馬世浩，劉韓生

（西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，陜西楊凌712100）

0 引 言

臺(tái)階式溢洪道作為一種高效的消能設(shè)施，在水利工程中得到了廣泛的應(yīng)用［1］。國內(nèi)外工作者對臺(tái)階式溢洪道做了大量研究［2-6］，水力特性也是研究的熱點(diǎn)，目前針對水力特性的研究主要集中在消能、壓強(qiáng)等特性方面［7-11］。

流速是重要的水力參數(shù)，對其研究具有重要意義。吳憲生［12］推求了臺(tái)階式溢洪壩壩下流速，預(yù)測了空蝕破壞可能性；代仲海［13］模擬研究了臺(tái)階式溢洪道水流流態(tài)，得到了垂直于臺(tái)階坡度的法向方向上的流速分布；Boes 等［14］對坡度19°～55°臺(tái)階式溢洪道準(zhǔn)均勻流段流速研究，并擬合了流速計(jì)算公式；張峰［15］通過數(shù)值模擬得到了流場內(nèi)與剪切力相關(guān)的流速分布規(guī)律；WAN H［16］采用SPH方法對臺(tái)階斷面的流速分布進(jìn)行了數(shù)值模擬；劉應(yīng)忠［17］引入相對摩阻流速的概念，研究了臺(tái)階式溢洪道摩阻流速在單寬流量、臺(tái)階高度、坡度影響下的沿程變化規(guī)律；馬朋輝［18］將臺(tái)階式溢洪道與光滑式溢洪道進(jìn)行對比分析，發(fā)現(xiàn)臺(tái)階式溢洪道流速變化復(fù)雜，規(guī)律性不強(qiáng)，不便應(yīng)用。

楊吉健等［19，20］定義了相對流速，通過與光滑式溢洪道斷面流速對比，研究了臺(tái)階式溢洪道過流斷面平均流速在某一定性條件下的沿程變化規(guī)律。楊吉健等開辟了臺(tái)階式溢洪道流速研究的新思路，但其研究不夠深入：①采用有因次數(shù)研究，反映的水流規(guī)律性不足；②沒有總結(jié)相關(guān)系數(shù)與各參數(shù)之間的關(guān)系；③缺乏進(jìn)一步的分析，例如沒有研究線性規(guī)律的斜率是否有規(guī)律性。馬朋輝［18］用x/L（L為臺(tái)階溢洪道流程長度、x為所處位置的流程長度）作為水流無因次參數(shù)，分析了滑行水流相對流速與無因次數(shù)之間的關(guān)系，得到了良好的相對流速沿程變化規(guī)律。雖然x/L為無因次數(shù)，但是它不夠嚴(yán)謹(jǐn)，原因是：①該參數(shù)未經(jīng)論證，而是直接使用；②從物理意義分析，該參數(shù)為相對流程，意味著水力參數(shù)，如流速、水深等與臺(tái)階式溢洪道長度有關(guān)，事實(shí)上，當(dāng)流程超過一定程度后，水力參數(shù)保持常數(shù)，并不隨流程變化而變化，這時(shí)水力參數(shù)與臺(tái)階式溢洪道長度無關(guān)。

本文進(jìn)一步研究臺(tái)階式溢洪道流速變化規(guī)律，通過對臺(tái)階式溢洪道相對流速因次分析，定義相對臨界水深與斷面位置無因次數(shù)，并進(jìn)行不同坡度的模型試驗(yàn)，分析相對流速與無因次數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，說明引入無因次數(shù)的必要性，得到臺(tái)階式溢洪道相對流速水力變化規(guī)律。

1 相對流速與無因次數(shù)的定義

1.1 相對流速的定義

臺(tái)階式溢洪道與對應(yīng)光滑式溢洪道的示意圖如圖1 所示。臺(tái)階式溢洪道1-1 斷面與光滑式溢洪道1′-1′斷面互為對應(yīng)斷面。

圖1 溢洪道示意圖Fig.1 Diagram of stepped spillways

根據(jù)定義［20］，過水?dāng)嗝婺骋晃恢锰幑饣揭绾榈罃嗝嫫骄魉倥c對應(yīng)過水?dāng)嗝娴呐_(tái)階式溢洪道斷面平均流速之差，為臺(tái)階式溢洪道相對流速：

式中：v`為光滑式溢洪道斷面平均流速，m/s；v為臺(tái)階式溢洪道斷面平均流速，m/s；q為單寬流量，m3/s·m；h`為光滑式溢洪道斷面平均水深，m：h為臺(tái)階式溢洪道斷面平均水深，m；Δv為臺(tái)階式溢洪道相對流速，m/s。

臺(tái)階式溢洪道斷面平均水深h在模型試驗(yàn)中通過多次探針測量取平均值，斷面平均流速v通過實(shí)測流量值除以斷面面積得到，臺(tái)階式溢洪道相對流速Δv通過以上參數(shù)計(jì)算即可求得。

光滑式溢洪道斷面平均水深、平均流速可以根據(jù)溢洪道設(shè)計(jì)規(guī)范［21］求得。

1.2 無因次數(shù)的定義

根據(jù)相對流速的定義，相對流速與單寬流量、臺(tái)階高度、流程長度、坡度、重力加速度等有關(guān)，可表示為：

式中：Δ為臺(tái)階高度，m；L為流程長度，m；θ為坡度；g 為重力加速度，m/s2。

對式（2）相對流速進(jìn)行因次分析，可得以下有關(guān)相對流速的無因次數(shù)群：

臨界水深用來判斷水流流態(tài)，光滑明渠臨界水深為：

式中：hk為臨界水深，m。

將式（4）帶入式（3）可得：

Hk是重要無因次參數(shù)，常用于判斷臺(tái)階式溢洪道水流流態(tài)［22］，它是臺(tái)階式溢洪道和對應(yīng)光滑式溢洪道的綜合水力參數(shù)，既反映了臺(tái)階的影響，又反映了對應(yīng)光滑式溢洪道水力特性的影響，本文用它可以揭示相對流速變化規(guī)律。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與水流流態(tài)

本文進(jìn)行了五個(gè)不同坡度的臺(tái)階式溢洪道模型試驗(yàn)，且五個(gè)工程項(xiàng)目采用的消能方案均為“臺(tái)階式溢洪道+消力池”。五個(gè)坡度的模型試驗(yàn)基本資料見表1。

表1 試驗(yàn)基本資料Tab.1 Basic information of tests

5 個(gè)不同坡度的模型試驗(yàn)均按重力相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)并進(jìn)行，并采用不同模型比尺，模型布置圖以坡度26.6°為例，如圖2 所示。5 個(gè)坡度的模型共有7 種不同臺(tái)階式溢洪道體型，總共有42 組試驗(yàn)組次，對每個(gè)組次進(jìn)行3 組流量的放水試驗(yàn)，測量溢洪道沿程斷面水深，試驗(yàn)流量范圍見表1。試驗(yàn)流量范圍內(nèi)臺(tái)階水流均為滑行水流，試驗(yàn)最小雷諾數(shù)值均大于500，即試驗(yàn)水流均為紊流。各斷面水深通過有機(jī)玻璃透明邊壁多次測量并取平均值，臺(tái)階式溢洪道水深測量如圖3所示，以臺(tái)階階頂連線為基準(zhǔn)，在各階頂處垂直于基準(zhǔn)線測量斷面水深，過流流量采用矩形薄壁堰和三角堰量測。

圖2 26.6°模型布置圖Fig.2 26.6°model layout

圖3 水深測量示意圖Fig.3 Water depth measurement in stepped spillway

3 相對流速變化規(guī)律

3.1 相對流速與斷面位置無因次數(shù)的關(guān)系

臺(tái)階式溢洪道相對臺(tái)階流速ΔvΔ與斷面位置無因次數(shù)LΔ的關(guān)系如圖4～8 所示，可見，無論Hk、θ如何變化，兩者之間均呈現(xiàn)線性關(guān)系，相關(guān)系數(shù)變化情況見表2，相關(guān)系數(shù)較高，為0.985 5～0.999 6，說明線性關(guān)系良好。臺(tái)階式溢洪道階相對臺(tái)階流速沿?cái)嗝嫖恢脽o因次數(shù)線性遞增，這是由于臺(tái)階式溢洪道設(shè)置了等高、均勻的臺(tái)階，而臺(tái)階式溢洪道沿程各臺(tái)階對水流流速的阻礙作用是相同的，臺(tái)階式溢洪道某一斷面的相對臺(tái)階流速實(shí)際上是前面單個(gè)臺(tái)階對水流流速的阻礙作用之和。相對臺(tái)階流速與斷面位置無因次數(shù)之間的關(guān)系可表示為：

式中：k為線性關(guān)系的斜率。

上式適用條件為坡度26.6°～51.3°，相對臨界水深1.83～12.1。

斜率k是無因次數(shù)，它反映了相對臺(tái)階流速ΔvΔ與斷面位置無因次數(shù)LΔ之間的關(guān)系，即斷面位置無因次數(shù)對相對流速的影響可用k表示，k的影響因素為Hk、θ。

圖5 θ=32°時(shí)ΔvΔ ～LΔ 關(guān)系Fig.5 Relation of ΔvΔ～LΔ at θ=32°

圖6 θ=38.6°時(shí)ΔvΔ ～LΔ 關(guān)系Fig.6 Relation of ΔvΔ～LΔ at θ=38.6°

圖7 θ=48°時(shí)ΔvΔ ～LΔ 關(guān)系Fig.7 Relation of ΔvΔ～LΔ at θ=48°

圖8 θ=51.3°時(shí)ΔvΔ ～LΔ 關(guān)系Fig.8 Relation of ΔvΔ ～LΔ at θ=51.3°

3.2 相關(guān)系數(shù)與坡度、相對臨界水深的關(guān)系

根據(jù)表2，可以計(jì)算出各個(gè)坡度、相對臨界水深的相關(guān)系數(shù)均值，列于表3、4。可得不同坡度、相對臨界水深與相關(guān)系數(shù)的均值在0.993 9～0.998 6之間，均值較高且變化很小，說明各直線相關(guān)系數(shù)較高，線性關(guān)系良好；標(biāo)準(zhǔn)差則表示了相關(guān)系數(shù)的波動(dòng)范圍，表中標(biāo)準(zhǔn)差在0.002 76～0.004 26 之間，說明隨著坡度、相對臨界水深的變化相關(guān)系數(shù)波動(dòng)值很小，相對于相關(guān)系數(shù)來說基本可以忽略。不論Hk、θ如何變化，ΔvΔ與LΔ保持著較高的相關(guān)性。

表2 相關(guān)系數(shù)表Tab.2 Correlation coefficient table

表3 相關(guān)系數(shù)與坡度的關(guān)系Tab.3 Relationship between correlation coefficient and slope

表4 相關(guān)系數(shù)與相對臨界水深的關(guān)系Tab.4 Relationship between correlation coefficient and relative critical water depth

3.3 斜率變化規(guī)律

3.3.1 斜率與相對臨界水深的關(guān)系

ΔvΔ與LΔ的線性斜率k與相對臨界水深Hk的關(guān)系如圖9 所示，不同坡度下斜率與相對臨界水深呈冪函數(shù)遞減關(guān)系，斜率隨著相對臨界水深的增大逐漸減小，相關(guān)系數(shù)為0.982 7～0.994 8，相關(guān)性良好。斜率與相對臨界水深呈冪函數(shù)關(guān)系，說明相對臺(tái)階流速隨相對臨界水深的增大而減小，根據(jù)相對臨界水深的定義可知，適當(dāng)增加臺(tái)階高度對水流能量的耗散有利。

圖9 斜率與相對臨界水深的關(guān)系Fig.9 The relationship between the linear slope and the relative critical water depth

3.3.2 斜率與坡度的關(guān)系

斜率k與坡度θ的關(guān)系如圖10所示，可見，不同相對臨界水深情況下斜率與坡度呈線性遞增關(guān)系，相關(guān)系數(shù)為0.985 7～0.993 5，相關(guān)性較高。斜率隨著坡度的增大而增大，說明相對臺(tái)階流速隨坡度的增大而增大，則適當(dāng)?shù)脑黾悠露雀欣谝绾榈赖南堋?/p>

圖10 斜率與坡度的關(guān)系Fig.10 The relationship between the linear slope and slope

3.3.3 斜率與相對臨界水深、坡度的關(guān)系

根據(jù)圖9、10所表達(dá)的規(guī)律，可以擬合出斜率與相對臨界水深、坡度之間的關(guān)系，曲面擬合結(jié)果如圖11 所示。圖11 中也能反映上述斜率與相對臨界水深、坡度之間的變化關(guān)系。臺(tái)階式溢洪道相對流速指臺(tái)階的影響使某一斷面水流流速相對于同體型光滑溢洪道對應(yīng)斷面流速的減小值，因此可以得出臺(tái)階對水流流速的阻礙作用在量值上隨相對臨界水深的增大而減小，隨坡度的增大而增大。

圖11 斜率、相對臨界水深、坡度的關(guān)系Fig.11 The relationship between the linear slope，the relative critical water depth and slope

曲面公式為：

此公式適用范圍為坡度26.6°～51.3°、相對臨界水深1.83～12.1，相關(guān)系數(shù)為0.989 9，相關(guān)性良好。

4 應(yīng)用實(shí)例

研究臺(tái)階式溢洪道相對水力特性的最終目的是為了更好地了解和應(yīng)用臺(tái)階式溢洪道，鑒于臺(tái)階式溢洪道相對流速所呈現(xiàn)的較強(qiáng)的規(guī)律性及光滑溢洪道水力計(jì)算理論的成熟性，可以利用相對流速規(guī)律計(jì)算水面線、消能率等水力參數(shù)，為臺(tái)階式溢洪道水力計(jì)算提供了新方法。現(xiàn)以水面線計(jì)算為例：

坡度48°，單寬流量30.4 m2/s，臺(tái)階高度1.0 m臺(tái)階溢洪道長度65.94 m，計(jì)算臺(tái)階式溢洪道滑行水流水面線。

計(jì)算過程如下：

由式（8）計(jì)算得Hk=4.55，符合相對流速公式（9）、斜率經(jīng)驗(yàn)公式（10）的應(yīng)用條件。

（1）首先根據(jù)式（10）計(jì)算出斜率k=0.091 53；

（2）將k=0.107 04 代入式（9）和式（6）得到相對臺(tái)階流速ΔvΔ和相對流速Δv；

（3）依據(jù)溢洪道設(shè)計(jì)規(guī)范，采用能量方程、連續(xù)性方程，用分段求和法［22］即可得到光滑式溢洪道水深、流速；

（4）根據(jù)相對流速、光滑式溢洪道流速，可根據(jù)式（1）求得臺(tái)階式溢洪道流速v：

（5）最后由臺(tái)階式溢洪道流速即可得到臺(tái)階式溢洪道水深h：

計(jì)算過程見表5。

表5 水面線計(jì)算過程Tab.5 Calculation process of water surface line

表5 中同時(shí)列出了模型實(shí)測值和誤差（模型布置圖如圖12所示，模型按重力相似準(zhǔn)則設(shè)計(jì)，模型比尺為1∶50）。可見計(jì)算值與試驗(yàn)值誤差不大于5%，顯然，根據(jù)相對流速的規(guī)律可以較為準(zhǔn)確地求得水面線。

圖12 48°模型布置圖Fig.12 48°model layout

5 結(jié) 語

對相對流速進(jìn)行研究，得到以下結(jié)論。

（1）通過因次分析，得到相對臺(tái)階流速及與其相關(guān)的3個(gè)無因次數(shù)：斷面位置無因次數(shù)、相對臨界水深、坡度。

（2）依據(jù)5 個(gè)坡度、7 個(gè)臺(tái)階高度的42 組模型試驗(yàn)資料，表明相對臺(tái)階流速沿?cái)嗝嫖恢脽o因次數(shù)呈線性增大變化。

（3）對線性關(guān)系的相關(guān)系數(shù)進(jìn)行分析，說明不論相對臨界水深、坡度如何變化，相對臺(tái)階流速與斷面位置無因次數(shù)始終保持著較高相關(guān)性。

（4）線性關(guān)系的斜率與相對臨界水深呈冪函數(shù)遞減關(guān)系，說明相對臺(tái)階流速隨相對臨界水深的增大而減小，則相對臨界水深越大臺(tái)階對水流的阻礙作用越小；與坡度呈線性遞增關(guān)系，說明相對臺(tái)階流速隨坡度的增大而增大，則坡度越大臺(tái)階對水流的阻礙作用越大。所以適當(dāng)增加臺(tái)階高度、坡度對消能更有利；在小單寬流量、坡度較陡時(shí)更有必要采用臺(tái)階式溢洪道。并通過曲面擬合得到斜率關(guān)于相對臨界水深和坡度的經(jīng)驗(yàn)公式。

（5）利用相對流速良好的規(guī)律性可以進(jìn)行水面線、消能率等水力計(jì)算，為臺(tái)階式溢洪道水利計(jì)算提供新方法。以水面線計(jì)算為例，結(jié)果表明可以比較準(zhǔn)確的計(jì)算臺(tái)階式溢洪道水面線。

將臺(tái)階式溢洪道和對應(yīng)光滑溢洪道對比分析，得到臺(tái)階式溢洪道相對流速變化規(guī)律，該規(guī)律相對于常規(guī)研究方法有明顯優(yōu)勢，總結(jié)該規(guī)律對于認(rèn)清臺(tái)階的存在對水流的改變具有重要意義，且對臺(tái)階式溢洪道復(fù)雜的水力計(jì)算有很大幫助。 □