張 健

(北京市豐臺(tái)區(qū)第二中學(xué) 100071)

2021年的高考是按照《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》進(jìn)行命題的第二次高考，同時(shí)也是江蘇、湖南、湖北、河北、廣東、福建、遼寧、重慶八省(市)新高考綜合改革落地的首考，全國(guó)有新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷、北京卷、上海卷、天津卷、浙江卷、全國(guó)乙卷(文、理科各一套)、全國(guó)甲卷(文、理科各一套)共計(jì)十套數(shù)學(xué)試卷.綜合來看，這些試卷都很好地落實(shí)了“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能，使得新高考綜合改革的成功實(shí)踐又向前邁出了堅(jiān)實(shí)的一步.

1 以核心價(jià)值為引領(lǐng)

根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、高校人才選拔要求和考試測(cè)評(píng)的規(guī)律，高考評(píng)價(jià)體系將所考查的素質(zhì)教育目標(biāo)提煉為“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)”四層考查內(nèi)容[1].

“核心價(jià)值是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者應(yīng)當(dāng)具備的良好政治素質(zhì)、道德品質(zhì)和科學(xué)思想方法的綜合，是在各學(xué)科中起著價(jià)值引領(lǐng)作用的思想觀念體系，是其在面對(duì)現(xiàn)實(shí)的問題情境時(shí)應(yīng)當(dāng)表現(xiàn)出的正確的情感態(tài)度和價(jià)值觀的綜合.”[2]2021年的數(shù)學(xué)試卷凸顯了“立德樹人、全面發(fā)展”的核心理念，重視對(duì)學(xué)生的政治立場(chǎng)和思想觀念、世界觀和方法論、道德品質(zhì)和綜合素質(zhì)等方面核心價(jià)值的引領(lǐng).

1.1 厚植愛國(guó)情懷，踐行核心價(jià)值觀

2021年高考數(shù)學(xué)能將重大的社會(huì)熱點(diǎn)事件有機(jī)融入試題，通過設(shè)計(jì)真實(shí)問題，展示我國(guó)發(fā)展的偉大成就，對(duì)學(xué)生進(jìn)行堅(jiān)定理想信念、厚植愛國(guó)情懷、提升品德修養(yǎng)、培養(yǎng)奮斗精神、踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀等核心價(jià)值的引領(lǐng).

例1(北京卷第18題)為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè). 現(xiàn)有100人，其中有2人是感染新冠病毒的患者.

(Ⅰ)①若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù)；

(Ⅱ)若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)Y的期望為E(Y)，試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫出結(jié)果).

分析：本題對(duì)閱讀理解能力要求很高.在(Ⅰ)①中，分成10組要檢測(cè)10次；由于2名患者在同一組，這組的每個(gè)人還都要做檢測(cè)，因此共需要做10+10=20次檢測(cè).

本題以新冠病毒的“k合1”核酸檢測(cè)技術(shù)為背景，讓學(xué)生體會(huì)概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在大規(guī)模排查新冠感染者的實(shí)際問題中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.由于我國(guó)成功地控制住了新冠疫情，當(dāng)個(gè)別地方出現(xiàn)散發(fā)病例時(shí)，能夠使用“k合1檢測(cè)法”進(jìn)行大規(guī)模的快速檢測(cè)，而對(duì)于疫情失控的國(guó)家是無法使用該法的.真實(shí)的問題情境展示了我國(guó)科學(xué)防疫的成果，有利于增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感，培養(yǎng)愛國(guó)主義精神.

另外，新高考Ⅰ卷第18題是以知識(shí)競(jìng)賽為題材，宣傳“一帶一路”國(guó)家戰(zhàn)略，考查隨機(jī)變量的分布與均值等內(nèi)容；全國(guó)甲卷理科第8題，是以“2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位：m)”為背景設(shè)計(jì)的解三角形問題，這也是我國(guó)繼1975年、2005年之后，第三次公布這一地球最高峰的海拔數(shù)據(jù)，展示了中國(guó)的登山能力和測(cè)量水平；全國(guó)乙卷理科第6題，是以北京冬奧會(huì)志愿者服務(wù)為題材設(shè)計(jì)的排列組合問題，北京也是世界上唯一一個(gè)舉辦過冬、夏兩季奧運(yùn)會(huì)的城市，彰顯了祖國(guó)的輝煌成就和實(shí)力.這些試題從不同角度對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育，踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀.

1.2 采擷古今經(jīng)典，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化

2021年的高考試卷中，還有許多用“經(jīng)典”傳承數(shù)學(xué)文化的試題，這些“經(jīng)典”是人類文明的根脈，是立德樹人的紅色基因，它承載著思想與文化，是對(duì)學(xué)生弘揚(yáng)民族精神、培養(yǎng)愛國(guó)情操，提高審美情趣、培育勞動(dòng)精神，健全完善人格、錘煉意志品質(zhì)等核心價(jià)值的引領(lǐng).

分析：設(shè)對(duì)折次數(shù)為n.

本題以我國(guó)民間剪紙藝術(shù)為背景，考查歸納推理和數(shù)列求和等內(nèi)容，弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)文化.

另外，北京卷第6題，是以黨旗為背景設(shè)計(jì)的數(shù)列問題，向?qū)W生傳承紅色文化，賡續(xù)紅色基因，又有喜迎建黨100周年之蘊(yùn)意；浙江卷第11題，是以“趙爽弦圖”為題材設(shè)計(jì)的面積計(jì)算問題，三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的趙爽利用弦圖證明了勾股定理，這比古希臘數(shù)學(xué)家畢德哥拉斯給出的證明早了550多年；全國(guó)乙卷理科第9題，是以“魏晉時(shí)期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》中的第一題：測(cè)海島的高”為題材，考查相似三角形、合分比性質(zhì)等內(nèi)容；上海卷的第19題以企業(yè)利潤(rùn)為背景，考查“增長(zhǎng)率”問題，等等.這些試題都從不同角度引導(dǎo)學(xué)生弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

1.3 重視數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，倡導(dǎo)科學(xué)發(fā)展理念

現(xiàn)代數(shù)學(xué)在促進(jìn)科學(xué)技術(shù)和其他學(xué)科發(fā)展、社會(huì)生活與生產(chǎn)應(yīng)用、人類文化與社會(huì)文明進(jìn)步等各個(gè)領(lǐng)域都有巨大價(jià)值和獨(dú)特功能，這是由數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其所具有的屬性和特征決定的.2021年高考的一些試題，是讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)應(yīng)用，理解國(guó)家的方針政策，倡導(dǎo)科學(xué)發(fā)展的理念.

例3(新高考Ⅱ卷第21題)一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列. 設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P(X=i)=pi(i=0,1,2,3) .

(Ⅰ)已知p0=0.4，p1=0.3，p2=0.2，p3=0.1，求E(X)；

(Ⅱ)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：

p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1；

(Ⅲ)根據(jù)你的理解說明(Ⅱ)問結(jié)論的實(shí)際含義.

分析：(Ⅰ)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.

(Ⅱ)由方程

p0+p1x+p2x2+p3x3-x=0(x>0)，

因?yàn)閜是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根，且0

所以0

f(x)=p0+p1x+p2x2+p3x3-x(0

則f′(x)=p1+2p2x+3p3x2-1，

f″(x)=2p2+6p3x≥0，

所以f′(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.

①當(dāng)E(X)=p1+2p2+3p3≤1時(shí)，

有f′(x)≤f′(1)=p1+2p2+3p3-1≤0，

從而f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，

所以f(x)在(0,1]上至多有一個(gè)零點(diǎn).

又p0+p1+p2+p3=1，

所以f(1)=p0+p1+p2+p3-1=0，

即有p=xmin=1；

②當(dāng)E(X)=p1+2p2+3p3>1時(shí)，

注意到f′(0)=p1-1<0，

f′(1)=p1+2p2+3p3-1>0，

所以存在唯一的x0∈(0,1)，使得f′(x0)=0.

從而，當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(x0,1]時(shí)，f′(x)>0.

即f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減，在(x0,1]上單調(diào)遞增.

又f(0)=p0>0，f(x0)

所以p=xmin=x1<1.

綜上，當(dāng)E(X)≤1時(shí)，p=1；當(dāng)E(X)>1時(shí)，p<1.

(Ⅲ)當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望小于等于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕；當(dāng)1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的期望大于1時(shí)，這種微生物經(jīng)過多代繁殖后還有繼續(xù)繁殖的可能.

本題屬于概率綜合題，第(Ⅱ)(Ⅲ)問分別是概率與函數(shù)、期望與決策綜合問題，折射出科學(xué)制定人口生育政策問題：當(dāng)實(shí)行“一對(duì)夫妻一個(gè)孩”的生育政策時(shí)，必然會(huì)出現(xiàn)人口銳減、老齡化等問題，這也是國(guó)家相繼出臺(tái)“二胎”“三胎”政策的原因所在.數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值是獨(dú)特的，應(yīng)用價(jià)值是廣泛的，文化價(jià)值是多維的，審美價(jià)值是豐富的，這些價(jià)值是引導(dǎo)學(xué)生理性分析問題、學(xué)會(huì)科學(xué)決策、樹立正確價(jià)值觀的重要資源.

1.4 結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，落實(shí)“五育并舉”方針

全國(guó)甲卷理科第4題、文科第6題，是以青少年視力這個(gè)現(xiàn)實(shí)熱點(diǎn)問題為題材，考查指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算及其估算內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生鍛煉身體、保護(hù)好視力；全國(guó)甲卷理科第17題和全國(guó)乙卷文、理科第17題，都是以工廠生產(chǎn)為背景，考查用樣本估計(jì)總體、獨(dú)立性檢驗(yàn)等內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生產(chǎn)、熱愛勞動(dòng).這些試題對(duì)引導(dǎo)教育要落實(shí)“五育并舉”方針，關(guān)注學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，起到積極的促進(jìn)作用.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)科雖然在考查“核心價(jià)值”方面不像人文學(xué)科那樣鮮明、深入，但從2021年的數(shù)學(xué)試卷可以看出，在考查“品德修養(yǎng)、奮斗精神、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、健全情感、勞動(dòng)精神”等方面都進(jìn)行了創(chuàng)新探索與嘗試，積極引導(dǎo)學(xué)生踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀，樹立高遠(yuǎn)志向，培育敢于擔(dān)當(dāng)、剛健有為、自強(qiáng)不息、樂觀向上的人生態(tài)度.

2 以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向

“學(xué)科素養(yǎng)是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，能夠在正確的思想價(jià)值觀念指導(dǎo)下，合理運(yùn)用科學(xué)的思維方法，有效整合學(xué)科相關(guān)知識(shí)，運(yùn)用學(xué)科相關(guān)能力，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).”[3]綜觀2021年高考數(shù)學(xué)試題，重視對(duì)“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析”[4]六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，既有對(duì)每個(gè)素養(yǎng)獨(dú)有的內(nèi)涵、特指的價(jià)值取向的考查，更有對(duì)六個(gè)數(shù)學(xué)素養(yǎng)整合性和綜合性的考查，“以學(xué)科素養(yǎng)為導(dǎo)向”的考查理念清晰、強(qiáng)烈！

A.a

C.b

本題中用變量x表示三個(gè)不同式子的關(guān)系需要數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，發(fā)現(xiàn)a>b需要數(shù)學(xué)直觀素養(yǎng)，構(gòu)造函數(shù)f(t)比較a與c的大小需要數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，多個(gè)素養(yǎng)的整合才能完成解題.

(Ⅰ)求C的方程；

本題對(duì)六個(gè)核心素養(yǎng)的要求都很高，既考查每個(gè)素養(yǎng)鮮明的特征和獨(dú)特的內(nèi)涵，同時(shí)又考查六個(gè)核心素養(yǎng)的整合性和綜合性(因?yàn)榱鶄€(gè)核心素養(yǎng)是彼此關(guān)聯(lián)的：數(shù)學(xué)運(yùn)算是邏輯推理，數(shù)據(jù)分析是特殊的數(shù)學(xué)建模，它們組成一個(gè)有機(jī)的整體，相互交融，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的過程中，表現(xiàn)出整合性和綜合性的特點(diǎn)).

3 以關(guān)鍵能力為重點(diǎn)

“關(guān)鍵能力是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題所必須具備的能力.”[5]根據(jù)高考的特征，高考評(píng)價(jià)體系“確立了符合考試評(píng)價(jià)規(guī)律的三個(gè)方面的關(guān)鍵能力群：一是以認(rèn)識(shí)世界為核心的知識(shí)獲取能力群；二是以解決實(shí)際問題為核心的實(shí)踐操作能力群；三是涵蓋了各種關(guān)鍵思維能力的思維認(rèn)知能力群.”[6]根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)和考查功能，2021年的試題重點(diǎn)考查了閱讀理解、信息整理、批判性思維、語言表達(dá)等關(guān)鍵能力.

例6(新高考Ⅱ卷第4題)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步軌道衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36000km(軌道高度指衛(wèi)星到地球表面的最短距離)，把地球看成一個(gè)球心為O，半徑為r=6400km的球，其上點(diǎn)A的緯度是指OA與赤道所在平面所成角的度數(shù)，地球表面能直接觀測(cè)到的一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星的點(diǎn)的緯度的最大值記為α，該衛(wèi)星信號(hào)覆蓋面的地球表面積S=2πr2(1-cosα)(單位km2)，則S占地球表面積的百分比為( )

A.26% B.34% C.42% D.50%

本題對(duì)學(xué)生的閱讀理解能力要求較高，屬于無圖考圖問題，需要根據(jù)題意畫出圖形，分析和整理已知信息，設(shè)計(jì)求解思路.

例7(北京卷第21題)定義RP數(shù)列{an}：對(duì)于實(shí)數(shù)p，滿足：

①a1+p≥0，a2+p=0；

②?n∈N+，a4n-1

③am+n∈{am+an+p,am+an+p+1}.

(Ⅰ)對(duì)前4項(xiàng)2，-2,0,1的數(shù)列，可以是R2數(shù)列嗎？說明理由；

(Ⅱ)若{an}是R0數(shù)列，求a5的值；

(Ⅲ)是否存在p，使得存在RP數(shù)列{an}，對(duì)?n∈N+，滿足Sn≥S10？若存在，求出所有這樣的p；若不存在，說明理由.

分析：首先需要考生對(duì)題目中給出的符號(hào)語言能夠讀懂、讀全、理解，然后需要對(duì)符號(hào)語言提供的多個(gè)信息進(jìn)行梳理、整合、挖掘、轉(zhuǎn)化，找出這些信息“背后”隱藏的結(jié)論；最后運(yùn)用批判性思維進(jìn)行邏輯推理，再用符號(hào)語言書寫表達(dá).

①提供的信息是：a1≥-p,a2=-p；

②提供的信息是：a4>a3，a8>a7，a12>a11，…，a4n>a4n-1；

③提供的信息是：am+n=am+an+p或am+n=am+an+p+1.

若令m=1，則可以得到an+1=a1+an+p或an+1=a1+an+p+1.

④

于是可以得到an+1≥an.

⑤

若再令n=1，則可以得到a2=2a1+p或a2=2a1+p+1.

⑥

由①和⑥可得a1=a2=-p.

⑦

于是由信息⑦知(Ⅰ)中給出的數(shù)列不是R2數(shù)列.

(也可以直接驗(yàn)證：由信息③知a2=2a1+p=6或a2=2a1+p+1=7與a2=-2矛盾，故(Ⅰ)中給出的數(shù)列不是R2數(shù)列)

在(Ⅱ)中，由于p=0，由信息①②③④⑤⑥⑦不難推出數(shù)列{an}為

0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,3,……，

所以a5的值為1.

在(Ⅲ)中，由前面提供的七條信息，不難得到RP數(shù)列{an}為

-p,-p,-p,-p+1,-p+1,-p+1,-p+1, -p+2,-p+2,-p+2,-p+2,-p+3, -p+3, -p+3,-p+3, …，

進(jìn)一步思考：若把條件改為“對(duì)?n∈N+滿足Sn≥S8(或S9)”，同樣得到p=2；若把條件改為“對(duì)?n∈N+滿足Sn≥S11”，則可以得到p∈[2,3]等.

對(duì)信息整理能力的考查往往還體現(xiàn)在一個(gè)題目的前一問的解答信息對(duì)后面問題解答的提示與借用上.比如本題在解答第(Ⅱ)問時(shí)，要使用第(Ⅰ)問的解答信息；在解答第(Ⅲ)問時(shí)，需要借助第(Ⅰ)問的信息，更需要借助第(Ⅱ)問所獲得的數(shù)列提供的規(guī)律性信息.

在高考數(shù)學(xué)中，對(duì)閱讀理解能力的考查，主要體現(xiàn)在對(duì)文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的閱讀理解能力考查上.“數(shù)學(xué)思維是以數(shù)和形為思維對(duì)象，以數(shù)學(xué)語言和符號(hào)為載體，以認(rèn)識(shí)和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律為目的，所以抽象的符號(hào)語言是數(shù)學(xué)的重要特征，更是思維操作的便捷材料.對(duì)符號(hào)的理解、掌握是數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵.”[7]

4 以必備知識(shí)為基礎(chǔ)

“必備知識(shí)是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對(duì)與學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，高質(zhì)量地認(rèn)識(shí)問題、分析問題、解決問題所必須具備的知識(shí).”[8]它是由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)(簡(jiǎn)稱“四基”)構(gòu)成的基本知識(shí)體系[9]，這一知識(shí)體系由陳述性知識(shí)和程序性知識(shí)構(gòu)成，是應(yīng)對(duì)情境所必須具備的各種復(fù)雜的產(chǎn)生式系統(tǒng).必備知識(shí)與關(guān)鍵能力一樣，是學(xué)科素養(yǎng)的基礎(chǔ).從2021年的數(shù)學(xué)試卷中能夠看到考查必備知識(shí)有以下特征.

4.1 強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)扎實(shí)

在2021年高考數(shù)學(xué)的十套試卷中，每套試卷都包含了一定比例的基礎(chǔ)性試題，引導(dǎo)學(xué)生打牢知識(shí)基礎(chǔ).

分析：由倍角公式及已知，得

只要學(xué)生的基礎(chǔ)扎實(shí)，解決此題并不困難.

4.2 強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通

加強(qiáng)試題的綜合性是高考考查能力的重要舉措，這種綜合可以是同一知識(shí)板塊中的多點(diǎn)綜合，也可以是跨板塊間的多點(diǎn)綜合，還可以是多知識(shí)點(diǎn)與思想方法的綜合等等，這種縱橫交錯(cuò)的綜合要求學(xué)生能夠觸類旁通、融會(huì)貫通.

A.當(dāng)λ=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值

B.當(dāng)μ=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

分析： 如圖，易知點(diǎn)P在矩形BCC1B1內(nèi)部(含邊界).

對(duì)于A，當(dāng)λ=1時(shí)，此時(shí)P在線段CC1上，△AB1P周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)μ=1時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)軌跡為線段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，則有點(diǎn)P到平面A1BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確.

本題的綜合性很強(qiáng)，需要學(xué)生能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，靈活多樣地分析問題和解決問題，對(duì)能力提出了較高要求.

4.3 強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)

試題重視對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查，突出對(duì)理性思維、數(shù)學(xué)探究能力的考查.

本題對(duì)函數(shù)奇偶性定義、函數(shù)周期的定義、分段函數(shù)等概念的本質(zhì)進(jìn)行了深入考查，需要學(xué)生能熟練運(yùn)用概念、原理靈活思考和探究問題.

4.4 強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用

2021年的試題還加強(qiáng)了對(duì)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問題能力的考查，主要體現(xiàn)在學(xué)生要能夠善于觀察現(xiàn)象，學(xué)以致用，具備較強(qiáng)的理論聯(lián)系實(shí)際能力和實(shí)踐能力.

例11(北京卷第8題)對(duì)24小時(shí)內(nèi)降水在平地上的積水厚度(mm)進(jìn)行如下定義

0～1010～2525～5050～100小雨中雨大雨暴雨

小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，則這一天的雨水屬于哪個(gè)等級(jí)( ).

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨

本題以學(xué)生綜合實(shí)踐活動(dòng)為背景，通過自制雨量器，收集雨水，測(cè)量降雨量.題目源自古代降雨量測(cè)量的真問題，旨在考查學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，弘揚(yáng)傳統(tǒng)文化.

4.5 強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維

2021年高考數(shù)學(xué)許多試題能夠合理設(shè)置問題情境和設(shè)問方式，促使學(xué)生主動(dòng)思考，善于發(fā)現(xiàn)新問題，找到新方法、新規(guī)律，得到新結(jié)論等，從而有效的考查學(xué)生獨(dú)立思考、發(fā)散思維、逆向思維、敏銳地發(fā)掘和捕捉、大膽猜測(cè)與周密論證等與創(chuàng)新密切相關(guān)的能力與素養(yǎng).

例12(浙江卷第22題)設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a>1，函數(shù)f(x)=ax-bx+e2(x∈R)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若對(duì)任意b>2e2，函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；

于是，當(dāng)lna>2e2，即a>e2e2時(shí)，易知g(b)在(2e2,lna)單調(diào)遞增，在(lna，+∞)單調(diào)遞減，此時(shí)，可得g(lna)>0，因此不滿足恒成立；當(dāng)lna≤2e2，即1

綜上可得，滿足題意的a的取值范圍是(1,e2].

(Ⅲ)f(x)=ex-bx+e2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)不難得到當(dāng)x=lnb>4時(shí)，f(x)min=f(lnb)=b-blnb+e20,f(2)<0，f(b)>0，于是易知f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1和x2，且范圍為0

本題的第(Ⅰ)、(Ⅱ)問均屬于常規(guī)問題，需要學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，融會(huì)貫通；第(Ⅲ)問需要學(xué)生能夠敏銳地發(fā)現(xiàn)并捕捉隱含信息，通過變形轉(zhuǎn)化進(jìn)行猜想推測(cè)，再運(yùn)用邏輯推理進(jìn)行周密論證，考查學(xué)生大膽嘗試探索新方法、解決新問題的創(chuàng)新思維意識(shí)和思維能力.

總之，在深化高考綜合改革的當(dāng)下，2021年的高考數(shù)學(xué)試卷很好地詮釋了《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》的“一核”、“四層”、“四翼”的考查理念.分析和研究這些試題，能夠使我們深入理解高考的核心功能，準(zhǔn)確把握高考的考查內(nèi)容和考查要求，對(duì)全面貫徹教育方針，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，發(fā)展素質(zhì)教育，推進(jìn)數(shù)學(xué)新課程改革都具有重要的引領(lǐng)作用.