基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力新解

陳君君， 關(guān)曉迪， 魏歡歡，3， 朱勇鋒， 馬 迪，5

（1.河南省建筑設(shè)計研究院有限公司，鄭州 450014； 2.西安理工大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，西安 710048；3.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程學(xué)院，陜西咸陽 712100； 4.長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，西安 710048；5.西安交通工程學(xué)院土木工程學(xué)院，西安 710300）

長期以來豎井結(jié)構(gòu)被簡化為平面問題，大多數(shù)采用半經(jīng)驗(yàn)的方法進(jìn)行相關(guān)設(shè)計［1-4］. 然而豎井結(jié)構(gòu)往往具有空間效應(yīng)，豎井圍巖土壓力是支護(hù)設(shè)計中研究多年而未能很好解決的問題之一，因此應(yīng)用能合理反映巖土力學(xué)性狀的強(qiáng)度準(zhǔn)則，可以充分發(fā)揮巖土材料的強(qiáng)度潛能，將給豎井等井巷工程建設(shè)帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益［5］.

現(xiàn)階段，許多學(xué)者對豎井圍巖土壓力的計算理論進(jìn)行了較為深入地研究. 李造鼎［6］在極限平衡理論的基礎(chǔ)上，根據(jù)豎井井壁周圍土體的應(yīng)力分布規(guī)律，在假定井幫周圍土體沿柱狀面垂直下滑的條件下，推導(dǎo)出豎井井壁土壓力的解析解. 林小松［7］以帶防水層的復(fù)合厚壁圓筒井壁為研究對象，針對建井工程中井壁面上所受荷載沿深度呈多項式變化的特點(diǎn)，用分離變量法獲得了滿足雙調(diào)和方程的拉普位移函數(shù)的解，經(jīng)推導(dǎo)得到在柱面上承受沿深度線性變化的正壓力的單層、兩層及多層有限長厚壁圓筒的應(yīng)力場. 周國慶等［8］在模擬試驗(yàn)研究成果的基礎(chǔ)上，基于空間彈塑性理論對承受地壓、附加力及自重的豎井井壁應(yīng)力計算進(jìn)行研究分析，推導(dǎo)了豎井井壁的土壓力計算公式. 趙彭年［9］以空間軸對稱圓形豎井為研究對象，假定豎井圍巖滿足Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，基于哈爾-卡門完全塑性準(zhǔn)則，推導(dǎo)出軸對稱豎井井壁的主動土壓力解析解.蔣斌松［10］針對夾有泡沫塑料板的雙層混凝土復(fù)合井壁的特點(diǎn)，在空間任意軸對稱的法向及切向荷載作用下，通過Fourier積分法建立了復(fù)合井壁應(yīng)力及位移的解析表達(dá)式. 劉孟彬和王亞峰［11］根據(jù)豎井設(shè)計的基本理論，推導(dǎo)了黃土區(qū)施工豎井井壁土壓力的計算公式. Cheng和Hu［12］通過引入環(huán)向壓應(yīng)力系數(shù)來修正哈爾-卡門假定，推導(dǎo)了豎井襯砌主動土壓力解析解. 周楊和周國慶［13］應(yīng)用雙重級數(shù)法推導(dǎo)出滿足所有側(cè)面及端部應(yīng)力邊界條件的彈性解，計算出某豎井約束內(nèi)壁治理前后的應(yīng)力分布. 應(yīng)宏偉和梁文鵬［14］為探究方形豎井擋墻后空間主動土壓力的分布規(guī)律，建立了正交擋墻三維有限元分析模型，推導(dǎo)出豎井擋墻的主動土壓力計算公式. 上述研究結(jié)果均有益地推進(jìn)了豎井圍巖土壓力計算理論的發(fā)展和完善.

值得注意的是，在針對豎井圍巖空間被動土壓力方面的研究較少，遠(yuǎn)滯后于工程實(shí)際需要［15］，因此本文基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則，針對軸對稱豎井圍巖被動極限平衡狀態(tài)開展分析，推導(dǎo)出基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力新解，并將所得結(jié)果進(jìn)行比較驗(yàn)證，最終探討了中主應(yīng)力系數(shù)對井壁空間被動土壓力分布規(guī)律的影響.

1 Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則

Mogi［16-17］在多種巖土真三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，提出了Mogi經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則通式為：

式中：σ1、σ2和σ3分別為大主應(yīng)力、中主應(yīng)力和小主應(yīng)力；τoct為八面體剪應(yīng)力；σ13為平均主應(yīng)力；f為單調(diào)遞增函數(shù).

Al-Ajmi 和Zimmerman［18］將Mogi 經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)度準(zhǔn)則和Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則相結(jié)合，建立了Mogi-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則，其表達(dá)式為：

式中：c0為巖土的內(nèi)聚力；φ0為巖土的內(nèi)摩擦角.

由式（2）可見，Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則考慮了中主應(yīng)力σ2對巖土強(qiáng)度的影響. 在工程實(shí)踐中常用中主應(yīng)力系數(shù)b來表示中主應(yīng)力與大、小主應(yīng)力的函數(shù)關(guān)系，其表達(dá)式為：

將式（3）變換形式，可得下式：

將式（1）、式（4）代入式（2），經(jīng)計算得到Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的主應(yīng)力表達(dá)式為：

當(dāng)中主應(yīng)力系數(shù)b=0或1時，式（5）退化為Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的主應(yīng)力表示式，即：

因此，Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則為Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的特例［5］，對應(yīng)的中主應(yīng)力系數(shù)b=0或1.

針對軸對稱豎井圍巖問題（如圖1），存在應(yīng)力分量如下：井壁徑向正應(yīng)力σr、環(huán)向正應(yīng)力σθ、軸向正應(yīng)力σz和剪應(yīng)力τrz，且σθ=σ2［19-20］. 令：

式中：p為平均主應(yīng)力；q為廣義剪應(yīng)力.

聯(lián)立式（4）和式（7），可得：

則軸對稱豎井圍巖問題的應(yīng)力分量表達(dá)式為：

式中：θ為大主應(yīng)力σ1與r軸的夾角.

為了簡化公式的計算和方便公式形式的表達(dá)，令：

聯(lián)立式（5）和式（8），可得：

式中：ct、φt分別為基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的凝聚力和內(nèi)摩擦角.

2 井壁空間被動土壓力公式推導(dǎo)

圖1 為軸對稱豎井圍巖任意微元體的受力狀態(tài)，圖中R0為豎井半徑，r為豎井圍巖任意微元體的半徑.軸對稱豎井圍巖問題的平衡微分方程為：

圖1 豎井圍巖微元體的應(yīng)力狀態(tài)Fig.1 Stress state of micro-element body in shaft surrounding rock

式中γ為豎井圍巖的重度.

將軸對稱豎井圍巖的應(yīng)力分量表達(dá)式（9）代入平衡微分方程式（12），得到如下微分方程：

若第一族滑移線的弧長用S1表示，第二族滑移線的弧長用S2表示，如圖2所示，則式（13）和式（14）的特征線方程分別為：

圖2 在r-z平面內(nèi)井壁圍巖的滑移線示意圖Fig.2 Schematic diagram of slip lines of shaft wall rock in r-z plane

S1族

S2族

式中

則上述微分方程式（13）和式（14）可轉(zhuǎn)化為體坐標(biāo)S1和S2的表達(dá)式為：

S1族

S2族

圖3 被動極限平衡下豎井圍巖問題計算簡圖Fig.3 Calculation diagram of shaft surrounding rock under passive limit equilibrium

根據(jù)上述假定，則有

式中：θ為大主應(yīng)力σ1與r軸的夾角.

將式（20）代入式（18）和式（19），經(jīng)一系列計算，得到如下微分方程：

S1族

S2族

將特征線方程式（15）、式（16）代入式（21），可得到如下微分方程為：

將式（11）代入式（23），得到如下微分方程為：

為了簡化微分方程的計算和方便微分形式的表達(dá)，令：

則式（24）可表示為如下形式：

對微分方程式（26）進(jìn)行求解，得到軸對稱豎井圍巖在被動極限狀態(tài)下的應(yīng)力分量表達(dá)式為：

式中C1為積分常數(shù).

若第一族滑移線與井壁交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為zb，與水平地表面交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為rb，則存在下式：

根據(jù)應(yīng)力邊界條件σz|r=rb=T（T為表面荷載），經(jīng)計算得到微分方程式（27）的積分常數(shù)為：

將式（29）代入式（27），可得軸對稱豎井圍巖在被動極限狀態(tài)下的應(yīng)力分量表達(dá)式為：

令軸對稱豎井井壁圍巖中一點(diǎn)的半徑r=R0，將其代入式（30a）中，可得基于Mogi-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力新解為：

將式（10）、式（28）代入式（31），得到基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力pb隨著豎井深度zb的增加大致呈冪函數(shù)曲線增加，當(dāng)zb→∞時，井壁空間被動土壓力也趨于無窮大.

3 算例分析

為了驗(yàn)證推導(dǎo)出的基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力新解的正確性. 針對深度z為10 m、半徑R0為2 m 的豎井，選取豎井圍巖的力學(xué)參數(shù)為：黏聚力c0=2 MPa，內(nèi)摩擦角φ0=20°，圍巖重度γ=26×103kN/m3，且表面荷載T=0 kN/m2.

圖4 為豎井深度z=1.0 m 時，不同b值條件下基于Mogi-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力的分布曲線. 由圖可知：中主應(yīng)力系數(shù)b對豎井井壁空間被動土壓力值有較大的影響，當(dāng)0≤b<0.5時井壁空間被動土壓力隨著b值的增大而增大，當(dāng)0.5 ≤b≤1.0 時井壁空間被動土壓力隨著b值的增大而減小，且b=0.5 時被動土壓力為最大值，因此，井壁土壓力分布曲線呈現(xiàn)出以b=0.5處土壓力為對稱軸，呈左右對稱分布的特點(diǎn)；同時以b=0時豎井井壁空間被動土壓力值（64.56 MPa）作為參照條件下，b=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5 時井壁空間被動土壓力值分別增大4.7%、9.0%、12.7%、15.1%、16.0%.

圖4 不同b值對井壁空間被動土壓力分布曲線的影響Fig.4 Influence of different b values on spatial passive earth pressure distribution curve of shaft wall

圖5為不同b值條件下（由于對稱性，選取b=［0，0.5］），基于Mogi-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力隨著豎井深度增加的分布曲線. 由圖可知：豎井井壁空間被動土壓力值隨著豎井深度的增加呈冪函數(shù)曲線分布，且b值越大，井壁空間被動土壓力值越大；當(dāng)b值較小時，隨著b值的增大，豎井井壁空間被動土壓力的增幅減小. 結(jié)果表明，基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力值大于基于Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的井壁被動土壓力，這是由于前者在分析井壁土壓力時考慮了中主應(yīng)力σ2的影響，使得前者土壓力值較大；同時基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力值明顯大于平面應(yīng)變狀態(tài)下朗肯被動土壓力值，這是由于在相同條件下（相同埋深和等效寬度），豎井井壁外側(cè)處于被動極限平衡狀態(tài)的圍巖體積遠(yuǎn)大于平面應(yīng)變條件下的情況，使得豎井井壁空間被動土壓力值較大. 因此，在工程中采用基于Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的被動土壓力會偏于危險.

圖5 不同b值條件下井壁空間被動土壓力分布曲線Fig.5 Spatial passive earth pressure distribution curves of shaft wall under different b values

4 結(jié)論

1）本文基于Mogi-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則，針對軸對稱豎井圍巖的被動極限平衡狀態(tài)開展分析，推導(dǎo)了基于Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的豎井井壁空間被動土壓力新解，以期為井壁的支護(hù)設(shè)計提供一定的理論依據(jù).

2）豎井井壁空間被動土壓力隨豎井深度呈冪函數(shù)曲線分布，且Mogi-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則的中主應(yīng)力系數(shù)b對井壁空間被動土壓力的影響較大，研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)0≤b<0.5時井壁空間被動土壓力隨著b值的增大而增大；當(dāng)0.5≤b≤1.0時，井壁空間被動土壓力隨著b值的增大而減小，且b=0.5時，被動土壓力為最大值.

綜上所述，在工程中采用基于Mohr-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則的被動土壓力會偏于危險，而引入中主應(yīng)力系數(shù)b的Mogi-Coulomb 強(qiáng)度準(zhǔn)則可更加充分地發(fā)揮巖質(zhì)豎井圍巖的強(qiáng)度潛能，更經(jīng)濟(jì)安全地進(jìn)行豎井設(shè)計與施工.