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      加強(qiáng)概念理解 提升思維品質(zhì)

      2021-12-01 10:13:06顧宏萍
      初中生世界 2021年35期
      關(guān)鍵詞:判別式一元二次方程實(shí)數(shù)

      文/顧宏萍

      一元二次方程是初中數(shù)學(xué)“方程家族”最后一個(gè)亮相的方程,同學(xué)們有前面學(xué)習(xí)方程的基礎(chǔ),會(huì)感覺非常容易上手,但在解題的過程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“不明原因”的錯(cuò)誤。其實(shí)這是對方程概念理解得不夠透徹,在解題過程中缺乏思考導(dǎo)致。

      一、忽視對一元二次方程概念的理解

      例1若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)·x2-3x+m2-1=0 有一個(gè)根是0,則m的值為________。

      【錯(cuò)解】把x=0 代入方程得m2-1=0,解得m=±1,∴m的值為±1。

      【正解】同上解得m=±1。∵此為一元二次方程,∴m-1≠0,m≠1,∴m=-1,即m的值為-1。

      例2若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)·x2-2kx+k-3=0 有實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍為________。

      【錯(cuò)解】因?yàn)榇艘辉畏匠逃袑?shí)數(shù)根,根據(jù)根的判別式得Δ≥0,即Δ=(-2k)2-4(k-1)×(k-3)≥0,解得k≥∴k的取值范圍為

      【正解】同上解得k≥又∵k-1≠0,k≠1,∴k的取值范圍為k≥且k≠1。

      【剖析】這兩個(gè)例題雖然看似不同,例1考查的是方程的概念,例2 考查的是根的判別式,但是做錯(cuò)的原因卻是相同的。一元二次方程的概念強(qiáng)調(diào),二次項(xiàng)系數(shù)必須不為0,在解題過程中如果忽略這個(gè)重要前提,解答就會(huì)出錯(cuò)。

      【點(diǎn)評】我們在學(xué)習(xí)一元二次方程概念的時(shí)候,不能只關(guān)注概念的表象,更要關(guān)注概念的內(nèi)涵,在解題過程中要加強(qiáng)思維的深度和廣度,關(guān)注每個(gè)已知條件,以免出錯(cuò)。

      二、忽視對一元二次方程有實(shí)數(shù)根的理解

      例3下列一元二次方程中,兩根之和為1的是( )。

      A.x2+x+1=0 B.x2-x+3=0

      C.2x2-x-1=0 D.x2-x-5=0

      【錯(cuò)解】由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系x1+x2=-部分同學(xué)看到選項(xiàng)B 滿足條件即完成解答,選擇了B。

      【正解】由根與系數(shù)的關(guān)系可得x2-x+3=0與x2-x-5=0 的兩根之和為1,選項(xiàng)B、D 均符合條件。但B 選項(xiàng)的方程x2-x+3=0 中Δ<0,無實(shí)根,D 選項(xiàng)的方程x2-x-5=0 有實(shí)數(shù)根且兩根之和為1,所以只能選D。

      例4關(guān)于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0 的兩實(shí)根之和大于-4,則k的取值范圍是( )。

      A.k>-1 B.k<0

      C.-1<k<0 D.-1≤k<0

      【錯(cuò)解】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2=-(2k+4)>-4,求出k<0。故選B。

      【正解】根據(jù)條件可得此為一元二次方程,且有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,由根的判別式求出b2-4ac=[2(k+2)]2-4×1×k2=16k+16≥0,即k≥-1;根據(jù)兩實(shí)根之和大于-4 這個(gè)條件,由根與系數(shù)的關(guān)系求出-(2k+4)>-4,即k<0,所以k的取值范圍是-1≤k<0。故選D。

      【剖析】這兩個(gè)選擇題雖然看似難度不高,但錯(cuò)誤率都比較高,做錯(cuò)的原因也完全相同。答題過程中同學(xué)們只關(guān)注題目中呈現(xiàn)的方程兩根滿足的條件,利用根與系數(shù)關(guān)系直接獲取答案,忽略了運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系的前提是此一元二次方程要有實(shí)數(shù)根。

      【點(diǎn)評】這兩題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系。我們要注意,應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系式的前提條件是一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0 且b2-4ac≥0。因此,在做此類題目的時(shí)候,我們要仔細(xì)審題,圈出關(guān)鍵字,找尋到相關(guān)條件,提升思維的嚴(yán)密性。

      三、忽視實(shí)際意義,未檢驗(yàn)結(jié)果的合理性

      例5已知關(guān)于x的方程x2-(2k-3)x+k2-3k-10=0。

      (1)求證:無論k為何值,這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

      (2)已知Rt△ABC的斜邊AB的長為5,是否存在實(shí)數(shù)k,使Rt△ABC的兩直角邊AC、BC的長是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由。

      【錯(cuò)解】(1)由根的判別式即可得出Δ=49>0,則無論k為何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

      (2)在Rt△ABC中,斜邊AB=5,兩邊BC、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k-3)x+k2-3k-10=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

      ∴BC2+AC2=25,BC+AC=2k-3,BC·AC=k2-3k-10。

      ∵BC2+AC2=(BC+AC)2-2BC·AC=25,

      ∴(2k-3)2-2·(k2-3k-10)=25,

      化簡,得k2-3k+2=0,∴k1=2或k2=1。

      答:k的值為2或1。

      【正解】(1)同上。(2)同上求得k值。

      當(dāng)k1=2 時(shí),此方程為x2-x-12=0,BC·AC=-12<0,即BC和AC是一正數(shù)一負(fù)數(shù),不符題意,故舍去;

      當(dāng)k2=1 時(shí),此方程為x2+x-12=0,同樣BC和AC是一正數(shù)一負(fù)數(shù),不符題意,故舍去。

      ∴不存在實(shí)數(shù)k,使Rt△ABC的斜邊為5且兩直角邊AC、BC的長是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

      【剖析】本題的解題思路是利用直角三角形勾股定理建立方程,通過三角形的邊是方程的根的條件,運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程,轉(zhuǎn)化過程中需要進(jìn)行必要的恒等變形,難度有所提升。但同學(xué)們在解題過程中出現(xiàn)的最大的問題則是針對實(shí)際問題沒有檢驗(yàn)結(jié)果的合理性。第一問雖然已經(jīng)判斷出此方程肯定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,但三角形的邊是此方程的解,就需要額外滿足此方程有兩個(gè)正根的條件。

      【點(diǎn)評】本題的第二問錯(cuò)誤率極高,反映了同學(xué)們在解題的時(shí)候思維不夠嚴(yán)密。一元二次方程是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,也是中考的重要考點(diǎn),在學(xué)習(xí)過程中要加強(qiáng)對概念的理解,解題過程中要關(guān)注每個(gè)條件,實(shí)際問題要學(xué)會(huì)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,提升自己思維的深度、廣度和嚴(yán)謹(jǐn)性。

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