巢中俊

(四川省成都市第七中學(xué) 610041)

1 問(wèn)題背景

給定周長(zhǎng)的平面區(qū)域中,圓盤的面積最大.這一經(jīng)典等周不等式為古希臘人所熟知,但直到19世紀(jì),Edler[3]在Steiner[6]的基礎(chǔ)上才給出了一個(gè)完整的證明.之后還有簡(jiǎn)單證明[8]及各式各樣的變體[1][2].特別是帶約束的等周問(wèn)題,如Blaschke-Lebesgue問(wèn)題[4][5][9]就是帶約束的等周問(wèn)題,Blaschke-Lebesgue型問(wèn)題[7][12]亦是如此.

本文研究的問(wèn)題是：周長(zhǎng)為定值且內(nèi)接于單位圓的所有三角形中,誰(shuí)具有最大面積?又是誰(shuí)具有最小面積?

下面將給出這個(gè)問(wèn)題的完整結(jié)論及一個(gè)簡(jiǎn)潔且初等的證明.

2 問(wèn)題的結(jié)論

3 兩個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)

4 問(wèn)題的轉(zhuǎn)化化歸

圖1

≤(1+h)2?p(h)≥0，

(1)

于是我們的問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為求單變量函數(shù)(參數(shù)

下面我們求解這個(gè)單變量函數(shù)問(wèn)題,即給出定理的證明.

5 定理的證明

臨澤縣制種玉米膜下滴灌與常規(guī)大水漫灌對(duì)比試驗(yàn)中，膜下滴灌處理的株高和穗位高均低于常規(guī)處理，穗長(zhǎng)為14.5 cm，較常規(guī)處理增加0.6 cm；禿尖長(zhǎng)為0.8 cm，較常規(guī)處理減少0.3 cm；穗行數(shù)和行粒數(shù)分別為14.49行和19.1粒，分別較常規(guī)處理增加0.29行和0.9粒；千粒重為335.9 g，較常規(guī)處理增加10.8 g。膜下滴灌折合產(chǎn)量（鮮穗）為14 502 kg/hm2，較常規(guī)處理增加1 395 kg/hm2，增產(chǎn)率為10.64%。

(3)

同時(shí)p(h)≥0即為h1≤h≤h2.于是(2)此時(shí)為

對(duì)(4)取自然對(duì)數(shù)后再求導(dǎo)得

(5)

(6)

(7)

S(h)的圖象如圖2.

圖2

(8)

(9)

結(jié)合引理1及(8)(9),我們有

引理3△ABC與△A′B′C′是全等的等腰三角形.

證明記h=h1對(duì)應(yīng)的三角形為△ABC,如圖1,由(1)(3)知點(diǎn)B在y軸正半軸上,于是△ABC為等腰三角形,又(3)中的p(h1)=0,即

(10)

結(jié)合引理1及(10)得

|A′C′|=|BA|.

(11)

注意到△ABC與△A′B′C′的周長(zhǎng)均為2l,于是(11)也即

|BC|+|AC|=|A′B′|+|C′B′|.

(12)

由引理2知△ABC與△A′B′C′的面積相等,

結(jié)合(11)得|BC||AC|=|A′B′||C′B′|.

(13)

由(12)(13)得|BC|,|AC|與|A′B′|,|C′B′|分別對(duì)應(yīng)相等.所以△ABC≌△C′A′B′.又因?yàn)?10),所以△ABC與△A′B′C′是全等的等腰三角形.

5.3 0

又

且p(-1)=-l<0,p(1)=2-l≥0,

(14)

對(duì)(14)同樣有(5),

圖3

這就完成了定理的③證明.至此就完成了定理的全部證明.

6 定理的直觀認(rèn)識(shí)

圖4

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