豐富多彩的三角板問題

薛金鈺

利用三角板設(shè)計(jì)的中考題，難度不大，易于求解. 現(xiàn)舉6例進(jìn)行說明.

一、用一只三角板與直尺設(shè)計(jì)中考題

1.含45°角的三角板與直尺

例1（2021·四川·宜賓）一塊含45°角的直角三角板和直尺如圖1放置，若∠1 = 55°，則∠2的度數(shù)是（ ）.

A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

解析：由∠1 = 55°，∠B = 45°，得∠AED = 100°.

由DE[?]FG，得∠AFG = 100°，由∠A = 45°，得∠2 = 35°.

也可過點(diǎn)C作CH[?]DE，由DE[?]FG，可知CH[?]FG，

再由∠ACB = 90°，利用平行線的性質(zhì)可知∠1 + ∠CGM = 90°.

由∠1 = 55°，可得∠CGM = 35°，則∠2 = 35°. 故選B.

反思：本題解法很多，如：延長(zhǎng)AC交直線ED于N，利用平行線的性質(zhì)、對(duì)頂角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求解;利用五邊形內(nèi)角和公式，求∠2的鄰補(bǔ)角，進(jìn)而得到∠2的度數(shù).

2.含30°角的三角板與直尺

例2（2021·山東·泰安）如圖2，直線m[?]n，三角板的直角頂點(diǎn)在直線m上，且三角板的直角被直線m平分. 若∠1 = 60°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）.

A. ∠2 = 75° B. ∠3 = 45° C. ∠4 = 105° D. ∠5 = 130°

解析：由三角板的直角被直線m平分，可知∠6 = ∠7 = 45°，

則∠4 = ∠1 + ∠6 = 60° + 45° = 105°.

由m[?]n，得∠3 = ∠7 = 45°，∠2 = 180° - ∠4 = 75°，

則∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 45° = 135°. 故選D.

反思：也可由三角板的直角被直線m平分，得到∠6 = ∠7 = 45°，再由鄰補(bǔ)角的定義得到∠5 = 135°，即可得到答案.

二、用一副三角板設(shè)計(jì)中考題

1.將一副三角板的兩個(gè)銳角的邊重合

例3（2021·湖南·岳陽）將一副直角三角板按如圖3所示擺放，若直線a[?]b，則∠1的大小為（ ）.

A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°

解析：由題意知，∠ABC = 45° + 60° = 105°.

由a[?]b，得∠1 + ∠ABC = 180°，

則∠1 = 180° - ∠ABC = 180° - 105° = 75°. 故選C.

反思：這里是將45°和60°的兩個(gè)銳角在公共邊的外部重合，如果在內(nèi)部重合，又會(huì)得到怎樣的試題？將45°和30°的兩個(gè)銳角的公共邊重合，又會(huì)得到怎樣的試題？

2.使一副三角板的兩條直角邊平行

例4（2021·內(nèi)蒙古·通遼）一副三角板如圖4所示擺放，且AB[?]CD，則∠1的度數(shù)為 .

解析：由對(duì)頂角相等可知∠1 = ∠EOF，

而∠EOF + ∠E + ∠F = 180°，∠E = 60°，∠F = 45°，

因此∠1 = 180° - 60° - 45° = 75°.

反思：本題還有很多解法，請(qǐng)同學(xué)們思考并整理.

3.使一副三角板的兩條斜邊平行

例5（2021·湖北·宜昌）如圖5，將一副三角板按圖中所示位置擺放，點(diǎn)F在AC上，其中∠ACB = 90°，∠B = 60°，∠EFD = 90°，∠E = 45°，AB[?]DE，則∠AFD的度數(shù)是（ ）.

A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

解析：由AB[?]DE，有∠AOD = ∠D = 45°.

由∠AOD = ∠AFD + ∠A，∠A = 30°，

得∠AFD = ∠AOD - ∠A = 45° - 30° = 15°. 故選A.

反思：∠CFE如何求？有哪些不同的方法？請(qǐng)同學(xué)們嘗試求解.

4. 使一副三角板直角邊與斜邊平行

例6（2021·遼寧·撫順）一副直角三角板如圖6擺放，點(diǎn)[D]在[BC]的延長(zhǎng)線上，EF[?]BC，[∠B=∠EDF=90°]，[∠A=30°]，[∠F=45°]，則∠[CED]的度數(shù)是（ ）.

A. [15°] B. [25°] C. [45°] D. [60°]

解析：由題意得[∠ACB=60°]，[∠DEF=45°].

由EF[?]BC，利用平行線性質(zhì)可得出[∠CEF] = [∠ACB=60°]，

因此[∠CED=∠CEF-∠DEF] = 60° - 45° = 15°. 故選A.

反思：也可利用∠ACB = ∠[CED] + ∠CDE，[∠ACB=60°]，∠CDE = ∠DEF = 45°，從而得到答案.

其實(shí)，只要多思考，你也可以設(shè)計(jì)出新穎的試題. 長(zhǎng)此以往，你也能成為命題專家！

1.一把直尺與一塊直角三角板按如圖7方式擺放，若∠1 = 47°，則∠2 = .

2.如圖8，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如圖擺放，設(shè)[∠1=30°]，那么[∠2=] .

（答案見第31頁(yè)）