考慮偏載嚙合的齒輪系統(tǒng)接觸分析及其嚙合剛度求解

許月強，張 昊

考慮偏載嚙合的齒輪系統(tǒng)接觸分析及其嚙合剛度求解

許月強，張 昊

（遼寧工業(yè)大學(xué) 機械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001）

齒輪運轉(zhuǎn)過程中發(fā)生偏載是引起齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)異常振動的原因之一，有限元法能夠較為準確地模擬齒輪偏載嚙合過程，進而通過接觸面應(yīng)力狀態(tài)分析其偏載帶來的影響。為了研究偏載對于齒輪嚙合接觸力及其齒輪嚙合剛度的影響，基于SolidWorks參數(shù)曲線方程建模，聯(lián)合運用Hypermesh和AnsysWorkbench對模型有限元仿真，得到了不同偏載角度下嚙合齒輪接觸面應(yīng)力分布及其時變嚙合剛度變化曲線。結(jié)果表明，齒輪偏載作用下，接觸形態(tài)隨偏載角度加大更多地偏向于角接觸，接觸面積逐步減小；接觸應(yīng)力集中，接觸應(yīng)力最大值與均值在不同偏載狀態(tài)下數(shù)值不同，整體逐漸增大；實際嚙合剛度與理論嚙合剛度曲線基本吻合，有限元法更貼合實際；接觸剛度隨偏載角度增加，整體剛度曲線升高。

齒輪偏載；有限元仿真；接觸應(yīng)力；時變嚙合剛度

齒輪偏載表現(xiàn)為直接改變齒輪接觸狀態(tài)，接觸狀態(tài)變化進而導(dǎo)致齒輪工作性能的改變。在實際嚙合過程中，總會存在因安裝誤差或運轉(zhuǎn)失配等導(dǎo)致的齒輪嚙合偏載。時變嚙合剛度是研究齒輪接觸區(qū)域應(yīng)力變化必不可少的內(nèi)部參數(shù)激勵之一，是齒輪動力學(xué)研究的理論基礎(chǔ)。因此研究齒輪偏載下齒輪傳動動力學(xué)響應(yīng)及其時變嚙合剛度求解，對于轉(zhuǎn)子機械具有很強的工程實際意義。

關(guān)于齒輪接觸狀態(tài)分析和時變嚙合剛度求解，國內(nèi)外許多學(xué)者或基于彈性材料力學(xué)、或基于有限元法對其進行了大量研究。如Lias等[1]研究了齒面接觸偏差下嚙合力變化曲線，接觸面積狀態(tài)變化，提出接觸偏差越大應(yīng)力越大，接觸面積呈現(xiàn)“筍形”分布。Jiang等[2]建立了8自由度的嚙合失配齒缺陷螺旋齒輪副模型，通過對不同摩擦系數(shù)模型和嚙合副失配的螺旋齒輪副實例的仿真，得到了嚙合剛度沿接觸線的變化規(guī)律，提出了一種改進計算時變摩擦力和動態(tài)嚙合力的計算方法。Hassan[3]在其最近的研究中使用疊加模態(tài)法對三段齒輪齒的二維有限元模型進行了仿真分析，推導(dǎo)計算了直齒圓柱齒輪的瞬態(tài)應(yīng)力，利用Lanczos提出的塊體固有頻率模型確定了齒根處的應(yīng)力分布。Saxena等[4]運用勢能法，開發(fā)了一種研究軸向偏差和滑動摩擦對齒輪時變嚙合剛度影響的有限元仿真程序，探究考慮滑動摩擦的正齒輪嚙合失配運動特性。何育民等[5-6]采用準靜態(tài)法求解了齒輪嚙合剛度，同時還研究了不同重合度對齒輪綜合嚙合剛度影響，揭示了理論嚙合剛度與實際嚙合剛度不同步現(xiàn)象。李添翼等[7]通過有限元仿真和試驗臺實驗對比，求解齒輪嚙合剛度，對比得出有限元法模擬是最貼近真實工況的方法。白恩軍等[8]基于有限差分法，分析研究了齒輪軸變形下一對斜齒輪傳動系統(tǒng)接觸特性，觀察其載荷分布情況。王濤等[9]提出一種動態(tài)嚙合剛度計算方法，給出了轉(zhuǎn)速對于動態(tài)嚙合剛度影響，轉(zhuǎn)速不同，動態(tài)嚙合剛度不同。蔣建政等[10]提出3種不同嚙合剛度直齒圓柱齒輪計算模型，研究了3種模型在高速、低速2種工況下的嚙合力和傳遞誤差動態(tài)變化規(guī)律。

本文針對多點嚙合轉(zhuǎn)子實驗平臺齒輪系統(tǒng)，基于參數(shù)曲線方程建立一對不同偏載角度下的直齒圓柱齒輪嚙合模型，采用Hypermesh劃分網(wǎng)格，通過ANSYS workbench接口導(dǎo)入分好的網(wǎng)格進行靜態(tài)動力學(xué)計算，得到其嚙合接觸應(yīng)力沿齒寬方向的分布狀態(tài)以及動態(tài)嚙合剛度曲線，以此來分析齒輪偏載作用對齒面嚙合接觸應(yīng)力和時變嚙合剛度曲線的影響。

1 齒輪偏載動力學(xué)建模

1.1 參數(shù)化建模

模型選取實驗用多點嚙合齒輪軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)多物理場監(jiān)測平臺的一對輸入齒輪和輸出齒輪，基于實驗相似原理，按比例建立的實體單元模型。借助Solidworks參數(shù)曲線方程建模工具，建立裝配了不同軸向偏載角度下精確的直齒嚙合齒輪副三維有限元模型，齒輪相關(guān)具體參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪副參數(shù)

齒輪副主動輪從動輪 模數(shù)1010 齒數(shù)3026 壓力角2020 齒寬3030 軸孔直徑4040 變位系數(shù)0 中心距280 重合度1.7423

參數(shù)曲線方程為：

式中：r表示基圓半徑，∈[0，π/2]。

圖1 軸向偏載三維建模

1.2 網(wǎng)格劃分

Hypermesh網(wǎng)格劃分，基于2D網(wǎng)格到3D網(wǎng)格映射的方法，其中2D網(wǎng)格單元采用2∶1型網(wǎng)格過渡，單元采用六面體單元，單元尺寸0.5 mm。最終生成全局網(wǎng)格如圖2(a)所示，模型共劃分150 592單元，165 378節(jié)點。為保證齒面接觸精度和求解精度，減少仿真計算時間，將齒輪分為輪轂部分和輪齒部分兩部分，輪轂部分采用疏化劃分，輪齒部分局部網(wǎng)格加密。輪齒加密網(wǎng)格如圖2(b)所示。

圖2 網(wǎng)格劃分

1.3 有限元求解

首先，將齒輪副網(wǎng)格模型通過Workbench的Finite Element Modeler有限元網(wǎng)格模塊導(dǎo)入，再次，建立靜力學(xué)模塊，使之兩者Model模塊模型互聯(lián)共享。在工程屬性模塊下，賦予齒輪副材料屬性，材料類型見表2所示。

表2 材料類型

材料密度/(kg·m-3)彈性模量/GPa泊松比μ Steel78502×10110.3

在主動輪軸心處添加大小為電機額定輸出轉(zhuǎn)矩的扭矩=70 N·m，從動輪軸孔處施加固定約束。約束定義與載荷加載如圖3所示。

圖3 約束與載荷

2 齒輪嚙合接觸應(yīng)力分析

齒輪嚙合時，輪齒間嚙合接觸力，沿主動輪和從動輪間的嚙合線傳遞[12]。如圖4所示，垂直于嚙合接觸面的力F存在兩個分力，即切向分力F和徑向分力F。

圖4 嚙合接觸力

從圖4中可知：

定義局部坐標系，齒輪軸線方向為坐標系的Y軸，齒輪徑向為坐標系的X軸。仿真結(jié)束后提取嚙合接觸面區(qū)域，實際參與嚙合的節(jié)點應(yīng)力值及其位移，繪制了非偏載和偏載狀況下接觸應(yīng)力t沿齒寬

方向隨位移變化等高曲線，如圖5所示。

圖5 接觸應(yīng)力-位移變化

由圖5可見：應(yīng)力沿齒寬方向（Y方向）和齒輪徑向（X方向）分布情況，以及各偏載角度下實際接觸面積分布變化。隨著偏載角度增大，可見接觸應(yīng)力集中于角接觸點上，此時該點應(yīng)力值最大，最大值位置沿齒寬向齒端一側(cè)變動；接觸應(yīng)力在無偏載狀態(tài)下沿齒寬呈現(xiàn)均勻分布；在偏載狀態(tài)下，應(yīng)力分布不均勻，從開始嚙合時的兩齒輪角接觸點處應(yīng)力最大，向齒端邊緣逐漸減小，于齒端一側(cè)的齒腹邊緣處消失，并且偏載角度越大，齒寬方向應(yīng)力分布的長度越短；同時，圖中的colorbar顯示偏載作用下的應(yīng)力最大值比無偏載作用下的應(yīng)力最大值增大4倍左右。實際接觸面積的變化顯示：在無偏載狀態(tài)下，接觸形態(tài)沿齒寬呈現(xiàn)條形分布，偏載狀態(tài)下沿齒寬呈現(xiàn)近似“筍形”分布，并且接觸面積隨偏載角度增大而減小。此外，在每張偏載角度下的應(yīng)力-位移圖齒高方向兩側(cè)，均出現(xiàn)了微小的白色三角形區(qū)域，該區(qū)域在齒寬方向所呈現(xiàn)的最小銳角恰好等于各自的偏載角度。

嚙合等效應(yīng)力通?？捎媒佑|面法向載荷因子來反映，具體接觸區(qū)域的齒面和齒根處載荷因子計算公式如式(3)、式(4)所示。

提取齒根齒面等效應(yīng)力，根據(jù)式(3)、式(4)繪制了不同偏載角度下接觸載荷因子變化曲線如圖6所示。由圖6可見，不同偏載角度下的載荷因子，無論是齒面載荷因子值，還是齒根載荷因子值都明顯高于無偏載狀態(tài)相應(yīng)載荷因子值，且隨偏載角度的增大，齒面載荷因子值不斷增大，齒根載荷因子值趨勢增大。這反映了應(yīng)力均值隨偏載角度增大而增大，結(jié)果或?qū)⒓觿↓X輪嚙合運轉(zhuǎn)時異常振動，長時間運轉(zhuǎn)可能加快齒輪疲勞斷裂。

圖6 接觸載荷因子隨偏載角度變化曲線

圖7給出了有限元仿真結(jié)果拿到的實際嚙合接觸齒寬、嚙合面壓力最大值與偏載角度的關(guān)系。由圖7可見，隨偏載角度增大，實際接觸齒寬寬度'，在偏載0°～1.5°內(nèi)，由原來無偏載下的實際接觸齒寬30 mm減小到偏載1.5°后的17 mm；同時，隨著一定限制內(nèi)的偏載角度的逐漸加大，嚙合面上的接觸應(yīng)力最大值逐漸加大，具體數(shù)值由438.5 N增大到589.8 N。

3 動態(tài)嚙合剛度求解

3.1 動態(tài)嚙合剛度計算

有限元法將單齒嚙合剛度直接定義為輪齒嚙合線上發(fā)生單位撓度變形所需的載荷值[13]，如式(5)所示。

圖7 不同偏載接觸應(yīng)力沿齒寬分布

式中：F為齒面接觸力的法向分力，為單齒綜合彈性變形。

齒面接觸力可近似由電機扭矩和齒輪基圓半徑計算，如式(6)所示。

單齒綜合彈性變形，包括輪齒彎曲變形位移δ和局部赫茲接觸變形δ。多對輪齒參與嚙合時，出現(xiàn)單齒嚙合區(qū)和雙齒嚙合區(qū)交替變化，并在雙齒嚙合區(qū)發(fā)生剛度耦合效應(yīng)[14]，故一對嚙合齒輪的輪齒綜合彈性變形計算如式(7)所示。

綜上，有限元法下的齒輪時變綜合嚙合剛度計算如式（8）所示。

式中：為同時發(fā)生嚙合時最大嚙合齒數(shù)。

石川公式[15]將輪齒簡化為一個由梯形與矩形組成的懸臂梁，嚙合過程中，單齒所受的載荷引起的嚙合線方向綜合彈性變形量計算用式(9)表示。

式中：12為沿嚙合線方向的綜合彈性變形量，δ為矩形部分的彎曲變形量，δ為梯形部分的彎曲變形量，δ為剪切變形量，δ為基體傾斜變形量。

故石川法下的齒輪時變綜合嚙合剛度計算如式(10)所示。

3.2 時變嚙合剛度對比分析

提取嚙合節(jié)面上發(fā)生的位移，該位移為某時刻綜合接觸變形值，根據(jù)公式(5)～(10)，計算出有限元仿真下的不同偏載角度的嚙合剛度曲線。

如圖8所示為無偏載狀態(tài)下采用有限元法和石川公式法得到的嚙合剛度對比圖。由圖8可見：有限元法計算得到的剛度曲線的單齒嚙合區(qū)剛度值，高于相應(yīng)位置的由石川公式計算得到的剛度值；兩種方法所得的最大剛度值差別不大。

圖8 時變綜合嚙合剛度對比

將上述2種方法與ISO標準[16]作相對誤差比較，如表3所示。由表3可見，通過嚙合剛度對比及其誤差比較，發(fā)現(xiàn)有限元法所得到時變嚙合剛度平均值相比石川法所得結(jié)果的誤差更大，且誤差比較更加貼近ISO標準。

表3 嚙合剛度誤差比較

ISO有限元法石川公式法 時變嚙合剛度平均值5.9707e+08 N/m5.5295e+08 N/m5.1370e+08 N/m 與ISO標準相對誤差—7.39%13.96%

針對齒輪偏載，基于同樣的動態(tài)嚙合剛度計算提取方法，仿真得到不同偏載角度下的時變嚙合剛度曲線，如圖9所示。由圖9可見：隨著偏載角度的不斷增大，整體剛度曲線升高，同時出現(xiàn)單齒嚙合區(qū)寬度增寬，雙齒嚙合區(qū)寬度減小現(xiàn)象。對曲線進一步處理得到不同偏載角度下最小嚙合剛度、最大嚙合剛度和平均嚙合剛度，如表4所示。由表4可見，3種嚙合剛度值隨偏載角度增大，不斷增大。

圖9 不同偏載的時變嚙合剛度

表4 不同偏載下各嚙合剛度值比較

偏載角度/(°)最小嚙合剛度（N·m-1）最大嚙合剛度（N·m-1）平均嚙合剛度（N·m-1） 0°4.683e+86.306e+85.5295e+08 0.5°4.736e+86.431e+85.6603e+08 1.0°5.103e+86.589e+85.7497e+08 1.5°5.153e+86.958e+85.9828e+08

4 結(jié)論

(2)基于有限元法，利用ANSYS Workbench靜力學(xué)分析模塊，模擬仿真分析得到的齒輪嚙合剛度值更加貼近工況實際。

(3)通過對不同偏載角度下，齒輪嚙合時變嚙合剛度變化曲線分析得到，齒輪偏載會帶來時變綜合嚙合剛度值的增加，造成嚙合剛度曲線升高；同時，隨偏載角度的增加，出現(xiàn)單齒嚙合區(qū)域?qū)挾仍黾?，雙齒嚙合區(qū)寬度減小。

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Contact Analysis of Gear System Considering Mesh Misalignment and Its Meshing Rigidity Solution

XU Yue-qiang, ZHANG Hao

（College of Mechanical Engineering and Automation, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China）

Misalignment occurring during gear operation is one of the causes of abnormal vibration of gear rotor system. The finite element method can accurately simulate the meshing process of gear with misalignment, and then the influence of misalignment through the stress state of contact surface is analyzed. In order to study the influence of misalignment on the gear meshing contact force and gear meshing stiffness, this paper based on Solid Works parametric curve equation modeling, is combined with Hyper mesh and AnsysWorkbench to simulate the model by finite element method. The stress distribution of the contact surface of the meshing gear and the variation curve of the meshing stiffness under different misalignment angles were obtained. The results show that the contact morphology tends to angular contact more with the increase of misalignment Angle, and the contact area decreases gradually. The contact stress is concentrated, and the maximum value of the contact stress is different from the mean value under different misalignment conditions, and the whole contact stress increases gradually. The actual meshing stiffness curve is basically consistent with the theoretical meshing stiffness curve, and the finite element method is more consistent with the actual meshing stiffness curve. The overall stiffness curve increases with the increase of misalignment Angle.

gear misalignment; finite element simulation; contact stress; time-varying mesh stiffness

10.15916/j.issn1674-3261.2021.06.002

TH132.4

A

1674-3261(2021)06-0357-05

2021-01-17

國家自然科學(xué)基金項目(51705064)

許月強(1994-)，男，河北石家莊人，碩士生。

張 昊(1985-)，男，遼寧葫蘆島人，副教授，博士。

責(zé)任編輯：陳 明