吳耀沖,溫潔嫦*
(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510520)
其中,u,v 分別表示食餌和捕食者種群密度;r,k1,k2分別為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率、環(huán)境對(duì)食餌種群的容納量和食餌對(duì)捕食行為的恐懼系數(shù);c1,c2分別為捕食者對(duì)食餌的捕獲率和能量的轉(zhuǎn)化率;?(u,v)=為比例依賴型功能反應(yīng)函數(shù),且m 為半飽和系數(shù);d,h 分別為捕食者的死亡率和收獲率;τ為食餌種群孕育后代產(chǎn)生的時(shí)滯。考慮到現(xiàn)實(shí)意義,參數(shù)r,k1,k2,c1,c2,m,d,h,τ 均為非負(fù)數(shù)。
系統(tǒng)(1)存在一個(gè)邊界平衡點(diǎn)E1(k1,0),和當(dāng)c2>d+h 時(shí)存在一個(gè)正平衡點(diǎn)E2(u*,v*),其中
定理1當(dāng)c2<d+h 時(shí),邊界平衡點(diǎn)E1局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)c2>d+h 時(shí),邊界平衡點(diǎn)E1不穩(wěn)定。
證明系統(tǒng)(1)在E1處的Jacobi 矩陣為
定理2當(dāng)時(shí),E2是局部漸近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。
證明系統(tǒng)(1)在E2處的Jocobi 矩陣為
伴隨著移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的蓬勃發(fā)展,移動(dòng)支付正在改變支付結(jié)算方式,為電網(wǎng)企業(yè)物資合同結(jié)算管理效率提升提供了新思路[4]。
其中
對(duì)系統(tǒng)(1)在E2處作線性化處理,得
其中,T=-(a11+a22),G1=a11a22,G2=(-a12)。
定理3當(dāng)τ≠0 時(shí),c2<d+h 時(shí),E1局部漸近穩(wěn)定。
證明在E1處,a11=-r,a12=-c1,K21=a21=0,a22=c2-d-h,當(dāng)c2<d+h 時(shí),由Routh-Hurwitz 判據(jù)得多項(xiàng)式H(λ)所有特征根都有負(fù)實(shí)部,故此時(shí)E1局部漸近穩(wěn)定。
令λ=iw 是方程(14)的一個(gè)根,對(duì)于τ>0,有
分離實(shí)部和虛部,得
設(shè)W=w2,有
定理4由于(a11+a22)2-2G1>0,根據(jù)Routh-Hurwitz 判據(jù)可知,當(dāng)G12>Q2時(shí),方程(19)所有根都有負(fù)實(shí)部,故此時(shí)方程(18)的根沒有穿過純虛數(shù)軸,則平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。
當(dāng)G12<Q2時(shí),方程(16)、(17)有一正根,即
此時(shí)
這表明當(dāng)τ=τ0時(shí),方程(14)有一對(duì)純虛數(shù)根λ=±iw0;當(dāng)τ<τ0時(shí),平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定。其中
下面驗(yàn)證橫截條件[14],即
由等式(14),得
所以當(dāng)τ=τ0時(shí),有
故橫截條件滿足。所以有以下結(jié)論:
定理5當(dāng)G12>Q2時(shí),對(duì)于所有τ>0,平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定;當(dāng)G12<Q2成立,則τ<τ0時(shí),平衡點(diǎn)E2局部漸近穩(wěn)定,當(dāng)τ>τ0時(shí),平衡點(diǎn)E2不穩(wěn)定,當(dāng)τ=τ0時(shí),系統(tǒng)在E2附近發(fā)生Hopf 分支。
當(dāng)τ=0 時(shí),即不考慮食餌種群孕育后代產(chǎn)生的時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響。取r=0.5,k1=11,c1=0.2,c2=0.07,m=0.1,d=0.03,h=0.05,k2=0.2,此時(shí)c2<d+h 成立,從圖1、2 可以看出,此時(shí)系統(tǒng)(1)中的捕食者和食餌種群數(shù)量不隨時(shí)間變化而變化,但捕食者趨于滅絕,僅食餌種群長(zhǎng)久存活下去。取r=0.5,k1=11,k2=3,c1=0.08,c2=0.05,m=1,d=0.03,h=0.01,滿足,從圖3、4 可以看出,此時(shí)E2為穩(wěn)定的焦點(diǎn),且系統(tǒng)中的兩種群都隨著時(shí)間的流逝而長(zhǎng)久存活下去并未滅絕。
圖1 E1 附近的軌線
圖2 E1 穩(wěn)定時(shí)兩種群密度
圖3 E2 附近的軌線
圖4 E2 為穩(wěn)定焦點(diǎn)時(shí)兩種群密度
考慮食餌種群孕育后代產(chǎn)生的時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)的影響,此時(shí)τ≠0。取τ=4,r=0.5,k1=11,c1=0.2,c2=0.07,m=0.1,d=0.03,h=0.05,k2=0.2,滿足定理3 的條件,此時(shí)系統(tǒng)中的捕食者滅絕,食餌種群長(zhǎng)久存活(如圖5 所示)。取h=0.02,初始條件及其它參數(shù)相同情況下,從圖6 可以發(fā)現(xiàn),系統(tǒng)變得不穩(wěn)定,這說明在滿足一定條件下,恰當(dāng)?shù)娜藶楦深A(yù)有利于系統(tǒng)(1)兩物種的穩(wěn)定。
圖5 h=0.05 兩種群密度
圖6 h=0.02 兩種群密度
取r=0.8,k1=11,c1=0.2,c2=0.1,m=0.4,d=0.03,h=0.05,k2=0.5,τ=10,此時(shí)系統(tǒng)(1)的捕食者與食餌種群都沒有滅絕并且穩(wěn)定存活(如圖7 所示)。取r=0.5,k1=11,c1=0.08,m=0.8,c2=0.05,d=0.02,h=0.001,k2=2,τ=0.02,此時(shí)系統(tǒng)(1)在E2附近發(fā)生Hopf 分支(如圖8 所示),捕食者和食餌的種群密度呈周期性變化,隨著時(shí)間的流逝一直穩(wěn)定存在且都沒有滅絕。
圖7 τ=10時(shí)兩種群密度
圖8 τ=0.02時(shí)兩種群密度
考慮了食餌種群孕育后代在時(shí)間上產(chǎn)生的延遲對(duì)系統(tǒng)的影響,從理論上證明了系統(tǒng)(1)的平衡點(diǎn)存在條件,利用Routh-Hurwitz 判據(jù)證明了兩平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定的成立條件,通過實(shí)驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn):1)時(shí)滯不能破壞E1的局部漸近穩(wěn)定性質(zhì);2)在滿足一定條件下,恰當(dāng)?shù)娜藶楦深A(yù)有利于系統(tǒng)(1)兩物種的穩(wěn)定;3)當(dāng)τ=τ0時(shí),系統(tǒng)在正平衡點(diǎn)附近發(fā)生Hopf 分支產(chǎn)生周期振蕩。