王 軍

基于Fisher判別的接觸式輪廓儀自動標注分析

王 軍

（安徽財貿(mào)職業(yè)學院公共教學部，安徽 合肥 230601）

針對接觸式輪廓儀的自動標注問題，運用Fisher判別法、一元回歸分析等方法建立了被測工件在水平狀態(tài)和傾斜狀態(tài)下的輪廓線中槽口寬度、圓心間距離、斜線與直線夾角、圓半徑等參數(shù)值的數(shù)學模型，根據(jù)平面向量旋轉(zhuǎn)方法對傾斜狀態(tài)下被測工件輪廓線進行校對和修正，并利用配對T檢驗法分析2種測量狀態(tài)下被測工件各項參數(shù)計算值之間的差異，完成了不同測量狀態(tài)下接觸式輪廓儀自動標注分析的研究過程。

Fisher判別分析；配對T檢驗法；回歸分析；平面向量旋轉(zhuǎn)

接觸式輪廓儀是對物體的輪廓以及二維尺寸和位移進行測量的一種儀器，可以通過將測針從待測物體表面劃過的方法來獲取以普通方法難以獲得的精確參數(shù)，傳感器在被測物體表面做勻速滑行時，前端觸針可感受到物體表面的幾何變化，在X和Z方向分別進行采樣后經(jīng)過一系列處理轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號儲存在系統(tǒng)的存儲器中，測量結(jié)果具有可靠、穩(wěn)定、重復性好等特點。但因接觸式測量需直接與物體表面進行接觸，針尖會在被測工件表面留下劃痕，容易因接觸而造成針尖和工件原始形貌受到磨損，測量誤差必定存在。如何判斷、校正和修正不同狀態(tài)下被測工件測量參數(shù)以及比較不同狀態(tài)下被測工件各項參數(shù)值之間的差異性成了研究學者討論的問題。

為此黃富貴等[1]提出了工件邊緣輪廓參數(shù)的提取與精度評定方法；孫艷玲等[2]提出測量力的數(shù)學模型對接觸式表面輪廓測量儀測量力做了線性可控研究；孫艷玲等[3]分析了大量接觸式輪廓測量過程中非線性誤差產(chǎn)生的原因，運用多項式擬合誤差補償算法對接觸式表面輪廓測量儀的誤差做了分析與補償；尤越等[4]提出一種基于Matlab的非球面光學元件面形參數(shù)的新方法。這些方法更多傾向于測量方法的改進和測量數(shù)據(jù)的誤差分析與補償，為本研究提供了一定的理論方法支持，但如遇到不同狀態(tài)下工件海量數(shù)據(jù)處理和修正方法并未提及。

本文基于2020年全國大學生數(shù)學建模D題中給出的不同狀態(tài)下被測工件測量數(shù)據(jù)，利用Fisher判別和回歸分析，建立了計算被測工件輪廓線中槽口寬度、圓心間距離、斜線與直線夾角、圓半徑等參數(shù)值的數(shù)學模型，利用配對T檢驗法分析2種測量狀態(tài)下被測工件各項參數(shù)計算值之間的差異，并建立校正模型對其進一步地修正。

1 水平狀態(tài)下接觸式輪廓儀自動標注分析

1.1 數(shù)據(jù)預處理

為保證計算的準確性，結(jié)合水平狀態(tài)下被測工件的數(shù)據(jù)，進行數(shù)據(jù)清洗、噪音過濾，剔除異常數(shù)據(jù)和缺失性數(shù)據(jù)，最終以被測工件水平狀態(tài)下139 985條數(shù)據(jù)作為有效數(shù)據(jù)進行問題討論。

1.2 水平狀態(tài)下被測工件輪廓線中各項參數(shù)值的數(shù)學模型與求解

觀察被測工件在水平狀態(tài)下的輪廓線，該輪廓線由24個線段和圓弧構(gòu)成，為找到線段和圓弧的分界點，采取Fisher判別對水平狀態(tài)下被測工件的數(shù)據(jù)進行分類處理，以2類為例，設有A、B 2類觀察對象，令A={1,2,…,x}為A類的判斷指標，B={1,2,…,x}為B類的判斷指標，構(gòu)造線性組合：

Fisher判別為盡可能地分開樣本，使各類類間差異性盡可能大，同時類內(nèi)離散度盡可能小。為此設判別函數(shù)：

其中A、B分別為A、B 2類的樣本均值，A、B分別為A、B 2類的離散度矩陣，求出最優(yōu)投影方向：

在被測工件輪廓圖中各個線段和圓弧中間取部分數(shù)據(jù)，分別以此為訓練集，標為1，2，3，…，24組，在分界點的鄰域中的數(shù)據(jù)不取分組，利用Fisher判別判斷分界點的鄰域中數(shù)據(jù)的歸類，在Matlab軟件中編程求解，得到水平狀態(tài)下被測工件輪廓線中各分界點分布情況，見表1。

表1 水平狀態(tài)下被測工件輪廓線中各分界點分布表

序號XZ 146.595892371385-1.77086065 249.881439135836-2.066344119 350.5024262497722-3.765033665 451.9261487608082-3.813180337 552.5194021842234-2.131027001 657.7561856241473-2.13350831 758.2508282865925-3.969414726 859.0627722952317-3.990261059 959.6097363810847-2.187914377 1064.8647403414056-2.268426393 1165.3078362561049-3.93557546 1266.1533282865925-3.949917937 1366.6206612968921-2.316972668 1471.9781288645574-1.73421356 1576.7500221339145-0.787872156 1681.1616396809662-1.645686414 1784.8569115098883-1.878285278 1886.4270229349622-2.030265697 1987.7565452010095-1.552391698 2089.6644048852199-1.775289293 2194.9603541532444-2.628246141 22101.087906430329-2.693894637 23107.172045532044-0.980010892 24113.356269680811-0.894240548 25118.123985877831-1.786456207

根據(jù)被測工件分界點數(shù)據(jù)，將水平狀態(tài)下被測工件的數(shù)據(jù)進行拆分，分成24個子表，利用子表數(shù)據(jù)依次計算被測工件中的各項參數(shù)值。

為計算被測工件輪廓圖中斜線與水平直線之間的夾角以及水平直線的長度和槽口的寬度，選取24個子表中線段類的數(shù)據(jù)表，做一元線性回歸分析，得到13個線段所對應的直線方程，見表2。

表2 水平狀態(tài)下被測工件輪廓線中各線段的回歸方程表

序號回歸方程 1y=-1.434-0.07x 2y=134.782-2.743x 3y=-149.015+2.796x 4y=-1.900+0.02x 5y=212.917-3.723x 6y=-197.026+3.269x 7y=-1.727-0.01x 8y=240.061-3.736x 9y=-235.664+3.503x 10y=-2.445+0.100x 11y=-16.041+0.199x 12y=14.600-0.200x 13y=-2.420-0.180x

計算被測工件輪廓圖中2個線段的夾角和線段與水平直線的夾角時，利用表2中的回歸方程，例如設兩直線的回歸方程為：

把被測工件輪廓線的各項參數(shù)值標在水平狀態(tài)下被測工件輪廓圖中，見圖1。

表3 水平狀態(tài)下被測工件輪廓線中各項參數(shù)值分布表

參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值 x12.637963048x83.695271829r10.74391079c17.490733138∠2110.8255455 x25.23678344x91.329522266r20.16526132c26.900376865∠3103.8890537 x31.853550757x105.295949268r30.49282198c320.10204639∠4106.4361396 x45.25500396x116.127552277r40.99361252c42.924792039∠5105.5577963 x51.755920955x126.084139102r51.21045682c59.426842509∠6111.6430267 x65.357467568x136.184224149r64.00874159c612.24750131∠7171.4557633 x79.183510816z0.898814258r73.99345037∠1114.0342253∠8173.8940412

圖1 水平狀態(tài)下被測工件輪廓線中各項參數(shù)值分布圖

2 傾斜狀態(tài)下接觸式輪廓儀自動標注分析

2.1 傾斜狀態(tài)下被測工件輪廓線中各項參數(shù)值的求解

對傾斜狀態(tài)下被測工件數(shù)據(jù)進行處理，剔除無效數(shù)據(jù)和異常數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上計算該被測工件的傾斜角度和水平位移。對處理后的數(shù)據(jù)繪圖和水平狀態(tài)下測量的輪廓線相比較，比較水平狀態(tài)和傾斜狀態(tài)下被測工件的輪廓線，發(fā)現(xiàn)傾斜狀態(tài)下的輪廓線左端有一定的向上傾斜。

利用1.2中Fisher判別分析原理對傾斜狀態(tài)下被測工件數(shù)據(jù)進行各個線段和圓弧的分界點的處理，得到表4。

計算被測工件輪廓線的傾斜角度時，鑒于工件自身屬性，不考慮分界點中2點之間的數(shù)據(jù)，使用分界點的數(shù)據(jù)計算工件的傾斜角度，以2點為例，假設已知固定點(0,0)，再在2個工件中確定2個相對位置相同的點，分別設為(1,1)，(2,2)。將3個點分別相連，并計算出3條直線的長度：

表4 被測工件在傾斜狀態(tài)下的線段和圓弧的分界點統(tǒng)計表

序號XZ 148.78316600644051.403380125 252.26921603888960.949647859 352.8819850235423-1.721918776 453.7982450424055-2.0125782 555.14414787702080.53368709 660.1595809522166-0.473671481 760.4046236115269-2.312455991 861.0771158312883-2.983671385 962.1167635978751-0.473207064 1067.0100852131491-0.97688334 1167.4301879273466-3.362005744 1268.1112465329891-3.847416843 1369.1507675174781-1.322296007 1474.1162180177504-1.899586855 1579.1827265227793-1.570421495 1683.9525269257363-3.169843738 1787.0720414333876-3.716071109 1888.8432481227465-3.835922966 1989.8226362320414-3.907635848 2091.5370061277093-4.031136859 2196.61365107078224.991381133 22103.7096786537270-5.861271216 23108.7225209468370-6.374395626 24115.8119452639940-7.10620431 25119.6878441607650-7.865819837

計算被測工件在測量時的平移位移，通過計算被測工件在水平狀態(tài)和傾斜狀態(tài)下對應的相應分界點的水平距離差，并求出平均數(shù)作為水平移動的位移，得到傾斜狀態(tài)下被測工件向右平移了=1.9294104980141595。

2.2 傾斜狀態(tài)下測量工件參數(shù)值校正模型的建立與求解

即可求解出校正后點的坐標，利用Matlab軟件處理，將未校正被測工件所有點的數(shù)據(jù)代入計算后即可得出近似水平的結(jié)果，再利用1.2中的求解方法，計算出被測工件校正后輪廓線中各項參數(shù)值，具體指標數(shù)值見表5。

將被測工件校正后輪廓線中各項參數(shù)值標識在輪廓線上，見圖2。

表5 被測工件校正后輪廓線中各項參數(shù)值統(tǒng)計表

參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值參數(shù)指標數(shù)值 x12.904559199x83.16387859r10.73135887c19.45753671∠2110.2685124 x25.10338938x90.98046948r20.198664611c27.032228467∠3103.9874519 x31.940832011x105.15802552r30.410525473c319.97355677∠4107.5843571 x44.917442518x117.14896601r41.014522923c42.796983412∠5105.3485845 x52.167337829x125.03718485r51.022462746c59.54506568∠6109.3489557 x64.998449302x137.12463898r64.00828736c612.23622337∠7170.5948513 x714.91643697z0.91584585r74.024524599∠1110.1542648∠8169.8549852

圖2 被測工件校正后輪廓線中各項參數(shù)值分布圖

3 不同狀態(tài)下被測工件輪廓線中各項參數(shù)值差異性比較

針對水平狀態(tài)和傾斜狀態(tài)下被測工件輪廓線中的各項參數(shù)值，采用配對樣本T檢驗法比較2種測量狀態(tài)下各項參數(shù)計算值的差異，得到比較結(jié)果，見表6，依據(jù)分析結(jié)果認為校正后輪廓線的各項參數(shù)值和水平狀態(tài)的參數(shù)值有差異，但不明顯，所建立的校正模型不失有效性和科學性。

表6 2組數(shù)據(jù)配對樣本T檢驗結(jié)果

配對1平均值標準差標準誤差平均值95%的置信區(qū)間下限95%的置信區(qū)間上限T自由度顯著性 水平&校正0.93161.52960.25860.43230.6186360340.729

4 評價與推廣

針對接觸式輪廓儀的自動標注問題，使用了Fisher判別分析、一元線性回歸分析、Matlab軟件等對數(shù)據(jù)進行處理，得到了不同狀態(tài)下工件的輪廓圖各個部分參數(shù)值，利用平面向量旋轉(zhuǎn)方法對工件在傾斜狀態(tài)下的工件進行了校正，用配對T檢驗法比較了2種測量狀態(tài)下工件各項參數(shù)值的差異，檢驗了校正模型的有效性和科學性。在模型的改進中可以智能優(yōu)化算法，比如引入遺傳算法和粒子算法去優(yōu)化模型，這些情況都會影響模型的準確性，這也是所建模型的改進方向。

[1] 黃富貴, 蘇建平. 基于圖像測量技術(shù)的薄壁零件輪廓參數(shù)測量方法[J]. 工具技術(shù), 2006, 35(6): 61-63.

[2] 孫艷玲, 常素萍. 接觸式表面輪廓測量儀測量力線性可控的研究與實現(xiàn)[J]. 計量學報, 2014, 40(6A): 32-38.

[3] 孫艷玲, 梁煜恒, 常素萍. 接觸式表面輪廓測量儀的非線性誤差分析與補償[J]. 計量技術(shù), 2015(5): 10-13.

[4] 尤越, 王喬方, 字正華. 一種基于Matlab的非球面光學元件面形參數(shù)測試技術(shù)[J]. 紅外技術(shù), 2014, 36(4): 331-335.

Automatic Marking Analysis of Contact Profilometer Based on Fisher Discriminant

WANG Jun

（Department of Public Education, Anhui Finance & Trade Vocational College, Hefei 230601, China）

In view of the problem of automatic marking of contact profilometer, the mathematical models of notch width, distance between centers of circles, angle between oblique line and straight line, radius of circle and other parameters in the contour line of measured workpiece in horizontal and inclined state are established by using Fisher discriminant method and one variable regression analysis. The contour line of workpiece under inclined state is calibrated according to plane vector rotation method. In addition, the paired T-test method is used to analyze the difference between the calculated values of various parameters of the workpiece in the two measurement conditions, The research process of automatic annotation and analysis of contact profilometer in different measurement states is completed.

Fisher discriminant analysis; paired T-test; regression analysis; plane vector rotation

10.15916/j.issn1674-3261.2021.06.004

F724.2

A

1674-3261(2021)06-0368-05

2020-11-06

安徽高校自然科學研究項目(KJ2019A1203)；安徽高校自然科學研究項目(KJ2019A1205)；安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃項目(gxyq2020144)

王軍(1981-)，男，安徽淮北人，副教授，碩士。

責任編輯：孫 林