站在“C位”的一元二次方程

文／浦?jǐn)⒌拢ㄌ丶?jí)教師）

在團(tuán)隊(duì)拍照時(shí)，一般站在中間位置的人就是這個(gè)團(tuán)隊(duì)的核心，俗稱(chēng)“C位”。初中數(shù)學(xué)共分“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大板塊，其中“數(shù)與代數(shù)”又分成“數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)”五個(gè)部分。從代數(shù)的角度看，方程在初中代數(shù)中起著承上啟下的橋梁作用，是名副其實(shí)的“C位”。九年級(jí)的一元二次方程是初中方程家族的收官一章，它既是小學(xué)代數(shù)中方程知識(shí)的發(fā)展，又是高中代數(shù)中方程學(xué)習(xí)的奠基，從方程的角度看，一元二次方程也處于“C位”。因此，我們非常有必要全面地認(rèn)識(shí)一元二次方程，并整體地認(rèn)識(shí)初中方程，由此展望認(rèn)識(shí)后續(xù)的方程。

一、對(duì)一元二次方程的全面認(rèn)識(shí)

本章主要學(xué)習(xí)一元二次方程的概念、解法、根與系數(shù)的關(guān)系、解決問(wèn)題四個(gè)方面的內(nèi)容。從一元二次方程的概念來(lái)看，它是延續(xù)一元一次方程、二元一次方程的研究方法，通過(guò)列舉一些具體的方程，給出“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，這樣的方程叫作一元二次方程”。這些概念都是用“元”和“次”來(lái)表達(dá)，其中“元”代表未知數(shù)的個(gè)數(shù)，“次”代表未知數(shù)的最高次數(shù)。在二元一次方程（組）的學(xué)習(xí)中，我們還遇到過(guò)三元一次方程（組）。二元一次方程和一元二次方程分別可以看成是在一元一次方程的基礎(chǔ)上，對(duì)“元”和“次”進(jìn)行拓展。概念中“未知數(shù)的最高次數(shù)”的表述，說(shuō)明方程中所含的代數(shù)式是整式。因此，一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程都屬于整式方程的范疇。

本章介紹了一元二次方程的四種解法，分別是直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法。它們之間有著緊密的聯(lián)系，其中公式法最為一般，適用于任何一個(gè)一元二次方程。對(duì)一元二次方程y=ax2+bx+c（a≠0）來(lái)說(shuō)，得到公式的過(guò)程就是配方法，配方后用到的方法就是直接開(kāi)平方法。因式分解法的本質(zhì)是通過(guò)將方程化成一般形式后對(duì)左邊代數(shù)式進(jìn)行因式分解，進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)方程的根。因此，對(duì)于一個(gè)一元二次方程，首選因式分解法或直接開(kāi)平方法，如果不行，再使用公式法，配方法一般只有在規(guī)定用這種解法時(shí)才使用。

本章最后介紹了用一元二次方程解決問(wèn)題，學(xué)以致用是數(shù)學(xué)價(jià)值之一。我們發(fā)現(xiàn)，每學(xué)完一類(lèi)方程，最后都是用該類(lèi)方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。仔細(xì)分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，用方程解決實(shí)際問(wèn)題都有一些共性：一是問(wèn)題中都包含數(shù)量之間的相等關(guān)系；二是都按照“設(shè)未知數(shù)——找出相等關(guān)系——列出方程——檢驗(yàn)方程的解是否符合方程本身和實(shí)際問(wèn)題——作答”的步驟進(jìn)行；三是都把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)中的方程問(wèn)題，建立方程模型，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題。唯一不同的就是問(wèn)題中含有相等關(guān)系的個(gè)數(shù)以及列出方程的次數(shù)?？梢?jiàn)，方程是解決實(shí)際問(wèn)題非常重要的模型。它和不等式、函數(shù)共同組成初中代數(shù)中的三大主要模型。

二、對(duì)初中方程的整體認(rèn)識(shí)

我們?cè)谄吣昙?jí)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程（組），在八年級(jí)學(xué)習(xí)了分式中的分式方程，在九年級(jí)學(xué)習(xí)了一元二次方程。如果把數(shù)、式、方程作為一個(gè)整體來(lái)看，那么初中所學(xué)方程都可以化成左邊是一個(gè)代數(shù)式，右邊等于0 的形式，此時(shí)，我們就可以根據(jù)方程左邊的代數(shù)式來(lái)判斷方程的類(lèi)型。如一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程化成右邊等于0 之后，可以發(fā)現(xiàn)，它左邊的代數(shù)式都是整式，我們把這些方程統(tǒng)稱(chēng)為整式方程。同樣，右邊等于0 之后的方程，如果左邊是一個(gè)分式，那么這樣的方程就是分式方程。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)的角度看，方程還可以看成是數(shù)式的運(yùn)用，所以我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)方程的分類(lèi)，跟數(shù)式的分類(lèi)完全一致。

回顧初中三年所學(xué)的方程，我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)每一類(lèi)方程的研究，都經(jīng)歷了一個(gè)相同的歷程。一般地，從方程的概念出發(fā)，然后研究它的解法，最后用所學(xué)方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。初中所學(xué)的一元一次方程、二（三）元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程都是方程家族中特殊的、簡(jiǎn)單的方程。其中分式方程去分母后轉(zhuǎn)化為整式方程，它可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程；一元二次方程通過(guò)四種解法，最后都達(dá)到了降次的目的，轉(zhuǎn)化為一元一次方程；二（三）元一次方程（組）通過(guò)代入消元、加減消元最后也變成了一元一次方程?？梢?jiàn)，一元一次方程是研究方程的基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化、化歸是解方程的思想。

三、對(duì)后續(xù)方程的展望認(rèn)識(shí)

上面我們介紹了對(duì)本章方程的全面認(rèn)識(shí)和初中方程的整體認(rèn)識(shí)，在此之后，我們不妨對(duì)后面可能會(huì)研究的方程作一個(gè)展望。從整式方程的概念來(lái)展望，在一元一次方程的基礎(chǔ)上，我們可以分別對(duì)“元”和“次”進(jìn)行無(wú)限擴(kuò)充，依次得到一元一次方程、二元一次方程（組）、三元一次方程（組）……n元一次方程（組），又可以得到一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程……一元n次方程，還可以組合得到一元一次方程、二元二次方程（組）……就整式方程而言，就可以完成“從有限到無(wú)限”的質(zhì)的飛越。

如果把整式方程和分式方程放在一起，就組成了“有理方程”。既然有有理方程，必定會(huì)有“無(wú)理方程”。事實(shí)上，初中階段也出現(xiàn)過(guò)無(wú)理方程，如=2。只不過(guò)我們當(dāng)時(shí)是從平方根、算術(shù)平方根（數(shù)的角度）來(lái)認(rèn)識(shí)這個(gè)等式的。這里，我們可以從初中的視角將這些方程統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)方程。實(shí)數(shù)方程分為有理方程和無(wú)理方程，有理方程又分為整式方程和分式方程。怎么樣，這種分類(lèi)方式熟悉嗎？對(duì)咯，它跟數(shù)式的分類(lèi)完全一致。

再?gòu)慕夥ǖ囊暯莵?lái)展望，我們會(huì)解分式方程、整式方程等有理方程。那么，如果是無(wú)理方程，我們?cè)撛趺唇?？無(wú)理方程是未知數(shù)含在根號(hào)內(nèi)的方程，只要想辦法把根號(hào)去掉就可以了。事實(shí)上，在初中代數(shù)中我們也遇到過(guò)這樣的問(wèn)題，如=2，求x。如果是二次根號(hào)，只要通過(guò)平方，就可以去掉根號(hào)，對(duì)于其他情形，感興趣的同學(xué)不妨自己去嘗試一下。無(wú)理方程怎么解？一句話，無(wú)理方程有理化，想辦法把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程就可以了。