【摘 要】 幾何作圖以開放發(fā)散的思路、幾何直觀的方式、思維嚴謹的邏輯成為數學教學中蘊含思維價值的教學內容.一道好的作圖試題，從初步構想到最終定稿乃至到考后反思稿的命制過程中，需要對試題文本和結構進行精雕細琢，深度思考，以達到以下目的：經歷精推細敲，實現(xiàn)科學評價;回歸教材文本，考查核心知識;關注學生現(xiàn)實，凸顯育人價值;彰顯思維品質，引領教學導向.

【關鍵詞】 幾何作圖;無刻度直尺;命題研究

尺規(guī)作圖作為一種常規(guī)的試題類型受到試題命制者的青睞，相較于尺規(guī)作圖，僅用無刻度直尺完成作圖的試題表現(xiàn)出工具更為弱化、思維含量更高的特點.此類試題融入更多的核心知識和理性思考，工具方便、操作簡單，更能考查學生對幾何知識的掌握與靈活運用，有利于考查學生思維的邏輯性、知識的關聯(lián)性、能力的綜合性等數學素養(yǎng).筆者在命制本區(qū)九年級檢測試題時，將倒數第三題以無刻度直尺作圖的方式呈現(xiàn)，現(xiàn)將本題的命題構想、歷程及思考呈現(xiàn)如下.

1 命題構想

根據試卷的雙向細目表的安排，第25題是全卷倒數第3題，滿分為8分，難度系數0.4，試題創(chuàng)新命題形式，嘗試舍去常用的網格圖背景，探索無網格圖背景的無刻度直尺作圖，以“關注核心知識，凸顯數學素養(yǎng)”為基本立意，基于保持整份試卷的結構穩(wěn)定及試題風格，具體構想如下：（1）問題設計以學生熟悉的核心幾何知識為載體，蘊含豐富的數學思想方法，著重考查數學素養(yǎng)和創(chuàng)新能力;（2）試題靈活考查軸對稱圖形變換的性質;（3）試題要源于教材，表述簡潔，兼顧基礎性和區(qū)分度，突出考查直觀想象和邏輯推理等核心能力.

2 命題歷程2.1 初始稿：原以為很美

如圖1，已知△ABC，分別按下列要求作出圖形.（不寫畫法，保留作圖痕跡）

（1）用直尺和圓規(guī)畫出線段BC的垂直平分線l.

（2）只用無刻度的直尺，畫出點A關于直線l的對稱點.

解答 （1）如圖2;（2）如圖2，直線l與AC交于點E，連接BA并延長交直線l于點D，連接CD，連接點BE并延長交CD于點F，點F即所求.

診斷 第1問很基礎，并且為第2問鋪墊，梯度比較合理，區(qū)分度較好.第2問并沒有重復考查“對稱軸是對應點所連線段的垂直平分線”的性質，而是進而考查學生靈活運用“兩個圖形關于某條直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上”的性質來構圖，注重理性思維水平的考查.

細細品味，初稿有明顯不足.首先，兩問的作圖工具并不一致，顯得刻意，不和諧自然;其次，要求畫出點A的對稱點，呈現(xiàn)的△ABC不僅顯得多余，而且線段AB、AC對于第2問有明顯的提示作用，弱化了靈活運用軸對稱性質來有序構圖的思維含量.于是剝離出初稿中的無關因素，只呈現(xiàn)更為本質的要素，打磨成改進稿.2.2 改進稿：自以為真美

如圖3，直線l是線段BC的垂直平分線，點A是直線l外一點，位置如圖所示.只用一把無刻度的直尺，過點A作BC的平行線并證明.（不寫作法，保留作圖痕跡）

解答 如圖4，連接AC交直線l于點E，連接BA并延長交直線l于點D，連接CD，連接點BE并延長交CD于點F，作直線AF即所求.

證明方法省略.

診斷 改進稿的呈現(xiàn)兼具嚴謹性和簡潔性，除了考查學生的作圖能力，在完成證明的過程中進一步考查邏輯推理能力.第1問的作圖不僅摒棄了無關因素的影響，而且將直白的作對稱點改進成過直線外一點作已知直線的平行線，這樣“一點兩線加垂直”的試題呈現(xiàn)極其簡約，然而，簡約而不簡單，與試題簡潔的呈現(xiàn)形成鮮明對比的是作圖探究背后蘊含的思維價值.本題作AF∥BC本質就是作AF⊥l，作AF⊥l只需作點A的對稱點，那如何用無刻度直尺作對稱點，需要又一次調用另一條軸對稱的性質來理性構建圖形，突出考查學生從觀察圖形、追溯源頭、探析作法、完成構圖經歷的完整探究過程.第2問的作圖證明涉及到“圖形與幾何”領域的全等三角形、相似三角形、等腰三角形、線段垂直平分線、平行線的判定和性質等核心知識，證明方法多樣，對學生邏輯推理能力的要求較高.

改進稿突出考查了學生的幾何直觀和邏輯推理的能力，美中不足的是兩問都對學生的思維要求較高，難度較大，對于幾何作圖中邏輯推理能力的考查超出了課標的要求，作為一道區(qū)域性的統(tǒng)測試題，顯然不合適，于是再次精推細敲，反復斟酌，從而形成審定稿.2.3 審定稿：當時覺得美

已知⊙O是△ABC的外接圓，過點O作OD⊥BC，垂足為D.

（1）在圖5中，只用無刻度的直尺，畫出△ABC的角平分線AE.

（2）在圖6中，只用無刻度的直尺，過點A作AP∥BC，并說明理由.

解答 （1）如圖7，延長OD交⊙O于點E，連接AE交BC于點F，AF即所求.

（2）方法1 如圖8，延長DO交AB于點E，連接CE并延長交⊙O于點P，作直線AP即所求.證明：由OD過圓心，OD⊥BC，得BD=CD.即OD是BC的垂直平分線.所以EB=EC.可得∠B=∠BCE.又∠B=∠APC，可得∠BCE=∠APC，所以AP∥BC.

方法2 如圖9，分別延長CA、DO交于點F，連接BF交⊙O于點P，作直線AP即所求.證明：由OD過圓心，OD⊥BC，得BD=CD.即OD是BC的垂直平分線.由FB=FC.可得∠FBC=∠C.又因為四邊形PBCA是圓內接四邊形，所以∠FPA=∠C，可得∠FBC=∠FPA，所以AP∥BC.

方法3 如圖10，連接BO、CO分別交⊙O于點F、G，連接GA交直線OD于點H，連接FH并延長交⊙O于點P，作直線AP即所求.證明略.

診斷 反復斟酌后，引入圓的背景，并將“一點兩線”恢復成初始稿的△ABC，繼續(xù)探究平行線的作法，增加第（1）問作三角形的角平分線.圓是重要的軸對稱圖形，它的自然融入不但可以容易構造新的點，有效降低難度，同時也很好地考查圓中相關核心知識.無論作三角形的角平分線，還是作平行，都需要學生關聯(lián)圓中核心知識，有序構建基本圖形來解決問題.

圓背景的融入還使作平行線的方法由單一變得多樣化，作平行線的關鍵是運用軸對稱的性質，明確了對稱軸的突出地位，確定對稱軸的三種方法也應運而生.因為對稱軸上可以利用的對稱線段的所在直線的交點有3個，分別是圖8，9，10中的E，F(xiàn)，H.其中，方法1正是利用圓的對稱性將作圖由原來的連5條線減少為2條，更為簡潔又不失理性思考，同時作法的證明難度由于圓的核心知識的運用比改進稿有顯著降低.

經歷試題的精雕細琢，最終審定成稿，并順利地進行了統(tǒng)測.通過試題批改的數據反饋，雖然試題的難度和區(qū)分度都達到了預期，但細細品味，反復琢磨，總覺意猶未盡.首先，第1問的作圖難度還是有點大，得分率不高;其次第2問的作圖和證明的難度很接近，有重復考查之嫌，沒有層層遞進，平行的作法探析過程本身就對邏輯推理有很好的考查，而作法證明與前者并無明顯的區(qū)別.最后，兩問之間沒有很強的邏輯關系，整體性和系統(tǒng)性也不夠，基于統(tǒng)測的數據分析，對審定稿又進行了改進，最終形成反思稿.2.4 反思稿：實現(xiàn)真的美

如圖11，已知⊙O是△ABC的外接圓，過點O作OD⊥BC，垂足為D.只用無刻度的直尺，你能過點A畫出△ABC的哪些特殊線段？請畫出這些線段.（不寫作法，保留作圖痕跡）

解答 過點A可以畫出△ABC的中線、角平分線、高.如圖12，連接AD即△ABC的中線;如圖13，延長OD交⊙O于點E，連接AE交BC于點F，AF即△ABC的角平分線.

作高的方法1 如圖14，延長DO交AB于點E，連接CE并延長交⊙O于點F，連接FO并延長交⊙O于點G.連接AG交BC于點H，AH即△ABC的高.

作高的方法2 如圖15，連接AO并延長交⊙O于點F，連接CF交OD的延長線于點E，連接BE交⊙O于點G.連接AG交BC于點H，AH即△ABC的高.

診斷 在本試題講評教學時，學生提出如何作高的問題，這引發(fā)筆者的進一步思考.最終形成的反思稿中，第（1）問的作中線面向全體學生，有效降低了難度，第（2）、（3）問作角平分線和高，層層遞進，很好地解決了審定稿中重復考查的問題，同時也使整道題形成前后連貫、邏輯一致、一以貫之的特點，對學生聚焦圖形結構，直觀想象和邏輯推理的能力進行了充分的考查.

3 命題思考

3.1 經歷精推細敲，實現(xiàn)科學評價

本試題的命制以無刻度直尺作圖靈活考查軸對稱變換的性質為目標，以科學評價和引領教學為價值取向，從試題初始稿到反思稿的打磨歷程緊緊圍繞呈現(xiàn)方式、問題設計、試題結構、考查維度、難度系數、形式創(chuàng)新等方面精雕細琢，反復打磨.命題歷程中有左沖右突的煎熬，更有柳暗花明的暢快.呈現(xiàn)方式上脫胎換骨，但考查目標卻始終一以貫之;能過點A畫出△ABC的哪些特殊線段的問題設計更加突出整體和開放的視角，層層鋪墊，螺旋上升，凸顯思維進階;試題結構由審定稿的牽強拼湊變得關聯(lián)性更強，邏輯清晰，更利于學生從系統(tǒng)性和整體性高度理解數學本質，避免了碎片化;考查維度也逐漸優(yōu)化，關注了學生分析問題、捕捉有效信息的能力，類比歸納已有作中線、角平分線的活動經驗形成新的經驗綜合運用到作高中的遷移能力，以及面對開放型新穎試題鎮(zhèn)定自若的心態(tài)和創(chuàng)新能力;改進稿作為試題，其難度系數過大，顯然超出了學生的“最近發(fā)展區(qū)”，會挫傷學生的信心，基于以生為本的價值取向需要再打磨降低難度.

命題者要不斷追求科學命題，突出數學本質，彰顯數學核心素養(yǎng)，積極導向立德樹人的課堂教學，同時讓師生共同意識到試題就源于教材，來自課堂，著重考查通性通法和思維品質，而大量刷題作業(yè)是高耗低效的，為切實減輕學生作業(yè)負擔做好命題評價方面的正確引領.3.2 回歸教材文本，考查核心知識

教材是課堂教學的重要依據和資源，也是保證試題符合課程標準的衡量標準.本試題的初始稿就是以蘇科版教材的例題為素材，在作圖工具和試題結構上做了兩點改編創(chuàng)新，使試題源于教材，但又不拘泥于教材.因此，試題的命制素材來源于以課標為依據的教材例題、習題，再進行加工、整合、拓展;也可以來源于鮮活的課堂教學的生成，將學生在活動探究和思維碰撞中迸發(fā)的精彩的問題融入命題之中.

同時，試題命制要關注學生對核心知識的掌握和數學本質的領悟.初中階段數學的核心知識是形成數學能力提升數學素養(yǎng)的重要載體和抓手，也是命題者青睞的對象，綜合數學的核心知識，進行命題，有利于考查學生的數學素養(yǎng)及探究能力，有助于從知識考查走向能力立意[1].本題聚焦初中數學的核心知識有：軸對稱、垂直平分線、平行線性質、垂徑定理、等弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是直角等核心知識.

3.3 關注學生現(xiàn)實，凸顯育人價值

在命制試題時，要關注學生現(xiàn)實，學生現(xiàn)實不僅包括數學知識水平，思維能力和解題經驗，而且包括數學實際生活背景與數學活動經驗[2].因此，在命題中應充分重視和關注學生的個體差異，以學生發(fā)展為本.比如反思稿中設計的畫三角形的中線、角平分線、高，三個問題層層遞進，貼近學生已有的學習經驗，大部分學生“跳一跳能摘到”.試題的價值不能僅限于知識、能力的判定，更要著眼于每個學生的發(fā)展和人的價值.

試題命制要體現(xiàn)數學學科育人的價值，要用試題背后的數學思想和理性精神滋養(yǎng)學生，讓學生像數學家那樣思考解決問題，引導學生經歷數學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的全過程[3].反思稿開放性的活動設問，注重了對學生數學活動過程的考查，激發(fā)了學生的好奇心和求知欲，引發(fā)學生深入探索和思考.用無刻度直尺作三角形重要線段，循序漸進、螺旋上升、一以貫之，很好地考查了學生數學活動過程中所表現(xiàn)出來的思維方式、思維水平.3.4 彰顯思維品質，引領教學導向

試題命制要減少機械記憶試題和客觀性試題比例，提高探究性、開放性、綜合性試題比例.這是教育部《關于加強初中學業(yè)水平考試命題工作的意見》所要求的.反思稿的問題設計充滿開放性、探究性，試題以開放發(fā)散的思路、幾何直觀的方式、思維嚴謹的邏輯來彰顯思維的靈活性和深刻性.考查學生根據目標圖形的特征逆向分析、調用核心知識、構造圖形，凸顯“分析”的思路，通過邏輯推理、類比歸納來追溯源頭、探析作法，同時揭示“對稱”的本質，感悟蘊含在作圖過程中的對稱思想，從而掌握知其然（怎么作圖），知其所以然（這樣作的道理），何由以知其所以然（怎么想到這樣作）通性通法[4].

試題考查的目標和要求對教師的教和學生的學具有鮮明的導向作用，試題命制應該導向教師積極探索基于情境、問題導向、深度思考，高度參與的教育教學方式[5].反思稿中蘊含豐富的教學資源，在教學中，教師應以學定教，順學而教，通過分步適時的點撥加追問，激發(fā)學生經歷主動關聯(lián)調用相關核心知識，并將其整體化、經驗化、結構化，理性構建基本圖形來獲取解決問題思路的全過程，體驗感悟了作法背后的“理”與“法”，潛移默化地達到了深度學習，發(fā)展學生發(fā)散性思維、幾何直觀、數學推理能力等數學素養(yǎng).因此，試題命制者要注重以測導教的功能挖掘充分發(fā)揮試題的教學導向功能，以試題為載體，導引教師將培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)放在首要位置.

參考文獻

[1]陶家友.關注基礎凸顯核心[J].中國數學教育，2019（12）：51-55.

[2]臧鐵生.教育考試與評價[M].北京：中國青年出版社，2020：14-15.

[3]張丹，王彥偉.數學學科育人指向：用數學思想和理性精神滋養(yǎng)學生[J].中小學管理，2019（11）：9-11.

[4]章飛.三個基本作圖的方法思辨與教學實施[J].中學數學教學參考（中旬），2021（7）：2-5.

[5]吳增生.初中數學畢業(yè)考試命題變革的思考與實踐[J].數學通報，2021（1）：41-51.

作者簡介 陶家友（1981—），男，中學高級教師，南京市學科帶頭人，江蘇省教科研先進個人，江蘇省卓越教師培養(yǎng)對象，南京市溧水區(qū)數學名師工作室主持人，主要研究課堂教學與中考命題.