樊 茂，湯 亮,2

(1. 北京控制工程研究所，北京 100190；2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

0 引 言

近些年來(lái)，空間機(jī)器人在空間操作方面得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]，例如國(guó)際空間站的組裝[4]、哈勃望遠(yuǎn)鏡的維修[5]以及國(guó)際空間站貨運(yùn)倉(cāng)的交會(huì)對(duì)接等空間操作都是空間機(jī)械臂的經(jīng)典應(yīng)用場(chǎng)景。但是隨著空間操作任務(wù)需求與難度的不斷提升，空間機(jī)械臂也面臨著對(duì)廢棄衛(wèi)星、空間碎片與小型隕石等非合作目標(biāo)的抓捕問(wèn)題[6]。在抓捕非合作目標(biāo)的過(guò)程中，機(jī)械臂末端與被捕獲目標(biāo)進(jìn)行接觸碰撞，為了增大抓捕過(guò)程的成功率，在抓捕過(guò)程中需要關(guān)閉基座的姿態(tài)控制系統(tǒng)，因此抓捕產(chǎn)生的碰撞沖擊會(huì)對(duì)空間機(jī)器人系統(tǒng)造成沖擊[7]，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)斐勺ゲ赌繕?biāo)后所形成組合體的翻滾、失穩(wěn)；除此之外，抓捕過(guò)程對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)產(chǎn)生的沖擊會(huì)帶動(dòng)機(jī)械臂一起運(yùn)動(dòng)，為了消除抓捕后機(jī)械臂受到的沖擊效應(yīng)，有必要設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制策略，在減小碰撞沖擊的同時(shí)維持目標(biāo)與平臺(tái)之間的相對(duì)穩(wěn)定，避免系統(tǒng)失穩(wěn)。

針對(duì)抓捕目標(biāo)后組合體受到的沖擊問(wèn)題，許多學(xué)者提出了不同的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)組合體系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制[8-11]。為了減少機(jī)械臂控制過(guò)程中對(duì)平臺(tái)姿態(tài)的擾動(dòng)，文獻(xiàn)[8]利用零反作用操作在日本空間機(jī)器人ETS-VII上進(jìn)行了在軌實(shí)驗(yàn)，該方法有效減少了機(jī)械臂在運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響，同時(shí)還降低了由于約束反力帶來(lái)的關(guān)節(jié)角速度限制。文獻(xiàn)[9]對(duì)碰撞前的機(jī)械臂構(gòu)型及軌跡進(jìn)行優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂碰撞脈沖力的最小化。文獻(xiàn)[10]研究了航天器抓捕目標(biāo)后，系統(tǒng)質(zhì)量發(fā)生變化所引起的失穩(wěn)問(wèn)題，提出了關(guān)節(jié)阻尼控制策略和關(guān)節(jié)函數(shù)參數(shù)化協(xié)調(diào)控制方法，對(duì)碰撞后狀態(tài)發(fā)生突變的系統(tǒng)進(jìn)行了基于角動(dòng)量守恒的協(xié)調(diào)控制。文獻(xiàn)[11]用遞推最小二乘算法在線估計(jì)目標(biāo)角動(dòng)量，利用角動(dòng)量守恒定律提出了自適應(yīng)零反作用空間算法，減少了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)對(duì)平臺(tái)姿態(tài)的影響。

雖然以上學(xué)者都利用基于角動(dòng)量守恒的零反作用空間算法進(jìn)行機(jī)械臂關(guān)節(jié)的軌跡規(guī)劃，但所提出的方法都只以減少對(duì)衛(wèi)星平臺(tái)的擾動(dòng)為目標(biāo)，忽略了初始角動(dòng)量對(duì)系統(tǒng)的影響，因此許多學(xué)者轉(zhuǎn)而利用優(yōu)化算法求解機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡[12-18]。文獻(xiàn)[12]提出了基于混沌粒子群算法的關(guān)節(jié)空間點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃方法，該方法考慮了機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中對(duì)衛(wèi)星平臺(tái)的反作用軌跡規(guī)劃問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]將機(jī)械臂軌跡用七次多項(xiàng)式的正弦函數(shù)參數(shù)化，利用空間機(jī)器人的非完整特性提出了同時(shí)考慮機(jī)械臂末端與平臺(tái)基座擾動(dòng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)軌跡規(guī)劃方法。文獻(xiàn)[14-15]對(duì)抓捕目標(biāo)的消旋路徑進(jìn)行了設(shè)計(jì)，利用優(yōu)化算法求解得到同時(shí)考慮末端接觸力矩與阻尼時(shí)間的軌跡。文獻(xiàn)[16]提出了基于角動(dòng)量轉(zhuǎn)移的優(yōu)化方法，利用粒子群算法設(shè)計(jì)了機(jī)械臂軌跡，在保證組合體相對(duì)穩(wěn)定且角速度較小的同時(shí)，有效抑制了組合體柔性部件的振動(dòng)。文獻(xiàn)[17]利用混沌粒子群算法，研究了基座姿態(tài)擾動(dòng)最小時(shí)的機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問(wèn)題，使機(jī)械臂軌跡平滑運(yùn)動(dòng)的同時(shí)減少了對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響。為了盡快使抓捕后的非合作目標(biāo)穩(wěn)定，文獻(xiàn)[18]研究了空間機(jī)器人最優(yōu)消旋策略和協(xié)調(diào)控制方法，提出了一種同時(shí)使平臺(tái)姿態(tài)和抓捕目標(biāo)一起穩(wěn)定的控制方法。以上學(xué)者在對(duì)機(jī)械臂軌跡規(guī)劃的過(guò)程中，大都只考慮了對(duì)衛(wèi)星平臺(tái)的擾動(dòng)，忽略了機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩的能量消耗問(wèn)題。

針對(duì)上述方法的不足，本文分析了抓捕瞬態(tài)碰撞對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，并提出了一種控制力矩能量消耗少、對(duì)衛(wèi)星平臺(tái)基座擾動(dòng)小的鎮(zhèn)定控制方法。首先，利用ADAMS軟件建立并分析了空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)時(shí)的瞬態(tài)碰撞過(guò)程，為后續(xù)鎮(zhèn)定控制策略的設(shè)計(jì)提供了相應(yīng)的初始仿真參數(shù)；其次，采用四次多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡的參數(shù)化，設(shè)定了基于控制力矩能量與基座擾動(dòng)的加權(quán)目標(biāo)函數(shù)，并利用差分進(jìn)化算法(Differential evolution,DE)求解得到滿(mǎn)足機(jī)械臂控制力矩能量消耗小、平臺(tái)基座擾動(dòng)少的機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡；最后，基于空間七自由度漂浮機(jī)器人的數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出方法的有效性。

1 動(dòng)力學(xué)建模

本文從兩個(gè)方面研究了空間機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)建模問(wèn)題。其一是利用ADAMS軟件建立了七自由度空間機(jī)器人的瞬態(tài)碰撞模型，作為分析抓捕瞬態(tài)碰撞的仿真模型；其二是利用Kane方程建立了七自由度空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)后的組合體動(dòng)力學(xué)模型，作為系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制器的設(shè)計(jì)基礎(chǔ)。

1.1 空間機(jī)器人碰撞動(dòng)力學(xué)建模

本文建立了七自由度剛體自由漂浮機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型。機(jī)械臂各關(guān)節(jié)由球形鉸鏈連接，機(jī)械臂末端附有抓手，充當(dāng)抓捕工具。利用ADAMS軟件的建模功能，并根據(jù)空間機(jī)器人參數(shù)，建立七自由度機(jī)械臂抓捕碰撞模型，如圖1所示。該模型由機(jī)械臂、衛(wèi)星平臺(tái)和目標(biāo)組成。在機(jī)械臂末端建立抓捕工具，并在目標(biāo)上建立相應(yīng)的抓手，如圖2所示。

碰撞動(dòng)力學(xué)的建模不僅涉及系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)、彈性參數(shù)，還與碰撞物體的幾何形狀、相互嵌入量有關(guān)，很難有解析表達(dá)式。因此利用ADAMS軟件中的等效彈簧阻尼函數(shù)對(duì)碰撞進(jìn)行數(shù)值仿真[19]

(1)

式中：K表示模型的等效接觸剛度，K的取值通常與接觸體的材料剛度和幾何形狀選取有關(guān)；q表示兩物體之間的穿透量；e表示非線性系數(shù)指數(shù)，當(dāng)e≠1時(shí)表示非線性彈性，e=1表示線性彈性；Dmax表示碰撞物體的最大穿透量；Cmax表示接觸時(shí)的最大阻尼；step為階躍函數(shù)，其函數(shù)示意圖如圖3所示，利用三次多項(xiàng)式逼近階梯函數(shù)，模擬等效彈簧阻尼函數(shù)的非線性阻尼模型，函數(shù)中q為自變量，其定義域?yàn)閇0,Dmax]，函數(shù)值域?yàn)閇0,Cmax]，當(dāng)碰撞剛剛發(fā)生時(shí)，穿透量為0，阻尼為0，當(dāng)穿透量為Dmax時(shí)阻尼為Cmax[20]。

圖1 七自由度空間機(jī)器人抓捕碰撞模型Fig.1 Seven-DOF space robot impact model

圖2 機(jī)械臂末端抓手模型Fig.2 End effector model of space robot

圖3 非線性阻尼項(xiàng)特性曲線示意圖Fig.3 Diagram of nonlinear damping characteristic curve

1.2 組合體動(dòng)力學(xué)建模

為了描述抓捕目標(biāo)后的組合體動(dòng)力學(xué)特性，建立如圖4所示的組合體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型。其中B表示衛(wèi)星平臺(tái)，Li(i=1,…,7)表示機(jī)械臂的七個(gè)連桿，連桿之間由單自由度的旋轉(zhuǎn)鉸接關(guān)節(jié)ki(i=1,…,7)連接，b表示抓捕目標(biāo)。

建立如圖4所示的坐標(biāo)系，在衛(wèi)星平臺(tái)質(zhì)心處建立坐標(biāo)系Ob表示衛(wèi)星本體坐標(biāo)系，Oi(i=1,…,7)表示連桿Li的本體坐標(biāo)系，其坐標(biāo)系原點(diǎn)位于旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)ki的鉸接中心；Oiref表示關(guān)節(jié)ki的參考坐標(biāo)系，其原點(diǎn)與Oi原點(diǎn)重合，且隨鉸接關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng);r0表示平臺(tái)質(zhì)心在慣性系下的位置；ri(i=1,…,7)表示連桿質(zhì)心在慣性系下的位置；pi(i=1,…,7)表示關(guān)節(jié)參考坐標(biāo)系在慣性系下的位置。

圖4 組合體系統(tǒng)模型Fig.4 Model of compound system

文獻(xiàn)[21]中利用Kane方程[22]建立了具有幾何約束的雙臂空間機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型，利用文獻(xiàn)[21]中的動(dòng)力學(xué)建模方法，本文建立了單臂七自由度抓捕目標(biāo)后的空間機(jī)器人組合體剛體動(dòng)力學(xué)模型

(2)

(3)

為了保證抓捕的成功，空間機(jī)器人系統(tǒng)在抓捕瞬態(tài)過(guò)程中對(duì)平臺(tái)姿態(tài)不進(jìn)行控制，最終組合體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)可寫(xiě)為如下形式

(4)

(5)

1.3 系統(tǒng)動(dòng)量與角動(dòng)量

當(dāng)空間機(jī)器人系統(tǒng)穩(wěn)定抓捕目標(biāo)后，所形成的組合體系統(tǒng)不受外力作用，因此系統(tǒng)遵循動(dòng)量守恒定律。文獻(xiàn)[24]的方法建立系統(tǒng)動(dòng)量、角動(dòng)量守恒方程。文獻(xiàn)[24]中描述的空間機(jī)器人系統(tǒng)具有l(wèi)部機(jī)械臂，在l部機(jī)械臂中的第h個(gè)機(jī)械臂具有nk個(gè)自由度。系統(tǒng)動(dòng)量和關(guān)于平臺(tái)質(zhì)心的角動(dòng)量為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

r0g=rg-r0

(11)

(12)

本文建立了單臂七自由度空間機(jī)器人模型，因此h=1。抓捕前目標(biāo)與衛(wèi)星平臺(tái)之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)，抓捕后目標(biāo)將進(jìn)一步帶動(dòng)機(jī)械臂各臂桿以及平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng)，因此抓捕后形成的衛(wèi)星-機(jī)械臂-目標(biāo)組合體系統(tǒng)具有初始動(dòng)量與角動(dòng)量。

由式(6)可以求解出平臺(tái)速度表達(dá)式

(13)

將式(13)代入式(6)中得到

(14)

(15)

從以上的分析中可以得出：由于系統(tǒng)遵守動(dòng)量守恒定律，因此由抓捕引起的系統(tǒng)初始動(dòng)量、角動(dòng)量大小無(wú)法改變，只能通過(guò)對(duì)關(guān)節(jié)角與關(guān)節(jié)角速度的優(yōu)化來(lái)減少平臺(tái)所受到的擾動(dòng)。

2 抓捕瞬態(tài)仿真分析

碰撞初始時(shí)刻選取目標(biāo)相對(duì)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)見(jiàn)表1，ADAMS碰撞參數(shù)見(jiàn)表2，機(jī)械臂D-H參數(shù)與空間機(jī)械臂各部分質(zhì)量慣量見(jiàn)表3、4。其中仿真時(shí)間1s，仿真步長(zhǎng)10-3s。采用GSTIFF積分器，SI2積分格式，積分誤差為10-3。在碰撞仿真過(guò)程中，機(jī)械臂關(guān)節(jié)及平臺(tái)不施加控制。碰撞前機(jī)械臂初始構(gòu)型為[75,70,110,10,110,-96,94]T(°)，關(guān)節(jié)角速度與平臺(tái)角速度均為零。

圖5表示碰撞過(guò)程中機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度的變化情況。從圖5可以看出第一次碰撞發(fā)生在0.007 s，末端抓手碰撞，造成關(guān)節(jié)角速度突變；碰撞發(fā)生后，由于沒(méi)有采取鎮(zhèn)定控制策略，所以在0.2 s時(shí)發(fā)生第二次碰撞且各關(guān)節(jié)開(kāi)始隨動(dòng)，造成末端抓手受力、關(guān)節(jié)角速度以及平臺(tái)狀態(tài)的突變，因此需要在二次碰撞之前進(jìn)行鎮(zhèn)定控制。選取0.1 s時(shí)機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度[-0.19,0.54,0.01,0.02,-1.11,3.19,-2.05]T(°)/s作為后續(xù)鎮(zhèn)定控制策略的初始仿真參數(shù)。

表1 碰撞初始時(shí)刻目標(biāo)相對(duì)平臺(tái)角速度、速度Table 1 Relative velocity and angular velocity between target and platform at initial time of impact

表2 碰撞參數(shù)Table 2 Parameters of collision

圖5 碰撞過(guò)程關(guān)節(jié)角速度變化曲線Fig.5 The curve of joints angular velocity during impact

圖6表示碰撞時(shí)平臺(tái)角速度的變化曲線。從圖中可以看出抓捕瞬態(tài)對(duì)衛(wèi)星平臺(tái)本體影響有限，在碰撞過(guò)程中平臺(tái)總體保持穩(wěn)定。第一次碰撞對(duì)平臺(tái)造成的角速度突變小于10-4(°)/s量級(jí)；第二次碰撞對(duì)平臺(tái)造成的角速度突變超過(guò)0.02(°)/s。

圖6 碰撞過(guò)程平臺(tái)角速度變化Fig.6 The curve of platform angular velocity during impact

圖7 末端碰撞力大小Fig.7 The magnitude force of end effector during impact

圖8 末端碰撞力矩大小Fig.8 The magnitude torque of end effector during impact

圖7、8分別表示碰撞時(shí)末端抓手所受碰撞力、力矩大小變化曲線。力矩的突變證明了碰撞的發(fā)生，碰撞力的兩次突變對(duì)應(yīng)系統(tǒng)狀態(tài)的兩次突變。

綜合以上抓捕碰撞仿真結(jié)果，可以得出以下結(jié)論：

1) 末端抓手在抓捕過(guò)程中與目標(biāo)發(fā)生碰撞，造成關(guān)節(jié)角速度的突變；在碰撞發(fā)生后，由于沒(méi)有采取相應(yīng)的鎮(zhèn)定控制策略，機(jī)械臂各關(guān)節(jié)開(kāi)始隨動(dòng)并發(fā)生第二次碰撞，造成抓手受力過(guò)大，關(guān)節(jié)與平臺(tái)狀態(tài)變化劇烈，因此需要在二次碰撞之前設(shè)計(jì)相應(yīng)的隨動(dòng)控制策略進(jìn)行鎮(zhèn)定控制。

2) 抓捕沖擊對(duì)衛(wèi)星本體影響較小，衛(wèi)星平臺(tái)在抓捕瞬態(tài)保持穩(wěn)定。

因此針對(duì)抓捕目標(biāo)后的組合體系統(tǒng)，根據(jù)抓捕碰撞仿真分析結(jié)果，做出如下假設(shè)以輔助設(shè)計(jì)組合體鎮(zhèn)定控制策略：

假設(shè)1.抓捕結(jié)束后，末端抓手與目標(biāo)之間不產(chǎn)生晃動(dòng)，抓手與目標(biāo)之間為剛性連接，目標(biāo)附著在末端抓手上隨機(jī)械臂一起運(yùn)動(dòng)。

從碰撞仿真結(jié)果可以看出，碰撞過(guò)程時(shí)間很短，根據(jù)文獻(xiàn)[25]中的分析，可用沖量定理描述抓捕碰撞對(duì)系統(tǒng)的沖擊效應(yīng)，假設(shè)碰撞在短時(shí)間Δt內(nèi)完成，則末端抓手碰撞力在碰撞瞬間的沖量可等效為

(16)

利用沖量原理對(duì)瞬態(tài)抓捕碰撞進(jìn)行分析：系統(tǒng)受到的碰撞沖擊與碰撞后系統(tǒng)速度變化的大小相關(guān)，碰撞沖擊大則系統(tǒng)速度變化大，碰撞沖擊小則速度變化小。由碰撞仿真分析結(jié)果可以得出，第一次瞬態(tài)碰撞對(duì)衛(wèi)星本體基座影響較小，因此針對(duì)抓捕瞬態(tài)碰撞對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響做出如下假設(shè)：

假設(shè)2.抓捕瞬態(tài)碰撞對(duì)空間機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生的沖擊效應(yīng)以機(jī)械臂關(guān)節(jié)角速度的形式體現(xiàn)。

3 基于差分進(jìn)化算法的軌跡規(guī)劃鎮(zhèn)定控制

為了輔助設(shè)計(jì)機(jī)械臂鎮(zhèn)定控制策略，基于假設(shè)1與假設(shè)2可以將鎮(zhèn)定控制問(wèn)題等效為：根據(jù)已知的初始狀態(tài)和終止?fàn)顟B(tài)，求解一條機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)軌跡，在滿(mǎn)足一定約束條件的情況下，達(dá)到消除目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)與鎮(zhèn)定組合體系統(tǒng)的目的。本文將抓捕沖擊產(chǎn)生的關(guān)節(jié)角速度看作軌跡設(shè)計(jì)的初始狀態(tài)，將關(guān)節(jié)角速度、角加速度為零看作終止?fàn)顟B(tài)進(jìn)行軌跡的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.1 關(guān)節(jié)空間軌跡參數(shù)化

在機(jī)械臂軌跡規(guī)劃問(wèn)題中，常采用多項(xiàng)式函數(shù)插值的方法對(duì)軌跡進(jìn)行逼近。在本文中機(jī)械臂初始與終點(diǎn)狀態(tài)的關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度已知，因此利用多項(xiàng)式設(shè)計(jì)關(guān)節(jié)軌跡如下

θi=a0i+a1it+a2it2+a3it3+a4it4

(17)

對(duì)式(17)求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)，分別求得關(guān)節(jié)角速度和角加速度的表達(dá)式

(18)

(19)

式中：T,θTi分別表示軌跡規(guī)劃時(shí)間與終點(diǎn)關(guān)節(jié)角構(gòu)型。

從式(19)中可以看出，設(shè)計(jì)的四次插值多項(xiàng)式軌跡由阻尼時(shí)間T與終點(diǎn)關(guān)節(jié)角θTi決定。針對(duì)這一特點(diǎn)，本文通過(guò)對(duì)T,θTi的優(yōu)化，求解得到滿(mǎn)足相關(guān)約束條件的運(yùn)動(dòng)軌跡。

為了實(shí)現(xiàn)組合體鎮(zhèn)定過(guò)程中控制力矩能量消耗小、對(duì)平臺(tái)擾動(dòng)少的目的，聯(lián)合式(5)與式(15)，選取控制力矩能量消耗與衛(wèi)星平臺(tái)角速度累計(jì)變化作為評(píng)價(jià)指標(biāo)：

(20)

除此之外，在設(shè)計(jì)機(jī)械臂軌跡的過(guò)程中，各關(guān)節(jié)還應(yīng)滿(mǎn)足如下約束條件

(21)

3.2 差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法由Storn等在文獻(xiàn)[26]中提出，該方法利用群體進(jìn)化理論通過(guò)種群內(nèi)個(gè)體間的競(jìng)爭(zhēng)與全局搜索來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的優(yōu)化計(jì)算。針對(duì)式(22)所示的優(yōu)化問(wèn)題[27]，DE算法利用變異、交叉、選擇操作實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的優(yōu)化求解。

(22)

其中:z(x),h(x)表示與優(yōu)化變量x有關(guān)的函數(shù)約束條件。

配電自動(dòng)化的核心是饋線自動(dòng)化(Feeder Automation,FA),即配電線路自動(dòng)化,在線路開(kāi)關(guān)上添加饋線自動(dòng)化終端設(shè)備,以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)程監(jiān)控。饋線自動(dòng)化終端可分為具有遙測(cè)、遙信、遙控功能的“三遙”配電終端;具有遙測(cè)、遙信功能的“二遙”配電終端;僅有遙測(cè)功能的“一遙”配電終端[3]。不同地區(qū)的終端配置可根據(jù)各自的可靠性要求進(jìn)行優(yōu)化選擇。通過(guò)對(duì)線路中開(kāi)關(guān)的控制可以?xún)?yōu)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和提高供電可靠性[4],而饋線自動(dòng)化終端優(yōu)化配置也必須要統(tǒng)籌考慮投資與可靠性的關(guān)系,從而達(dá)到配電網(wǎng)建設(shè)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性與可靠性的目的。

(23)

式中：i,r1,r2,r3=1,2,…,N，且r1,r2,r3為隨機(jī)選中的互不相同的數(shù)；F為縮放比例因子，取值范圍在[0,1]。

(24)

式中：j=1,…,D表示種群中元素的序列數(shù)；jrand表示[1,D]之間的隨機(jī)整數(shù)；rand(j)表示[0,1]之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)；C為變異常數(shù)因子。

變異因子C越大則越有利于提高算法的局部搜索能力，且收斂速率快；C越小則越有利于保持種群的多樣性，且全局搜索能力強(qiáng)。

為了讓優(yōu)化變量都處在規(guī)定的范圍內(nèi)，在標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法中加入邊界條件限制：

(25)

(26)

根據(jù)以上步驟，本文利用差分進(jìn)化算法對(duì)式(20),(21)所示的問(wèn)題進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。根據(jù)式(19)定義優(yōu)化變量x

(27)

式中：Δθi(i=1,…,7)表示機(jī)械臂終止?fàn)顟B(tài)相對(duì)初始狀態(tài)的關(guān)節(jié)角偏移量，θTi=θ0i+Δθi；T表示軌跡規(guī)劃時(shí)間。

其中優(yōu)化變量中的約束條件為：

(28)

綜合任務(wù)需求考慮，本文定義適應(yīng)度函數(shù)如下：

J=Jv+Jp

(29)

其中，Jv表示評(píng)價(jià)指標(biāo)

(30)

評(píng)價(jià)指標(biāo)中包括了機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩的能量消耗以及對(duì)平臺(tái)的累計(jì)擾動(dòng)。除此之外，根據(jù)約束條件，設(shè)置懲罰函數(shù)Jp如下所示

(31)

(32)

(33)

最終，利用差分進(jìn)化算法對(duì)軌跡進(jìn)行優(yōu)化的流程如下：

1)設(shè)置種群維數(shù)D與種群數(shù)量N，并選取優(yōu)化變量x。

5)設(shè)定種群的上限與下限，保證種群在設(shè)定的范圍內(nèi)進(jìn)行搜索。

6)將以上五個(gè)步驟產(chǎn)生的種群代入適應(yīng)度函數(shù)，并利用貪婪法則對(duì)種群進(jìn)行篩選。

7)重復(fù)2)～6)步驟直到最大進(jìn)化代數(shù)G，最終得到適應(yīng)度函數(shù)值以及優(yōu)化變量x。

阻尼軌跡優(yōu)化流程如圖9所示，差分進(jìn)化算法計(jì)算流程如圖10所示。

圖9 阻尼軌跡優(yōu)化流程框圖Fig.9 Flow diagram of damping trajectory

圖10 差分進(jìn)化算法流程圖Fig. 10 Flow chart of DE algorithm

3.3 機(jī)械臂控制器設(shè)計(jì)

為了跟蹤優(yōu)化后的軌跡，根據(jù)式(5)設(shè)計(jì)機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制器：

(34)

(35)

選取合適的正定矩陣Kp,Kd，證明控制器的穩(wěn)定性，構(gòu)造李雅普諾夫方程如下

(36)

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理，對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)：

(37)

又因?yàn)閂≥0，所以根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理可證明系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定，因此設(shè)計(jì)的控制器可以實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤。

4 仿真校驗(yàn)

本文利用圖4所示的七自由度空間機(jī)器人組合體模型對(duì)所提出的控制策略進(jìn)行仿真校驗(yàn)。組合體機(jī)械臂D-H參數(shù)見(jiàn)表3。

表3 機(jī)械臂D-H參數(shù)Table 3 D-H parameter of manipulator

4.1 軌跡優(yōu)化結(jié)果

表4 系統(tǒng)質(zhì)量慣量Table 4 Mass and inertia of system

(38)

將給定的關(guān)節(jié)角速度和機(jī)械臂構(gòu)型作為初始仿真參數(shù)，并利用DE算法求解關(guān)節(jié)角偏移量和阻尼時(shí)間。

圖11 適應(yīng)度函數(shù)收斂曲線Fig.11 The convergence curve of fitness function

圖11表示適應(yīng)度函數(shù)值隨進(jìn)化代數(shù)的收斂曲線。最終得到適應(yīng)度函數(shù)優(yōu)化值J=3149.7，阻尼時(shí)間T=123.44 s，關(guān)節(jié)角相對(duì)初始構(gòu)型偏移量Δθ=[31.96,31.54,21.64,-4.12,39.99,-15.05,-27.49]T(°)。

結(jié)合式(27)將Δθ、T代入式(19)得到軌跡曲線，最后利用式(34)的控制器對(duì)軌跡進(jìn)行跟蹤，得到關(guān)節(jié)角、關(guān)節(jié)角速度、平臺(tái)角速度和關(guān)節(jié)控制力矩曲線如圖12～15所示。從圖12關(guān)節(jié)角速度曲線可以看到，利用文中提出的鎮(zhèn)定控制方法使關(guān)節(jié)角速度最終收斂到零，消除了目標(biāo)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，達(dá)到了維持被捕獲目標(biāo)與衛(wèi)星本體之間相對(duì)穩(wěn)定的目的。特別注意圖14中機(jī)械臂控制力矩的變化，由于衛(wèi)星平臺(tái)為自由漂浮狀態(tài)，當(dāng)衛(wèi)星平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)關(guān)節(jié)仍需保持對(duì)期望軌跡的跟蹤，因此控制力矩始終不為零。

圖12 關(guān)節(jié)角速度曲線Fig.12 The curve of joints angular velocity

圖13 關(guān)節(jié)角軌跡Fig.13 The trajectory of joint angles

圖14 關(guān)節(jié)控制力矩Fig.14 The control torques of joints

圖15 平臺(tái)角速度Fig.15 The angular velocity of platform

4.2 優(yōu)化與未優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比

為了驗(yàn)證本文所提出算法的有效性與優(yōu)越性，將其與未進(jìn)行優(yōu)化的軌跡結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

另給定區(qū)別于本文優(yōu)化結(jié)果的四次多項(xiàng)式軌跡作為期望軌跡進(jìn)行跟蹤。在相同仿真時(shí)間下利用相同控制器，即式(34)對(duì)軌跡進(jìn)行跟蹤，并設(shè)定如下指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比：

機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)對(duì)平臺(tái)的累計(jì)擾動(dòng)：

(39)

機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制力矩能量消耗：

(40)

平臺(tái)角速度擾動(dòng)范數(shù)：

(41)

由圖16和圖18平臺(tái)擾動(dòng)對(duì)比曲線可以看到，優(yōu)化后的軌跡在阻尼鎮(zhèn)定過(guò)程中對(duì)平臺(tái)的擾動(dòng)更小，達(dá)到了對(duì)平臺(tái)擾動(dòng)少的目的；由圖17關(guān)節(jié)控制力矩能量消耗對(duì)比曲線可以看出，優(yōu)化后的控制能量消耗更少。

圖16 平臺(tái)累計(jì)擾動(dòng)Fig.16 Accumulation disturbance of platform

圖17 關(guān)節(jié)控制力矩能量消耗Fig.17 The energy cost of control torque

圖18 平臺(tái)角速度擾動(dòng)范數(shù)Fig.18 The norm of platform angular velocity

根據(jù)以上仿真對(duì)比曲線可以得出，本文提出的鎮(zhèn)定控制策略對(duì)抓捕目標(biāo)后的空間機(jī)器人系統(tǒng)具有良好的阻尼鎮(zhèn)定效果，達(dá)到了控制力矩能量消耗小、對(duì)平臺(tái)基座擾動(dòng)少的控制目標(biāo)。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)空間機(jī)器人抓捕目標(biāo)后對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的沖擊問(wèn)題，利用ADAMS軟件建立并分析了抓捕瞬態(tài)沖擊對(duì)空間機(jī)器人系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，為鎮(zhèn)定控制策略的設(shè)計(jì)提供了初始仿真參數(shù)。采用四次多項(xiàng)式插值的方法實(shí)現(xiàn)了機(jī)械臂關(guān)節(jié)空間軌跡的參數(shù)化,利用差分進(jìn)化算法求解得到滿(mǎn)足控制力矩能量消耗小、對(duì)平臺(tái)基座擾動(dòng)少的軌跡。與未優(yōu)化的仿真結(jié)果相比，本文提出的鎮(zhèn)定控制策略與軌跡規(guī)劃方法在減少控制力矩能量消耗和對(duì)平臺(tái)擾動(dòng)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)抓捕目標(biāo)后組合體系統(tǒng)的阻尼鎮(zhèn)定，減小了碰撞沖擊對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，維持了被捕獲目標(biāo)與衛(wèi)星本體之間的相對(duì)穩(wěn)定。