顧清華，劉思魯，張金龍

(1.西安建筑科技大學 資源工程學院，西安 710055；2.西安市智慧工業(yè)感知計算與決策重點實驗室，西安 710055；3.洛陽欒川鉬業(yè)集團股份有限公司，河南 洛陽 471500)

礦產資源作為我國國民經(jīng)濟的支柱產業(yè)，是社會和經(jīng)濟發(fā)展的物質基礎。隨著礦產資源利用率降低，品位不斷下降等問題的出現(xiàn)，堅持貧富兼采、合理配礦是提高礦產資源利用率、保證礦石質量的關鍵。由于露天礦山生產條件的日趨復雜，多目標配礦優(yōu)化是大型露天礦山研究的趨勢，編制科學合理的多目標配礦計劃可以有效提高配礦效率，保證礦山企業(yè)可持續(xù)發(fā)展。因此根據(jù)礦山實際生產需求，深入研究多目標配礦問題十分有必要。

目前，配礦問題的研究主要集中在計劃模型的構建和優(yōu)化求解算法兩個方面。針對計劃模型的構建而言，當前研究主要側重于配礦指標的選取，根據(jù)不同礦山的生產需求，將礦石品位偏差、生產成本、總產量作為首要考慮指標的研究居多，其中，王李管等[1]以品位偏差最小為目標函數(shù)建立露天礦配礦優(yōu)化模型，有效解決了多元素多卸礦點配礦而造成的配礦結果粗略等問題；胡乃聯(lián)等[2]從生產成本的角度出發(fā)，以采掘和運輸成本最小為目標函數(shù)編制露天礦配礦計劃，為礦山實際生產提供依據(jù)；黃啟富等[3]以總利潤最大化為目標，動態(tài)優(yōu)化解決企業(yè)配礦問題。此外，關于配礦指標的選取，還有對任務量、礦石巖性、氧化率及有害物質方面的研究，其中，柯麗華等[4]根據(jù)礦石質量要求，以SiO2等有害物質為約束條件構建配礦數(shù)學模型，有效提高了資源利用率；顧清華等[5]考慮影響選礦回收率的氧化率、有害物質等指標，構建基于采選流程的多金屬配礦優(yōu)化模型。

針對優(yōu)化求解算法而言，主要側重于數(shù)學規(guī)劃、計算機技術與數(shù)學規(guī)劃相結合和智能優(yōu)化算法三個方面，其中，侯煜[6]針對某露天礦的實際生產，采用線性規(guī)劃原理編制配礦的總體策略與簡化策略，有效解決傳統(tǒng)人工配礦盲目性強且效果較差的問題；劉文博等[7]從供應鏈角度出發(fā)，分析原礦配礦的生產特點，構建露天礦山供應鏈問題的0-1混合整數(shù)規(guī)劃模型；EIVAZY 等[8]構建了基于混合整數(shù)規(guī)劃的露天礦短期生產計劃模型，提高了生產決策效率；井石滾等[9]應用先進的地理信息(GIS)技術、全球衛(wèi)星定位(GPS)技術及通用無線分組傳輸(GPRS)技術，設計與實現(xiàn)了露天礦山配礦生產動態(tài)管理系統(tǒng)；吳麗春等[10]應用0-1整數(shù)規(guī)劃與三維礦業(yè)軟件DIMINE相結合對礦山的配礦進行優(yōu)化，上述研究均為單目標規(guī)劃，但在實際配礦生產作業(yè)中，往往含有多個復雜沖突目標，此時相比于傳統(tǒng)求解方法，智能優(yōu)化算法在求解此類問題上具有明顯優(yōu)勢，其中，李寧等[11]針對低品位礦產資源的利用率，構建了多目標配礦優(yōu)化模型，并提出求解該模型的混合粒子群算法；顧清華等[12]針對露天礦多金屬多目標短期配礦問題，建立了基于自適應粒子群算法的配礦優(yōu)化模型。

綜上所述，目前配礦研究已經(jīng)從單目標向多目標發(fā)展，但是對于多目標配礦問題求解而言，大多數(shù)研究還是采用理想點等數(shù)學方法將多目標轉化為單目標，這樣并不能在本質上很好地解決多目標優(yōu)化問題。此外以往研究對選礦因素考慮不充分，僅是將氧化率和有害物質等指標簡單地添加到目標和約束中，但實際生產中上述指標對選礦回收率的影響程度不同，需根據(jù)礦山實際情況具體分析，才能夠顯著改善礦石的綜合回收率。因此本文針對上述問題，在基于分解的多目標進化算法(Multi-objective Evolutionary Algorithm Based on Decomposition，MOEA/D)的基礎上，提出了一種改進的多目標進化算法(MOEA/D-AU)，在求解多目標配礦優(yōu)化問題上表現(xiàn)優(yōu)異；根據(jù)實際礦山數(shù)據(jù)，利用隨機森林算法建立了綜合回收率預測模型，對進化算法求解的多組配礦方案進行篩選，從而得到一個更加符合實際情況的方案。

1 配礦問題描述及模型構建

1.1 問題描述

露天礦山企業(yè)的實際生產中，配礦作為企業(yè)采選工作的中間環(huán)節(jié)，將不同品位的礦石進行搭配混勻，增加滿足質量標準的礦石產出率。實際生產中，各個出礦點的品位都不相同，即使同一出礦點品位波動也比較大，因此根據(jù)各出礦點的品位變化進行合理配礦至關重要。已知各出礦點的實際品位、各受礦點的目標品位、各出礦點到受礦點的運輸距離以及各出礦點和受礦點的任務量和最大生產能力。多目標優(yōu)化配礦問題可以描述為在實現(xiàn)礦石品位偏差最小、巖性配比偏差最小和生產成本最低的情況下，提高配礦效率，此模型的生產成本包括開采成本、運輸成本及破碎成本。露天礦多目標配礦模型的部分參數(shù)及變量定義如表1所示。

表1 基本符號說明

1.2 模型構建

多目標優(yōu)化配礦是一個高復雜性、多約束性的問題，模型根據(jù)礦山實際配礦情況，綜合考慮了礦石品位、生產成本、巖性配比、作業(yè)生產能力以及作業(yè)任務量等多種約束條件，具體模型構建如下：

(1)

(2)

(3)

式中，目標函數(shù)(1)表示礦石品位偏差最小化；目標函數(shù)(2)表示采掘、運輸及破碎總成本最小化；目標函數(shù)(3)表示礦石巖性配比偏差最小化，其中{α，β，γ，…}表示礦石巖性，{μα，μβ，μγ，…}為期望巖性比例，此外模型將屬于同一巖性的出礦點歸為一類，按不同巖性類別分類排序，即出礦點1到出礦點α全部屬于α類巖石，出礦點α+1到出礦點β全部屬于β類巖石，以此類推。

式中，約束條件(4)表示出礦點最小任務量；約束條件(5)表示出礦點最大生產能力；約束條件(6)表示受礦點最小任務量；約束條件(7)表示受礦點最大生產能力；約束條件(8)表示出礦點到受礦點的最小、最大運輸量要求。

2 多目標進化算法

2.1 基于分解的多目標進化算法

通過模型構建，可以發(fā)現(xiàn)礦山實際配礦生產作業(yè)為多目標優(yōu)化問題(Multi-objective Optimization Problems，MOPs)，該問題各目標之間通常存在沖突，無法同時得到所有目標的最優(yōu)解，而是獲得一組權衡各目標后的折衷解，即Pareto最優(yōu)解集(Pareto Optimal Set，PS)。在求解多目標優(yōu)化問題方面，多目標進化算法(Multi-objective Evolutionary Algorithms，MOEAs)憑借在一次運行下可以獲得一組Pareto最優(yōu)解集的優(yōu)勢而得到廣泛研究，有效解決了傳統(tǒng)多目標優(yōu)化算法魯棒性差、計算效率低等劣勢[13]。目前MOEAs大致分為三類，不同于基于帕累托支配關系的MOEAs和基于指標的MOEAs這兩類，基于分解的MOEAs在維持種群收斂性與多樣性方面表現(xiàn)優(yōu)越，從而被廣泛應用于求解MOPs，其中最經(jīng)典的是張青富等[14]提出的MOEA/D算法。該算法是一種通過聚合函數(shù)將多目標優(yōu)化問題分解成若干個單目標優(yōu)化子問題的方法，常用的分解策略為切比雪夫聚合法(Tchebycheff Approach，TCH)，TCH是一種非線性多目標聚合方法，其聚合函數(shù)定義如下：

subject tox∈Ω

(9)

2.2 MOEA/D-AU算法

2.2.1 改進動機

理想情況下，當MOEA/D算法利用公式(9)定義的每個子問題都取得最優(yōu)解時，種群最終才能均勻地分布在Pareto前沿(Pareto Optimal Front，PF)。但是實際情況并非如此，由于聚合函數(shù)等高線自身的劣勢，導致部分子代解在迭代過程中偏離自己的權重向量方向，從而無法較好地維持種群的多樣性。

如圖1所示，二維目標空間下，在6個權重向量(w1，w2，…，w6)輔助下分別獲得解(A-F)，圖中虛線分別為解E和解G所對應權重向量w5的聚合函數(shù)等高線。從圖中可以看出，解集并沒有像權重向量一樣分布均勻，尤其是解B和E，雖然取得了不錯的聚合函數(shù)值，但是偏離了它們相應的權重向量(w2和w5)。這是由于在更新過程中，MOEA/D算法僅僅考慮了聚合函數(shù)值，沒有考慮空間位置關系。由圖中聚合函數(shù)等高線可以發(fā)現(xiàn)，解G的聚合函數(shù)值要劣于解E，因此解G被遠離權重向量w5的解E所替換，從而w5所對應的解變?yōu)榻釫。然而，從綜合考慮種群多樣性與收斂性的角度而言，解G要優(yōu)于解E。此外在迭代初期，種群通常遠離PF，更容易出現(xiàn)選擇誤差，這很有可能將搜索局限到PF的某一部分。

圖1 二維目標空間下解分布情況示意圖Fig.1 Illustration of the distribution of solutions in the 2-D objective space

針對此問題，本文設計了一種基于角度的更新策略，提出了MOEA/D-AU算法。

2.2.2 基于角度的更新策略

在上述問題的啟發(fā)下，本文在更新過程中不僅僅考慮解的聚合函數(shù)值，還考慮解與所有權重向量的空間位置關系，為此提出了一種基于角度的更新策略。該策略如下：首先每一個子代解都可以根據(jù)公式(10)計算出與所有權重向量之間的夾角余弦值，式中表示F(x)與w之間的銳角，然后找出V個最大的夾角余弦值，使子代解與V個最大夾角余弦值所對應的解進行聚合函數(shù)值的比較。

(10)

如圖2所示，假設V為3，子代解Y通過與所有權重向量之間的夾角余弦值進行比較，找到離它最近的3個權重向量w3、w4、w5，Y在更新過程時只需要和w3，w4，w5所對應的解C、D、E進行聚合函數(shù)值的比較即可，由圖2可以發(fā)現(xiàn)，在空間位置的限制下，使子代解Y無法和偏離權重向量較遠的解進行比較，有效避免了聚合函數(shù)本身的劣勢。

圖2 二維目標空間下解與權重向量間的夾角示意圖Fig.2 Illustration of the acute angle from the solution to the weight vector in the 2D objective space

采用基于角度的更新策略，相比于MOEA/D算法的更新過程，種群的更新不僅僅基于解之間的聚合函數(shù)值，還考慮了空間位置關系，從而使MOEA/D-AU算法在平衡種群多樣性與收斂性方面取得很大改善。

2.2.3 MOEA/D-AU算法流程

為了便于理解，下面給出了本文算法的流程圖(圖3)。

圖3 MOEA/D-AU算法流程圖Fig.3 Flow chart of MOEA/D-AU algorithm

2.2.4 MOEA/D-AU與MOEA/D的對比分析

為了測試本文算法MOEA/D-AU的性能，將其與原始算法MOEA/D在標準測試問題上進行仿真實驗。WFG系列問題是MOEA研究領域廣泛使用的代表性測試問題，本實驗在WFG系列問題中隨機選取WFG4、WFG6及WFG8為測試問題。此外，本實驗選取國內外通用的多樣性和收斂性評價標準即純分布性PD(Pure Diversity)和世代距離GD(Generational Distance)來衡量算法求解性能[15]，其中就PD指標而言，數(shù)值越大表示算法性能越優(yōu)異，相反對于GD指標，數(shù)值越小表示算法性能越優(yōu)異。

為了更加形象直觀地表示MOEA/D-AU相比于MOEA/D的優(yōu)勢，圖4可視化了PD指標和GD指標下3個目標WFG4、WFG6、WFG8問題的盒圖。其中，盒圖的上下兩條線為樣本的上下四分位數(shù)，中間的線為中位數(shù)，上下虛線的頂端為最大值和最小值，“+”為異常值。由圖4可以發(fā)現(xiàn)，在PD指標盒圖方面，MOEA/D-AU不僅在3個目標WFG4、WFG6、WFG8問題上取得了最優(yōu)的PD值，多樣性方面優(yōu)于MOEA/D，而且發(fā)現(xiàn)該算法的盒子長度是最短的，即算法所對應的PD指標四分位距離是最小的，即該算法的PD指標的最小值和最大值相差不大，表明MOEA/D-AU算法求出的解集整體質量更高，有更好的穩(wěn)定性；在GD指標盒圖方面，MOEA/D-AU在3個目標WFG4、WFG6、WFG8問題上均取得了最優(yōu)的GD值，收斂性方面明顯優(yōu)于MOEA/D。

圖4 3個目標WFG4、WFG6、WFG8測試問題上的PD及GD指標盒圖(1：MOEA/D，2：MOEA/D-AU)Fig.4 The box plots of PD and GD indicators for the three targets WFG4，WFG6 and WFG8(1：MOEA/D，2：MOEA/D-AU)

3 綜合選礦回收率預測模型

3.1 隨機森林算法

隨機森林(Random Forest，RF)是在應用統(tǒng)計學采樣原理的基礎上將若干個決策樹集成在一起的一種算法，算法通過引入決策樹的子模型數(shù)和單顆決策樹的最大特征數(shù)兩項重要參數(shù)有效提高了模型的抗噪能力，較好地克服了過擬合問題。此外隨機森林算法既可以應用在分類問題中，也可以應用于數(shù)據(jù)的回歸分析，同時憑借準確率高、參數(shù)調整簡單等優(yōu)勢，使其相比較于SVM、BP神經(jīng)網(wǎng)絡等機器學習的方法，在默認參數(shù)下就具有較好的回歸預測效果[16]。

隨機森林算法步驟如下：

1)在包含M個樣本的原始訓練集中有放回的隨機抽取M個樣本，進行n次得到所有的采樣數(shù)據(jù)集。

2)對所有采樣數(shù)據(jù)集分別構建完全生長的決策樹進行訓練。

3)最終結果根據(jù)多個決策樹以投票(分類問題)或求平均值(回歸問題)的方式來計算測試樣本的預測值。

3.2 隨機森林預測模型構建

通過閱讀有關選礦回收率的大量文獻可以發(fā)現(xiàn)，嵌布粒度、氧化率和有害物質等指標和選礦回收率之間存在密切關系，因此將上述指標作為訓練模型的輸入?yún)?shù)，通過構建的隨機森林模型進行訓練來得到選礦回收率的預測值，模型結構如圖5所示。

圖5 選礦回收率預測模型Fig.5 Prediction model of mineral processing recovery

4 工程應用

以國內某大型金屬露天礦為例進行分析研究。礦區(qū)面積2.01 km2，包含13個出礦點和3個受礦點，其中礦體中金屬主要有鉬、鎢、銅三種，有害物質主要為二氧化硫，巖性主要有矽卡巖、透輝石長和長英角巖3種。編制合理的配礦計劃，以每個出礦點到受礦點的出礦量為自變量進行算法優(yōu)化，在滿足各個約束條件的同時使總目標偏差最小。

礦山每班(每天3班)有10～13臺電鏟工作，有3個破碎站進行破碎。礦山配礦的相關參數(shù)如表2～5所示。

表2 配礦相關參數(shù)

表3 配礦相關參數(shù)

表4 配礦相關參數(shù)

表5 配礦相關參數(shù)

將上述表中數(shù)據(jù)輸入配礦模型中，利用MOEA/D-AU算法對其進行求解，得到30組配礦結果。為了提高礦石的綜合回收率，構建綜合選礦回收率預測模型，對30組配礦結果進行篩選，將不滿足各個受礦點綜合回收率指標的配礦結果舍去，從而獲得最貼合實際礦山情況的配礦結果。預測模型根據(jù)此礦山實際情況和選礦廠的選礦試驗，確定將礦石的氧化率和有害物質二氧化硫的濃度作為訓練模型的輸入?yún)?shù)，通過構建的隨機森林模型進行訓練來得到綜合選礦回收率。最終從篩選后的配礦結果中隨機選取一個配礦計劃，如表6所示。

表6 配礦計劃

通過計算表6中配礦計劃可以發(fā)現(xiàn)，品位偏差和巖性配比偏差都趨近于0，生產成本也優(yōu)于礦山現(xiàn)狀，由此可知，本文所求配礦計劃能夠迅速找到貼合礦山實際情況的配礦結果。

為了更加直觀全面地分析所得配礦計劃的優(yōu)勢，從綜合選礦回收率預測模型篩選過后的多組配礦結果中隨機選擇10個配礦計劃，分析10個配礦計劃中各個受礦點所得品位情況。圖6反映了各個受礦點鉬、鎢、銅金屬的品位情況，因選礦廠接受配礦后的礦石品位處于期望品位上下0.05%范圍內，所以圖中描繪了各受礦點品位上下限、各個受礦點期望的礦石品位以及求解結果。

從圖6中可以看出，鉬礦石在1號、2號及3號受礦點的計算品位和目標品位都相差不大；對于鎢礦石，在1號、2號受礦點的計算品位多數(shù)略高于期望的目標品位，3號受礦點的計算品位有些波動，但都處于允許的品位波動范圍；對于銅礦石，在1號、2號及3號受礦點品位波動都相對穩(wěn)定，在期望的目標品位上下，取得理想的結果。

圖6 鉬、鎢、銅三種金屬計算品位情況Fig.6 Calculated grades of molybdenum，tungsten and copper

5 結論

1)本文針對露天礦多金屬多目標配礦問題，以生產成本、品位偏差和礦石巖性配比偏差最小為目標函數(shù)構建了多金屬多目標配礦優(yōu)化模型，有效解決了多金屬多目標配礦中廣泛存在的配礦結果粗略等問題。

2)鑒于露天礦多金屬多目標配礦模型的復雜性和約束性，在MOEA/D的基礎上提出了MOEA/D-AU算法求解配礦計劃，并在標準測試集上與原算法MOEA/D進行了對比驗證，結果表明MOEA/D-AU算法在求解復雜多目標優(yōu)化問題上具有一定優(yōu)勢。

3)鑒于對選礦環(huán)節(jié)的各種影響因素考慮不充分，本文根據(jù)礦山實際數(shù)據(jù)構建了融合氧化率及有害物質參數(shù)的綜合回收率隨機森林預測模型，通過預測模型對多目標進化算法求解的多組配礦結果進行篩選，從而得到一個更加符合礦山實際生產情況的配礦計劃。