錢秦 汪曉勤

【摘 要】 選取1800—1959年間出版的103本英美早期幾何教科書，研究發(fā)現(xiàn)教科書中關于等腰三角形性質——“等邊對等角”的證明方法共有六種，即歐幾里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方法、萊斯利的方法、作高法和實驗操作法.而關于等腰三角形判定定理——“等角對等邊”的證明方法共有七種，即歐幾里得的反證法、想象有兩個三角形、大邊對大角、作頂角角平分線、作底邊的高、做底角的角平分線和實驗操作法.早期教科書中的等腰三角形知識，為今日教學提供了豐富素材.

【關鍵詞】 等腰三角形;等邊對等角;等角對等邊;美英早期教科書

1 引言

在平面幾何中，三角形的“等邊對等角”“大邊對大角”“等角對等邊”“大角對大邊”是對三角形邊角關系的定性刻畫，是三角學中邊角定量關系的基礎.在西方數(shù)學史上，《幾何原本》卷一命題5（等腰三角形底角相等）是一個著名的幾何定理，被稱為“驢橋定理”，既因為歐幾里得在證明該定理時所用的圖形像一座簡單的桁架橋，也因為它阻擋了許多中世紀的學習者進一步學習《幾何原本》后續(xù)命題的腳步.

關于等腰三角形的性質和判定，我國現(xiàn)行五種初中數(shù)學教材（人教版、北師大版、滬教版、浙教版及蘇教版）的內容安排大同小異.在引入上，五種教材均設計了折紙活動;在“等邊對等角”的證明上，人教版和北師大版教材通過作底邊的中線，利用SSS定理加以論證，而滬教版和浙教版教材通過作頂角的平分線，利用SAS進行說理，而蘇教版教材除折紙驗證外，并未給出具體的說理過程.關于“三線合一”性質，浙教版教材設計了以“幾何畫板”為工具的探究活動，而另四種教材均通過“等邊對等角”加以說理.關于“等角對等邊”，北師大版教材僅僅作輔助線的提示而未給出完整的證明，其余四版教材均通過作頂角平分線，運用AAS定理進行說理[1-4].已有的教學設計大多從教材出發(fā)，通過剪紙、折疊引入新課，個別教師運用了數(shù)學史.

不難發(fā)現(xiàn)，關于等腰三角形的性質與判定，現(xiàn)行教科書傾向于作輔助線（中線、角平分線）來構造全等三角形，但這幾種方法的合理性受到人們的質疑.如，在《幾何原本》中，SSS定理（命題I.8）的證明用到了三角形的唯一性（命題I.7），而三角形唯一性的證明又需要用到“等邊對等角”（命題I.5），這就使得涉及SSS定理的證明具有循環(huán)論證之嫌.而角平分線（命題I.9）的存在性又要用到SSS定理，使得作角平分線的合理性也得不到保證[1].鑒于此，我們聚焦等腰三角形性質與判定，對19世紀初至20世紀中葉的美、英幾何教科書進行考察，試圖回答以下問題：關于等腰三角形的性質與判定，早期幾何教科書中采用了哪些證明方法？證明方法有何演變規(guī)律？對今日課堂教學有何啟示？

2 教科書的選取

本文從有關數(shù)據(jù)庫中選取1800—1959年間出版的103種美英早期平面幾何教科書作為研究對象，其中85種出版于美國，18種出版于英國.在選取的過程中，對于同一作者再版的書籍，若相關內容無明顯差異，則視為同一種;若內容有明顯差異，則視為不同的教科書.以20年為一個時間段，各教科書的分布情況如圖1所示.

早期幾何教科書的章節(jié)劃分不像今天一般細致清晰，有的教科書甚至未劃分章節(jié)，直接以一個個命題的形式呈現(xiàn).103種幾何教科書中，等腰三角形主題所在章節(jié)主要有“命題”“直線形”“三角形”“等腰三角形”“線、角與直線圖形”“全等三角形”等.表1為具體分布情況.我們也發(fā)現(xiàn)，無論章節(jié)名如何，本節(jié)內容在各教材中所處的位置都比較靠前.由此可以說明，等腰三角形的性質與判定是平面幾何的一個基礎內容.

等腰三角形的性質主要有“等邊對等角”和“三線合一”，但大部分教材中，“三線合一”并未給出論證，而是將其作為“等邊對等角”的推論直接給出.判斷一個三角形是否為等腰三角形時，可以根據(jù)定義，也可通過“等邊對等角”來判斷.因此，本文將從“等邊對等角”和“等角對等邊”兩個角度梳理早期教科書中的證明方法.

3 “等邊對等角”的證明

考察發(fā)現(xiàn)，在103種教科書中，有2種只提示學生作輔助線，通過三角形全等進行證明，但未給出完整的證明過程;101種教科書給出了完整的證明，證明方法大致可分為6類：歐幾里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方法、萊斯利的方法、作高法、實驗操作法.

3.1 歐幾里得的方法

歐幾里得的偉大貢獻在于公理化體系的建立，其《幾何原本》從給定的少數(shù)公理、公設及定義出發(fā)，用邏輯推論方法推導了四百多個命題[2].“等邊對等角”作為《幾何原本》第一卷命題5，其證明過程嚴格遵循公理化體系，只用到了命題5之前的公設、公理及命題.

有10種教科書沿用了歐幾里得的證明.如圖1，在等腰△ABC中，CA=CB.在兩腰CA和CB的延長線上取兩點D，E，使得AD=BE，并連接AE和BD，則CD=CE.由SAS定理，可證△CAE≌△CBD，故有∠CAE=∠CBD;再由SAS定理，可證△BAE≌△ABD，故有∠EAB=∠DBA.根據(jù)“等量減等量，差相等”，得∠CAB=∠CBA[3].

3.2 帕普斯的方法

11種教科書采用了古希臘數(shù)學家帕普斯（Pappus，公元3世紀末）的方法：將等腰三角形△CAB和△CBA看作兩個三角形，然后用SAS證明△CAB≌△CBA.

也許有人會認為，把一個三角形看作兩個三角形，對學生來說較為抽象，于是把另一個三角形“外化”出來了.如圖2，已知等腰△ABC，CA=CB.想象△ABC被拿起、翻轉后放下，記作△A′B′C′（A′，B′，C′分別對應A，B，C）.那么，AC=A′C′=BC=B′C′，則在△ABC和△A′B′C′中，AC=B′C′，BC=A′C′，且∠C=∠C′.根據(jù)SAS定理有△ABC≌△B′A′C′，則∠A=∠B′，又因為∠B=∠B′，等量代換得∠A=∠B[4].

3.3 勒讓德的方法

法國數(shù)學家勒讓德（A. M. Legendre，1752—1833）通過作底邊中線的方法來構造全等三角形，從而得到“等邊對等角”.有4種教科書采用他的方法.如圖3，在等腰△ABC中，CA=CB.過點C作底邊AB的中線CD.由SSS定理可證△CAD≌△CBD，則∠A=∠B[5].

3.4 萊斯利的方法

蘇格蘭數(shù)學家萊斯利（J. Leslie， 1766—1832）的方法有69種教科書采用.如圖4，在等腰△ABC中，CA=CB.過頂點C作∠BCA的角平分線，交AB于點D.根據(jù)定理SAS可證△ACD≌△BCD，故得∠A=∠B[6].

3.5 作高法

4種教科書采用作高法.給定CA和CB為等腰△ABC中相等的兩邊，作CD⊥AB交AB于點D，如圖5.在Rt△CAD和Rt△CBD中，CA=CB，CD=CD，根據(jù)HL定理，可證△CAD≌△CBD，所以∠A=∠B[7].

3.6 實驗操作法

有5種教科書采用了實驗操作（折疊）.如圖6所示，通過尺規(guī)作圖構造一個等腰△CAB，小心地將三角形從紙上剪下.沿底邊AB的中線將三角形折疊，并比較∠CAB和∠CBA的大小.接著再構造不同尺寸的等腰三角形，同樣比較兩個底角的大小.我們觀察到，等腰三角形的底角是相等的[8].

3.7 證明方法的演變

19世紀初至20世紀中期，早期教科書中呈現(xiàn)了豐富的方法來解決這個問題.以20年為一個時間段，圖7給出了“等邊對等角”的六種證明方法在每個時間段的分布.

由圖7可見，在考察的整段時間，教科書用來說明“等邊對等角”的方法呈現(xiàn)多元化的特點，但始終以萊斯利的作角平分線方法為主流.歐幾里得延長兩腰的做法，由于其嚴密的邏輯及在幾何上的獨特地位，使它在兩千多年后的教科書中仍占有一席之地.帕普斯的方法，巧妙地將三角形對應的部分重合，在歷史上流行了很長一段時間.但隨著更簡便的作輔助線（角平分線、底邊中線及高）證明三角形全等的方法出現(xiàn)，歐幾里得和帕普斯的方法逐漸淡出了歷史舞臺.到了20世紀，實驗幾何開始受到人們的重視，一些教科書相應設計了折紙的實驗操作來豐富學生的直觀體驗.

那么，是否如引言中提到的質疑一樣，一些證法存在著邏輯上的漏洞呢？今天，人們對“等邊對等角”某些證法的質疑主要依據(jù)的是《幾何原本》的體系.然而，本文所考察的美英早期幾何教科書采用了不同的邏輯體系，不同的邏輯體系就造成了知識點編排順序的差異.勒讓德在《幾何基礎》中采用了圖8所示的命題順序[5]，SSS定理并未建立在等腰三角形性質之上，他通過作底邊中線來證明“等邊對等角”，是完全合理的.萊斯利則采用了圖9所示的命題順序[6]，其通過作角平分線證明“等邊對等角”，也是嚴謹?shù)?

4 “等角對等邊”的證明

“等角對等邊”，即如果三角形中有兩個角相等，那么其對邊相等，這個三角形為一個等腰三角形.83種教科書給出了完整的證明，證明方法大致可分為以下7種.

4.1 歐幾里得的反證法

23種教科書沿用了歐幾里得的反證法.如圖10，令∠CAB=∠CBA.假設對邊AC比另一邊BC要長，令AD=BC，那么△DBA明顯要比△ABC小.但因為CB與BA及其夾角∠CBA等于DA與AB其夾角∠DAB，故知△DAB≌△CAB，這是不可能的（大小不同的三角形不全等）.因此，AC不能比BC長.類似可證明BC不能比AC長，所以BC=AC[9].

4.2 想象有兩個三角形

11種教材采用“想象兩個三角形”的方法.如圖11，給定△ABC，其中∠A=∠B.假設△A′B′C′是△ABC的一個復制品，將△A′B′C′翻轉后放在△ABC上，那么B′將落在A上，A′將落在B點，則B′A′與AB重合.因為∠A′=∠B′，∠A=∠A′，等量代換得∠A=∠B′，所以B′C′將與AC重合.類似地，A′C′將與BC重合.因此，C′將同時落在AC和BC上，即C′落在它們的交點C上.所以，B′C′=AC.又有B′C′=BC，則AC=BC[10].

4.3 大邊對大角

6種教科書先證明“大邊對大角”，再由此說明“等邊對等角”.如圖12，給定△ABC，其中∠A=∠B，以下三個命題中必有一個是正確的：（1）a=b，（2）ab.但a>b不可能為真，因為如果它成立，根據(jù)三角形中“大角對大邊”的定理，有∠A>∠B，與已知矛盾.同樣地，a

4.4 作底邊上的高

27種教材采用作底邊的高的方法.如圖13，給定△ABC，其中∠A=∠B.作CD⊥AB，那么在兩個直角△CAD和△CBD中∠A=∠B，所以∠ACD=∠BCD.因此，△CAD和△CBD中有兩個角及其夾邊CD對應相等，由ASA定理知△CAD≌△CBD，則AC=BC[12].

4.5 作頂角的平分線

11種教科書中采用作頂角平分線的方法.如圖13，在△ABC中∠A=∠B.作∠ACB的平分線CD，易證△CAD≌△CBD，故AC=BC[13].

4.6 作底角的平分線

有2種教科書采用作底角角平分線的方法.如圖14，給定△ABC，其中∠ABC=∠BAC.作BD平分∠ABC，AE平分∠BAC，由ASA定理知△DBA≌△EAB，從而∠BDA=∠AEB，所以∠CDB=∠CEA，且BD=AE，又∠C=∠C，故△ACE≌△BCD，故得AC=BC[14].

4.7 實驗操作法

3種教科書采用剪紙、折疊的方式來驗證“等角對等邊”，證明過程與“等邊對等角”的類似，這里不再贅述.

4.8 證明方法的演變

圖15給出了“等角對等邊”的各種證明在各時間段的分布情況.

由此可見，19世紀80年代之前“歐幾里得的反證法”占有絕對優(yōu)勢，而后“作底邊的高證三角形全等”成為使用頻率最高的方法.歐幾里得的方法十分經典，只用到SAS定理，一度受到人們的青睞.但作底邊的高后無需分類討論，能通過一次三角形全等解決問題，相比之下證明過程更加簡便.“大邊對大角”“實驗操作”“想象有兩個三角形”和“作頂角的角平分線”等，都只是在少數(shù)幾個時間段內零星出現(xiàn)的方法.

奇怪的是，20世紀40年代涌現(xiàn)了一種新的方法，即“作底角的角平分線”證兩次三角形全等，從證明過程來看，該方法不如前面的大部分方法簡便，但它卻被20世紀40年代的教科書所采用.這看似較為復雜的證法，恰恰體現(xiàn)了數(shù)學家們不懈探究、追求創(chuàng)新的精神.

5 結論與啟示

“等邊對等角”與“等角對等邊”是歷史悠久的兩個命題，在兩千多年的歷史長河中，涌現(xiàn)了許多優(yōu)秀的證明方法.這些證明方法相繼出現(xiàn)于本文所考察的103種早期幾何教科書中.遺憾的是，我們在今天的教科書中卻幾乎看不見它們的蹤影.美英早期幾何教科書中的證法各有特色，關于“等邊對等角”的證明，“萊斯利的方法”在各教科書中占絕對優(yōu)勢.而關于“等角對等邊”的證明，“歐幾里得的反證法”在相當長的時期內都是主流方法，但到了19世紀80年代以后，“作底邊上的高”后來居上，而歐氏方法逐漸退出了歷史舞臺.

美英早期幾何教科書為HPM視角的等腰三角形教學提供了一定的啟示.

（1）營造探究之樂.本節(jié)內容可采用探究式學習的模式，設計不同大小等腰三角形的折紙活動，引導學生歸納出等腰三角形的性質.通過體驗性極強的折紙活動，學生能提高學習興趣，讓數(shù)學課堂活起來.接下來，教師則可以利用幾何畫板等現(xiàn)代工具對學生的猜想加以檢驗.在定理的證明上，先由學生自主探究其證明方法，再由教師進行講授，使學生充分參與到課堂中來.

（2）彰顯方法之美.無論是“等邊對等角”還是“等角對等邊”，早期教科書都呈現(xiàn)了豐富的證明方法.這些來自不同時空的靈活、多樣的方法，能夠拓寬學生的視野.教科書上呈現(xiàn)的一兩種推導方法是遠遠不夠的，教師應該對歷史上的多種證明方法進行介紹.而且，數(shù)學知識畢業(yè)后不用就很快遺忘了，但排除法、反證法等思想對學生來說卻是受益終身的.因此，教學不能僅局限于證明過程本身，更重要的是讓學生掌握證明背后蘊含的思想方法.

（3）實現(xiàn)能力之助.“等邊對等角”與“等角對等邊”互為逆命題，要判斷這兩個命題的真假必須分別對其進行嚴格的證明，這對于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力有著極大的幫助.同時，課堂上安排折紙的實驗操作，也有利于學生直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展.

（4）達成德育之效.一方面，教學過程中可以講述“驢橋”的故事，告訴同學們中世紀時期人們學習幾何也同樣會遇到挫折，讓學生們得到安慰，使數(shù)學變得不那么可怕.另一方面，通過折紙活動感知“等邊對等角”后進一步說明論證的安排，使學生明白數(shù)學是一門嚴密的學科，任何內容的學習不能僅停留在直觀.數(shù)學家們不懈探究、追求創(chuàng)新的治學態(tài)度，在早期幾何教科書對等腰三角形性質與判定定理的證明中體現(xiàn)得淋漓盡致.相信學生們通過本節(jié)內容的學習，能夠樹立正確的數(shù)學觀，培養(yǎng)理性精神.

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作者簡介 錢秦（1999—），女，重慶人，華東師范大學教師教育學院碩士研究生，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究.汪曉勤（1966—），男，浙江衢州人，教授，華東師范大學教師教育學院博士生導師，主要從事數(shù)學史與數(shù)學教育研究.