【摘 要】 近年來，數(shù)學(xué)中考越來越重視學(xué)生綜合能力的考察，也是大環(huán)境下中考命題的新趨勢.就2021年蘇州數(shù)學(xué)中考第27題而言，考察了三維空間中的注水追及問題，通過對(duì)該試題的分析與思考，提出初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展、重視綜合實(shí)踐活動(dòng)的價(jià)值、培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);綜合與實(shí)踐;數(shù)學(xué)閱讀;中考數(shù)學(xué)

近年來，數(shù)學(xué)中考越來越關(guān)注學(xué)生綜合能力的考察，這是在重視素養(yǎng)發(fā)展背景下的命題趨勢.正如2021年蘇州數(shù)學(xué)中考的第27題，它推陳出新，舍棄了完全以動(dòng)點(diǎn)為背景的數(shù)學(xué)綜合題，而是以向長方體容器中注水的水位變化問題替代.在此題中，繁瑣的過程說明讓學(xué)生望而卻步，仔細(xì)閱讀后發(fā)現(xiàn)，此題是披著注水問題外衣的追及問題，難度不大，但其指明了初中數(shù)學(xué)教學(xué)的育人方向.

1 試題呈現(xiàn)

2021年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)卷第27題：

如圖1，甲、乙都是高為6米的長方體容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH是矩形.如圖2，已知正方形ABCD與矩形EFGH滿足如下條件：正方形ABCD外切于一個(gè)半徑為5米的圓O，矩形EFGH內(nèi)接于這個(gè)圓O，EF=2EH.

（1）求容器甲、乙的容積分別為多少立方米？

（2）現(xiàn)在我們分別向容器甲、乙同時(shí)持續(xù)注水（注水前兩個(gè)容器是空的），一開始注水流量均為25立方米/小時(shí)，4小時(shí)后，把容器甲的注水流量增加a立方米/小時(shí)，同時(shí)保持容器乙的注水流量不變，繼續(xù)注水2小時(shí)后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小時(shí).同時(shí)容器乙的注水流量仍舊保持不變，直到兩個(gè)容器的水位高度相同，停止注水.在整個(gè)注水過程中，當(dāng)注水時(shí)間為t時(shí)，我們把容器甲的水位高度記為h甲，容器乙的水位高度記為h乙，設(shè)h乙-h甲=h，已知h（米）關(guān)于注水時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)圖象如圖3所示，其中MN平行于橫軸.根據(jù)圖中所給信息，解決下列問題：

①求a的值;

②求圖3中線段PN所在直線的解析式.

2 試題分析與思考

第一小問主要利用圓的相關(guān)知識(shí)及勾股定理求解.第二小問的含義是向兩個(gè)底不同的長方體容器中注水，對(duì)于容器乙而言，注水速度始終保持25立方米/小時(shí)不變，容器甲注水速度在前4個(gè)小時(shí)內(nèi)保持25立方米/小時(shí)，而后速度增加a立方米/小時(shí)，即以（25+a）立方米/小時(shí)的速度注水，使得兩容器液面高度差始終一致，2小時(shí)后，繼續(xù)加快注水速度至（75+a）立方米/小時(shí)，直至兩容器液面相平.

就第二小問求解而言，難度不大，只需要抓住題目的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，即：“兩容器液面高度差始終一致”和“兩容器液面相平”.對(duì)于“兩容器液面高度差始終一致”而言，就是一個(gè)巧妙的等量關(guān)系，學(xué)生可以在4到6小時(shí)內(nèi)，任意選取兩個(gè)時(shí)間來表示兩容器液面的高度差，建立一個(gè)一元一次方程，進(jìn)而得到a的值.而后“兩容器液面相平”更直白地呈現(xiàn)了一個(gè)等量關(guān)系，即點(diǎn)P橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間是甲、乙兩容器液面相等的時(shí)刻，進(jìn)而又可以得到一個(gè)一元一次方程，求解出點(diǎn)P的具體坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)N的坐標(biāo)，可以很快得出線段PN所在的直線解析式.

追本溯源，此題就是一類三維的追及問題.在初中階段，學(xué)生更多接觸到的是二維追及問題.但此題推陳出新，在二維追及問題的基礎(chǔ)上加入了一個(gè)定量，即不同的底面積，將問題向三維的視角下推進(jìn)，但究其本質(zhì)，這類問題的解決方式是異曲同工的.

其實(shí)該試題并非聚焦于知識(shí)的考察，而是更關(guān)注學(xué)生在問題解決中數(shù)學(xué)素養(yǎng)與能力的體現(xiàn).如：對(duì)于問題、圖象的理解與抽象就是最典型數(shù)學(xué)抽象能力的應(yīng)用;構(gòu)建高度差h與時(shí)間t的函數(shù)或者建立一元一次方程的過程就是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的體現(xiàn);還包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等素養(yǎng)的滲透.除了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，像數(shù)學(xué)閱讀能力、數(shù)形結(jié)合思想也都能在該問題的解決中展現(xiàn)出來.

3 試題求解

問題（1）求解：易得容器甲底面邊長為10米;容器乙底面長為45米，寬為25米.故容器甲的容積是600立方米，容器乙的容積是240立方米.

問題（2）求解：①當(dāng)t=4時(shí)，h=h乙-h甲=4×2540-4×25100=1.5，即M（4，1.5）.

又由于MN平行于橫軸，所以N（6，1.5）.

當(dāng)t=6時(shí)，h=6×2540-4×25+2（25+a）100=1.5，解得a=37.5.

②解法一：方程思想.

設(shè)經(jīng)過t1小時(shí)兩容器水位高度相同，可得25t140=25×4+62.5×2+112.5（t1-6）100，解得t1=9，即P（9，0）.

設(shè)線段PN所在直線的解析式為：h=kt+b.

將N（6，1.5）和P（9，0）代入h=kt+b，得到1.5=6k+b，0=9k+b.? 解得k=-12，b=92.

所以線段PN所在直線的解析式為：h=-12t+92.

解法二：“k”的實(shí)際意義.

設(shè)線段PN所在直線的解析式為：h=kt+b.

由題意：線段PN所在直線的解析式中k的實(shí)際含義是兩容器注水速度與其底面積比值之差，即k=2540-112.5100=-12.

因此，將N（6，1.5）代入h=-12t+b，得到1.5=-12×6+b，解得b=92.

所以線段PN所在直線的解析式為：h=-12t+92.

4 教學(xué)啟示

4.1 教學(xué)更應(yīng)指向?qū)W生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)一方面在于數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握，另一方面指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的習(xí)得與發(fā)展.在立德樹人為教育根本任務(wù)的大背景下，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)更是如今教學(xué)的重中之重.近年來，數(shù)學(xué)中考越來越關(guān)注學(xué)生素養(yǎng)的考察.正如此題中，對(duì)于問題的理解并抽象出容器甲、乙的注水速度與水位變化的數(shù)學(xué)關(guān)系是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的考察，如果學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力薄弱，根本不能提取出注水速度與水位的變化關(guān)系，那么更別去談求解此題.數(shù)學(xué)研究的對(duì)象就是源自于人類對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的抽象的東西，在此類基于現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)問題更注重?cái)?shù)學(xué)抽象能力的考察.此外，在此題中，像h與t函數(shù)的構(gòu)建、利用方程求解a的值，都是考察學(xué)生能否提煉出問題中的等量關(guān)系并用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程來表示，即數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).在數(shù)學(xué)模型的求解中，也涉及到數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的考察.綜上所述，中考試題對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考察是綜合性的，滲透于解題的各個(gè)環(huán)節(jié)之中.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)任重道遠(yuǎn)，需要教師抓住契機(jī)、巧妙滲透、潛移默化.以數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)為例，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的“靈魂”，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn).數(shù)學(xué)概念在歷史的長河中沉淀，大多都擁有著豐富的歷史底蘊(yùn)，其產(chǎn)生大多是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果.教師在概念教學(xué)的過程中，必然會(huì)引導(dǎo)學(xué)生觀察具體實(shí)物，提取本質(zhì)屬性，抽象獲得概念，因此概念的教學(xué)是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的“溫床”.在初中階段，學(xué)生認(rèn)知水平不高，所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容相對(duì)淺顯，對(duì)于數(shù)學(xué)內(nèi)容的表述大多停留于生活語言，而未上升至符號(hào)語言.所以，在初中階段存在的數(shù)學(xué)抽象大多是淺層次的，多數(shù)停留于半符號(hào)化階段.對(duì)此教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)，積極抓住適合培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的數(shù)學(xué)概念，在概念的形成中體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的過程，滲透數(shù)學(xué)抽象的方法，并在課后練習(xí)和綜合實(shí)踐活動(dòng)中鞏固與運(yùn)用，多形式地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.

4.2 重視綜合實(shí)踐活動(dòng)的價(jià)值

“綜合與實(shí)踐”作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一大特色與“數(shù)與代數(shù)”等并列為數(shù)學(xué)四大課程內(nèi)容.“綜合與實(shí)踐”是以問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的數(shù)學(xué)活動(dòng)[1].該內(nèi)容強(qiáng)調(diào)綜合性與實(shí)踐性，綜合性是指所研究問題廣泛、包含的數(shù)學(xué)知識(shí)全面、涉及的學(xué)科多樣、學(xué)生的素質(zhì)綜合提升;實(shí)踐性強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教師的引導(dǎo)下主動(dòng)參與，體現(xiàn)“過程”.“綜合與實(shí)踐”是學(xué)生主動(dòng)思考、積極探究、討論合作、實(shí)踐操作的重要平臺(tái)，也是創(chuàng)新精神與應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)的重要載體.不妨深入思考該題，不難發(fā)現(xiàn)，此題的本質(zhì)即為三維的追及問題.以此題為背景的九年級(jí)綜合實(shí)踐活動(dòng)可以從二維追及問題出發(fā)，呈現(xiàn)如下的問題1，讓學(xué)生在熟悉的動(dòng)點(diǎn)問題中探索函數(shù)解析式與具體問題之間的關(guān)系，為上述中考題的探究求解鋪墊.

問題1：如圖4，射線OM上有一點(diǎn)A，滿足OA=20cm，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)O和點(diǎn)A出發(fā)，沿OM方向，一開始均以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，4秒后，點(diǎn)P的速度增大acm/s，同時(shí)點(diǎn)Q速度不變，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)2秒后，再次將點(diǎn)P的速度增大3cm/s，同時(shí)點(diǎn)Q速度不變，直到兩點(diǎn)相遇，運(yùn)動(dòng)停止.在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，我們點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離記為s1，點(diǎn)Q到點(diǎn)O的距離記為s2，設(shè)s2-s1=s.根據(jù)所給信息，解決下列問題：

（1）若a=1.5，嘗試?yán)L制出s（cm）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象.

（2）若s（cm）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖5所示，求a的值和線段EF所在直線的解析式.

思考：觀察線段DE和線段EF所在直線的解析式，兩條直線的“k”有什么實(shí)際含義？

問題1的第一小問旨在引導(dǎo)學(xué)生去讀題、提取關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，進(jìn)而讓學(xué)生在繪制出函數(shù)圖象的過程中，理解圖象上各個(gè)點(diǎn)的具體含義，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗(yàn)，也為第二小問提供解題思路.在學(xué)生自主探究完問題1后，教師可以給出問題2——2021年蘇州數(shù)學(xué)中考第27題，逐步引導(dǎo)學(xué)生從二維向三維飛躍.在問題2的解決中，教師可以指出兩個(gè)問題之間的聯(lián)系，并讓學(xué)生思考圖象中一次函數(shù)的“k”的具體含義，兩個(gè)問題中的“k”之間的差異在哪？學(xué)生通過對(duì)兩個(gè)問題的比較與分析，透過現(xiàn)象直擊問題本質(zhì)，充分理解問題的內(nèi)涵.

隨后，教師可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生思考：如果將正方體的容器換為其他立體圖形，如：圓柱、三棱錐等，水位高度的變化、注水速度與注水時(shí)間之間存在什么關(guān)系呢？如圖6所示，以正三棱錐OABC為例，已知其高為H米，△ABC的面積為S，注水速度為a立方米/秒，注水時(shí)間為t秒，水位高度記為h米，則可以得到h=H-3H3-3atH2S，

圖6若將正三棱錐OABC倒置，則可以得到h=33atH2S.雖然在三棱錐等錐形的幾何圖形中，水位高度會(huì)出現(xiàn)三次根號(hào)，不適合在考試中呈現(xiàn)，但是學(xué)生在探究的過程中，其數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到了提升，也為今后高中的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4.3 擊破“畏難”心理，培養(yǎng)數(shù)學(xué)閱讀能力

數(shù)學(xué)閱讀能力是指學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)化的分析，從數(shù)學(xué)材料提取數(shù)學(xué)信息，形成自我的數(shù)學(xué)觀點(diǎn).數(shù)學(xué)閱讀是一種內(nèi)在的心理過程，需要經(jīng)歷提取信息、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)表達(dá)三個(gè)階段[2].對(duì)學(xué)生而言，題目越簡潔，越敢于去嘗試.但面對(duì)像該題數(shù)行的過程說明，以及考試限時(shí)的大環(huán)境下，學(xué)生難免會(huì)出現(xiàn)“畏難”心理，將題目的長短與問題的難易聯(lián)系起來，形成刻板印象，進(jìn)而部分學(xué)生連題目都不愿意去閱讀.同時(shí)也有部分同學(xué)雖閱讀了題目，但其完全沒有理解題目的含義，究其原因，一方面，可能是學(xué)生自身的數(shù)學(xué)知識(shí)水平還未達(dá)標(biāo)，另一方面，可能歸咎于數(shù)學(xué)閱讀能力的薄弱，無法提取關(guān)鍵信息服務(wù)于問題的解決.

因此，在日常教學(xué)中，教師首先要打破學(xué)生的刻板印象，將其頭腦中“怕麻煩”“不想做”等惰性思維扼殺，讓學(xué)生形成不畏難、不退縮、不妥協(xié)的學(xué)習(xí)品質(zhì)，在遇到諸如此類題目時(shí)，不怕困難，敢于去讀題嘗試.而后，教師應(yīng)該教會(huì)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀的方法，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，能夠完全提取出題目中所給的有效條件，并在完備的知識(shí)體系下，快速地挖掘出各個(gè)條件所帶來利于解題的新條件.教師在問題的分析中，應(yīng)多讓學(xué)生思考“題目中有什么條件”“這些條件能得到什么新條件”“新舊條件中有哪些是利于解題的”等問題，促使學(xué)生在會(huì)解題的基礎(chǔ)上，促進(jìn)理解題目的內(nèi)涵、形成自己的解題方法、獲得自身能力與素養(yǎng)的全面發(fā)展.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：5.

[2]孫俊勇.談數(shù)學(xué)閱讀[J].基礎(chǔ)教育課程，2020（2）：42-46.

作者簡介

黃賢明（1999—），男，江蘇蘇州人，中學(xué)二級(jí)教師，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.