數(shù)學(xué)問題解答

2021年9月號(hào)問題解答

(解答由問題提供人給出)

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)

2622如圖，四邊形ABOC中，AB=AC，OB=BC=CO，∠A=80°，點(diǎn)M在BC上，滿足∠CAM=20°．以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓交AM于Q，求證∠QBC=10°.

(湖北省公安縣第一中學(xué) 楊先義 434300)

證明顯然⊙O與線段AM的交點(diǎn)Q唯一存在，且∠BQC=150°.

下面用同一法證明結(jié)論.

在線段AM上取點(diǎn)Q1，Q2，使

∠BCQ1=20°，∠CBQ2=10°，

由已知可得∠ABC=∠ACB=50°.

設(shè)△ABC的外接圓直徑為1，

由正弦定理

BC=sin80°，AB=AC=sin50°.

而BC=BM+MC=sin80°，

在△AMC和△ABM中，由面積關(guān)系可得

?sin30°sin60°sin10°=sin220°sin40°

再由Q的唯一性即得Q′與Q重合，

所以∠QBC=10°.

2623設(shè)a≥b≥c≥0,a+b+c=3,求證:

(陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平 712000)

證明因?yàn)閍≥b≥c≥0,

所以(a-b)(b-c)(a-c)≥0,

即a2b+b2c+c2a≥ab2+bc2+ca2.

于是，結(jié)合舒爾不等式

a3+b3+c3+3abc

≥a2b+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2，

得a3+b3+c3+3abc≥2(ab2+bc2+ca2).

從而27=(a+b+c)3

=a3+b3+c3+6abc+3(a2b+b2c+c2a)+

3(ab2+bc2+ca2)

≥a3+b3+c3+6abc+6(ab2+bc2+ca2)

≥3abc+8(ab2+bc2+ca2),

2624在Rt△ABC中，點(diǎn)D為直角邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在斜邊AB上且滿足AE=CD，點(diǎn)F為線段ED的中點(diǎn)，證明：∠CAF= ∠DEB.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

證明如圖，延長(zhǎng)AF到點(diǎn)H，且使FH=AF，在線段EB上截取EG=AE，連接HB，HC，HD，HE，HG和AD.由AF=FH，EF=FD知四邊形ADHE為平行四邊形，由EG=AE=DH知四邊形EDHG為平行四邊形，由DH=AE=CD=DB知△BCH為直角三角形.設(shè)∠BCH=θ.

由AB∥DH得∠ABD=∠BDH= 2θ，

由∠BHC= 90° 得∠CBH= 90° -θ，

因此 ∠ABH= 2θ+ (90° -θ)

=90° +θ= ∠ACH.

設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，HB=m，HC=n.在△ACH中，

AH2=AC2+CH2-2AC·CH·cos∠ACH

另一方面，在△ABH中，

b2=c2-a2，n2=a2-m2代入上式得

因c-a=AB-CB=AB-AG=GB，

從而可知 △ACH∽△GBH，

于是 ∠CAF=∠BGH=∠DEB.

(安徽省六安第二中學(xué) 陶興紅 237005)

解易知

且 sinA+sinB+sinC

2021年10月號(hào)問題

(來稿請(qǐng)注明出處——編者)

2626如圖，D、E、F分別是三角形ABC三邊(或延長(zhǎng)線)上的點(diǎn)，滿足∠ADC=∠BEA=∠CFB，直線AD、BE、CF兩兩交于點(diǎn)L、M、K，點(diǎn)H是△ABC的垂心. 求證：點(diǎn)H是△LMK的外心.

(浙江省慈溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 華漫天 315300)

2627在△ABC中，已知外心為O，內(nèi)心為I，旁心分別為Ia,Ib,Ic，R為外接圓半徑，求證：

(1)

(河南質(zhì)量工程職業(yè)學(xué)院 李永利 467001)

2628已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足

(浙江省海鹽縣元濟(jì)高級(jí)中學(xué)張艷宗 314300；北京航空航天大學(xué)圖書館 宋慶 100191)

2629設(shè)雙曲線C的兩焦點(diǎn)為F1、F2，兩準(zhǔn)線為l1、l2，過雙曲線上一點(diǎn)P，作平行于F1F2的直線，分別交準(zhǔn)線l1、l2于M1、M2，直線M1F1與M2F2交于點(diǎn)Q，則：P、Q、F2、F1四點(diǎn)共圓.

(江西省都昌縣第一中學(xué) 劉南山 332600)

2630在ABCD中，M為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E、F分別在邊AB、BC上，滿足∠EMA=∠FMC=∠ADC,O1、O2、O3、O4分別為△EMA、△EBF、△FMC、△ADC的外心.

求證：四邊形O1O2O3O4是平行四邊形.

(陜西省興平市教研室 呂建恒 713100)