仿真數(shù)據(jù),并進一步基于貝葉斯理論計算該不確定度。為模擬真實測量場景,基于上述GUM方法B類評估數(shù)據(jù),模擬出M=100萬組與測量變量對應(yīng)的25組誤差源數(shù)據(jù)。并基于貝葉斯方法計算出各個數(shù)據(jù)源,取其中一組模擬數(shù)據(jù)(如表2)進行分析。由試驗機測試精度引入的不確定度分量σa(c)=3.540 0×10-2,由測試過程能量損失引入的相對不確定度σb(c)=2.815 6×10-3。

2.3.3 由于沖擊能測量重復(fù)性引入的不確定度

表2 誤差模擬數(shù)據(jù)

因此,由沖擊能測量重復(fù)性所引入的相對不確定度為σrel(c)=σ(c)/1.215 2=4.907 6×10-2。

2.4 不確定度合成與結(jié)果分析

綜合上述幾種計算源結(jié)果,則標準不確定度合成如下:

(26)

通過上述計算可知,貝葉斯與GUM方法計算結(jié)果存在差異,主要原因在于其先驗數(shù)據(jù)相較于整體測試樣本數(shù)據(jù)未保持分布一致。因此,基于上述分析可知,將BM與Monte-Carlo模擬相結(jié)合,并通過多次隨機抽取先驗數(shù)據(jù)與后驗數(shù)據(jù),可有效排除人為因素干擾,有利于獲得更為有效的沖擊試樣測量不確定度評估結(jié)果。

2.5 重復(fù)隨機抽樣

σrel(h)=3.1463×10-3,

(27)

σrel(b)=3.0139×10-3,

(28)

σrel(c)=5.1429×10-2。

(29)

與上述基于貝葉斯方案的結(jié)果對比該重復(fù)取樣方案由于刨除了實驗隨機選取的影響,因而具有更可信的取樣空間,從而計算結(jié)果將變得更可靠。

進一步,我們詳細分析了不同先驗數(shù)據(jù)比例下(先驗與后驗數(shù)據(jù)量的不同)的相對不確定度。在同樣實驗環(huán)境下針對于每組實驗?zāi)MM=10萬次結(jié)果如表3所示。

表3 不同取樣尺度的結(jié)果

結(jié)果項中,由于其選取先驗與后驗數(shù)據(jù)數(shù)目的不同,導(dǎo)致了最終計算結(jié)果的差異。其歸因于式(8)受后驗數(shù)據(jù)數(shù)目的影響。

3 結(jié) 語

本文系統(tǒng)分析了ABS共聚物沖擊試樣的測量誤差源,通過建立完整測量方程,基于GUM標準不確定度評估方法進行不確定度評估。進一步基于貝葉斯評估方法與Monte-Carlo模擬結(jié)合評估該型機器的不確定度,并基于結(jié)果與GUM標準方法進行對比。利用貝葉斯方法進行了測量不確定度評估。有利于降低試驗成本,通過先驗數(shù)據(jù)和后驗數(shù)據(jù)的結(jié)合完成大樣本量下的不確定度評定,從而獲得更為有效的沖擊試樣測量不確定度評估結(jié)果。另外,附加的重復(fù)性取樣對于貝葉斯不確定度評估也是可選的方法,這將有利于綜合先驗與后驗數(shù)據(jù)選取的影響。后續(xù)將通過實測樣本數(shù)據(jù)以及優(yōu)化算法進一步提升數(shù)據(jù)模擬可信度,以此推動和優(yōu)化沖擊試樣的標準化研制工作。