一類四次分片光滑廣義Riccati系統(tǒng)的極限環(huán)與局部臨界周期分支

曹成成, 黃文韜

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣西 桂林 541004;2.廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

隨著科技的發(fā)展,物理、化學(xué)等領(lǐng)域的許多模型需要分片光滑系統(tǒng)來描述。因此,對(duì)這類系統(tǒng)的研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。分片光滑系統(tǒng)經(jīng)常在自動(dòng)控制、力學(xué)及工程的不同領(lǐng)域中遇到[1-11]。文獻(xiàn)[12]考慮了一個(gè)二次Bautin分片光滑系統(tǒng),得到在系統(tǒng)原點(diǎn)的充分小鄰域內(nèi)有10個(gè)小振幅極限環(huán)的結(jié)果。文獻(xiàn)[13]改進(jìn)計(jì)算Lyapunov常數(shù)及周期常數(shù)的方法,并證明在三次分片光滑系統(tǒng)中至少有15個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[14]研究了一個(gè)四次分片光滑系統(tǒng),得到在系統(tǒng)雙同宿環(huán)附近有11個(gè)極限環(huán)。文獻(xiàn)[15]首次研究三次分片光滑系統(tǒng)臨界周期分支問題,該系統(tǒng)在單一中心可分出5個(gè)臨界周期分支。

文獻(xiàn)[16]給出了廣義Riccati系統(tǒng)的定義:

將上述系統(tǒng)擴(kuò)展,考慮如下四次廣義Riccati分片光滑系統(tǒng):

研究系統(tǒng)原點(diǎn)的極限環(huán)與臨界周期分支問題,并證明了該系統(tǒng)在原點(diǎn)鄰域內(nèi)有9個(gè)極限環(huán)和4個(gè)臨界周期分支。

1 預(yù)備知識(shí)

考慮如下分片光滑系統(tǒng):

分別為正向后繼函數(shù)和負(fù)向后繼函數(shù)。系統(tǒng)(2)的后繼函數(shù)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)(2)的后繼函數(shù)

其中,V k為分片光滑系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)處第k個(gè)Lyapunov常數(shù)。

若V1=V2=…=V k=0,V k+1≠0,則稱系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)為k/2階細(xì)焦點(diǎn);若k=0,則稱原點(diǎn)為粗焦點(diǎn);對(duì)于任意的k,都有V k=0,則原點(diǎn)就稱作中心。

文獻(xiàn)[13]給出了一種計(jì)算Lyapunov常數(shù)的方法,文獻(xiàn)[13]、[17]、[18]給出了判定系統(tǒng)原點(diǎn)是中心的幾個(gè)判據(jù)。

引理1[13]系統(tǒng)(2)原點(diǎn)成為中心的充要條件為下列2組條件之一成立:

1)系統(tǒng)(2)關(guān)于x軸對(duì)稱,即

因此可得

若P1=P2=…=P k=0,P k+1≠0,則稱系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)為(k-1)/2階細(xì)中心;若k=0,則原點(diǎn)就稱為粗中心;若對(duì)于任意的k,都有P k=0,則原點(diǎn)就稱作等時(shí)中心。

定義1[15]記Λ為系統(tǒng)(2)系數(shù)參數(shù)向量。對(duì)于參數(shù)λ*∈Λ時(shí),系統(tǒng)(2)的原點(diǎn)為細(xì)中心,若存在ε0>0,使得任意的0<ε<ε0和每個(gè)λ*的充分小鄰域W,并存在一個(gè)λ1∈W,使得P'(ρ,λ1)在U=(0,ε)內(nèi)有k個(gè)解,則稱在λ*下系統(tǒng)有k個(gè)臨界周期從原點(diǎn)分支出來或稱系統(tǒng)原點(diǎn)有k個(gè)臨界周期分支。

引理2[19]

若存在參數(shù)

則對(duì)于λ=λ*做適當(dāng)小的擾動(dòng),可以使得系統(tǒng)(2)從原點(diǎn)處恰有k個(gè)局部臨界周期分支。

2 系統(tǒng)的Lyapunov常數(shù)及中心條件

應(yīng)用文獻(xiàn)[13]的計(jì)算方法,利用計(jì)算機(jī)代數(shù)軟件Mathematica,通過仔細(xì)的計(jì)算和化簡(jiǎn),有

定理1 系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)處的前10個(gè)Lyapunov常數(shù)為

以下討論系統(tǒng)(1)的中心問題,結(jié)合定理1,有如下定理。

定理2 系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)的前10個(gè)Lyapunov常數(shù)為零,當(dāng)且僅當(dāng)以下條件成立:

證明 定理2的充分性易證,僅證明定理的必要性。

由V2=V3=0,可得到定理1中的2種情形。若情形1成立,則容易得到式(10)。若情形2成立,即q1=-1,則由V4=0,有a2=b2。由V5=V6=0,分別可得:

計(jì)算F1、F2、F3、F4關(guān)于變量a1、b1、b2的Gronber基:

由此得F1=F2=F3=F4=0無公共根,所以在情形2下前10個(gè)Lyapunov常數(shù)不全為零,即條件(10)成立。

定理3 系統(tǒng)(1)中的原點(diǎn)成為中心,當(dāng)且僅當(dāng)定理2中的條件(10)成立。

證明 若定理中2的條件成立,則系統(tǒng)(1)可寫為

顯然,系統(tǒng)(11)的上系統(tǒng)和下系統(tǒng)是關(guān)于x軸對(duì)稱的,即在該條件下系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)為中心。

3 系統(tǒng)原點(diǎn)的極限環(huán)

定理4 系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)成為9/2階細(xì)焦點(diǎn)的充要條件為

從定理2的證明中取滿足條件(12)的一組實(shí)數(shù)解:

由定理2的證明可知,原點(diǎn)為細(xì)焦點(diǎn)的最高階數(shù)是9/2。

由文獻(xiàn)[20]的引理4可得如下引理:

引理3 若存在參數(shù)

對(duì)于λ=λ*做適當(dāng)小的擾動(dòng),可以使得系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)處有k個(gè)極限環(huán)。

定理5 當(dāng)系統(tǒng)(1)的原點(diǎn)成為9/2階細(xì)焦點(diǎn)時(shí),通過對(duì)系統(tǒng)的系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄_動(dòng),系統(tǒng)在原點(diǎn)充分小的鄰域內(nèi)可分支出9個(gè)小振幅極限環(huán)。

證明 由定理4可知,當(dāng)條件(12)成立時(shí),原點(diǎn)是系統(tǒng)(1)的9/2階細(xì)焦點(diǎn)。通過計(jì)算雅可比行列式可得

由引理3知系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)的充分小鄰域可分支出9個(gè)極限環(huán)。

4 局部臨界周期分支

當(dāng)系統(tǒng)(1)原點(diǎn)的中心條件(10)成立時(shí),得到下列周期常數(shù):P1=-16b/3,當(dāng)P1=0時(shí),可得

通過GroebnerBasis[{f1,f2},{q1}]={1}或者解方程方法,可知f1=f2=0無公共根,即前4個(gè)周期常數(shù)均為零時(shí),第5個(gè)周期常數(shù)P5≠0。因此,容易得到如下定理:

定理6 在條件(10)下,系統(tǒng)原點(diǎn)是3/2細(xì)中心的充要條件為

求解方程f1=0,q1有4組實(shí)數(shù)解,取其中一個(gè)實(shí)數(shù)解(精確到小數(shù)50位)為

由于以下Jacobian行列式為

由文獻(xiàn)[19]定理2可得:

定理7 若條件(10)成立,通過一定的擾動(dòng),系統(tǒng)(1)在原點(diǎn)鄰域可分支出4個(gè)臨界周期。

5 結(jié)束語

研究了一類分片光滑廣義Riccati系統(tǒng)的極限環(huán)與臨界周期問題,通過計(jì)算Lyapunov常數(shù)得到了中心條件,證明了該系統(tǒng)在原點(diǎn)鄰域內(nèi)有9個(gè)極限環(huán),并在中心條件下,證得該系統(tǒng)在原點(diǎn)鄰域內(nèi)有4個(gè)臨界周期分支。