問題導(dǎo)向式教學(xué)法在高等代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用
——以歐幾里得空間課程為例

楊 麗，李紅梅

(遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽 110036)

0 引言

高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，它為學(xué)生進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)水平提供必需的代數(shù)基礎(chǔ)理論和基本方法，對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)起著非常重要的作用.通過對(duì)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠掌握線性代數(shù)理論，進(jìn)而掌握一些處理問題的基本方法，逐步具備刻苦鉆研、獨(dú)立思考的能力.同時(shí)，通過高等代數(shù)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以深刻了解高等代數(shù)的基礎(chǔ)理論，為進(jìn)一步的專業(yè)課學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)[1].

高等代數(shù)的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)理論知識(shí)和基本方法有較深的認(rèn)識(shí)和理解，能夠培養(yǎng)學(xué)生分析、解決基本代數(shù)問題的能力；提高學(xué)生的分析問題的能力和邏輯思維能力；培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維能力、計(jì)算能力、空間想象能力及解決應(yīng)用問題的能力.

1 問題導(dǎo)向式教學(xué)法

問題導(dǎo)向式教學(xué)是現(xiàn)今常用的一種教學(xué)方法，它是在探究問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，主動(dòng)研究問題，圍繞老師預(yù)先提出的問題，利用課前查資料預(yù)習(xí)，課上討論研究，課后演算習(xí)題鞏固，提高學(xué)生的主動(dòng)性積極性，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，充分調(diào)動(dòng)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性[2].

在高等代數(shù)教學(xué)中實(shí)施問題導(dǎo)向式教學(xué)方法，可以改變?cè)袀鹘y(tǒng)“黑板式”教學(xué)法的單一模式，改變對(duì)學(xué)生的“灌輸式”教學(xué)方法，能夠降低學(xué)生在高等代數(shù)學(xué)習(xí)過程中的抽象性感受，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的啟發(fā)性有明顯提高[3-9].與此同時(shí)，可以為學(xué)生明確高等代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用性，改變學(xué)生學(xué)習(xí)“無用性”的思想觀念，可以大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

對(duì)于問題導(dǎo)向式教學(xué)方法，關(guān)鍵是合適的“問題”的提出，結(jié)合高等代數(shù)的自身特點(diǎn)，圍繞高等代數(shù)的基本定義、定理、計(jì)算方法及應(yīng)用，設(shè)計(jì)合適的、難度適中、具有層次性和實(shí)踐性的問題是在高等代數(shù)教學(xué)中實(shí)施問題導(dǎo)向式教學(xué)的關(guān)鍵.

下面我們將以高等代數(shù)中的歐幾里得空間中部分內(nèi)容為例來說明問題導(dǎo)向式教學(xué)在高等代數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用.

2 以歐幾里得空間部分教學(xué)內(nèi)容為例設(shè)計(jì)導(dǎo)向式教學(xué)的問題

“歐幾里得空間”這部分教學(xué)內(nèi)容要求學(xué)生深刻理解并掌握歐幾里得空間的基本概念和理論；掌握向量的內(nèi)積和向量的度量性質(zhì)；正確理解正交向量組、標(biāo)準(zhǔn)正交基的概念，掌握施密特正交化方法；理解并掌握正交變換的概念與等價(jià)條件，掌握正交變換與向量長(zhǎng)度、標(biāo)準(zhǔn)正交基以及正交矩陣的關(guān)系；理解兩個(gè)子空間正交的概念，掌握正交與直和的關(guān)系；熟練掌握實(shí)對(duì)稱矩陣的進(jìn)一步性質(zhì)[3].這部分內(nèi)容在教學(xué)中可以結(jié)合幾何空間的定義、性質(zhì)及圖形，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和形象性，提高教學(xué)效果.

2.1 歐幾里得空間及內(nèi)積的定義引入

線性空間的定義中有兩種運(yùn)算(加法和數(shù)乘)，但是線性空間中的向量沒有長(zhǎng)度的度量方法，那么幾何空間這種線性空間的很多性質(zhì)無法研究，所以就需要在線性空間中引入一種新的運(yùn)算，這種運(yùn)算有哪些性質(zhì)？

通過此問題的提出，可以自然地引出內(nèi)積的定義，再通過定義強(qiáng)調(diào)內(nèi)積的性質(zhì)，并且引導(dǎo)學(xué)生了解內(nèi)積對(duì)于歐幾里得空間中的向量的長(zhǎng)度及位置關(guān)系(角度)的意義.由此讓學(xué)生對(duì)所學(xué)歐幾里得空間內(nèi)容有初步了解及印象.

2.2 歐氏空間不等式

在幾何空間中，有非常著名的三角不等式、勾股定理，幾何空間是一類歐幾里得空間，那么在其他的歐幾里得空間三角不等式及勾股定理是否還成立？

通過此問題的提出，可以引出柯西—布涅夫斯基不等式，通過特殊的內(nèi)積定義方式，進(jìn)而得到柯西不等式及柯西—施瓦茨不等式.最后自然引出三角不等式及勾股定理，研究歐氏空間的基本性質(zhì).

2.3 標(biāo)準(zhǔn)正交基

幾何空間畫圖中通常用兩兩垂直的坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，這樣建立的坐標(biāo)系有何優(yōu)勢(shì)？歐幾里得空間，是否也有類似性質(zhì)的向量組？

通過此問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生了解正交向量組的定義及性質(zhì)，結(jié)合幾何空間中的空間直角坐標(biāo)系，為學(xué)生對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正交基建立直觀形象的模型，使學(xué)生的思維由形象到抽象，再由抽象到形象的轉(zhuǎn)化提供了基礎(chǔ).

3 結(jié)束語

高等代數(shù)課程的特點(diǎn)決定了它本身就是一門充滿抽象問題的學(xué)科，結(jié)合它的特點(diǎn)，利用傳統(tǒng)教學(xué)和問題導(dǎo)向式教學(xué)相結(jié)合的方式，以學(xué)生為學(xué)習(xí)主體，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高學(xué)生自主分析問題解決問題的能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和學(xué)習(xí)興趣，通過教師的努力，在教學(xué)過程中提出適當(dāng)?shù)摹皢栴}”，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，這樣可以豐富教學(xué)手段，加強(qiáng)教學(xué)效果，提高教學(xué)質(zhì)量，在不斷努力中實(shí)現(xiàn)高等代數(shù)教學(xué)改革教學(xué)目標(biāo).