◎ 于洪波

2019年開始使用的滬教版高一數(shù)學新教材將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)三類具體函數(shù)放在一般函數(shù)內容的前面，為學習一般函數(shù)的概念和性質做鋪墊。這是與滬教版高一數(shù)學舊教材不同的地方，也是需要我們改變觀念來重新認知和把握教學尺度的地方。這種變化不僅體現(xiàn)了新教材“特殊到一般、具體到抽象”的理念，也凸顯了冪函數(shù)在整個單元中的地位和重要性。冪函數(shù)作為學生在高中階段接觸的第一類具體函數(shù)，對學生學習方法的形成起著承前啟后的作用。筆者以冪函數(shù)為例，論述在高中函數(shù)教學中如何借助TI圖形計算器為學生創(chuàng)設必要的學習經歷，幫助學生進行知識建構，提升學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

一、感知函數(shù)的圖像特征，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)

學生在冪函數(shù)的第一課時中利用描點法繪制了三個典型的冪函數(shù)的圖像。但在第二課時的學習中，僅僅根據(jù)這三個冪函數(shù)的圖像來感知這一類函數(shù)的圖像特征，對大多數(shù)學生而言還是有困難的，還需要大量的具體函數(shù)的圖像才能完成從特殊到一般的歸納。如果繼續(xù)利用描點法進行研究，不僅效率低下，還會影響學生的探究熱情。借助TI圖形計算器的游標功能，動態(tài)演示冪函數(shù)的圖像，學生很容易發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)圖像的共同特征，即冪函數(shù)在第一象限都有圖像。此時，學生再調整窗口，聚焦第一象限，借助TI圖形計算器的游標功能，進一步感知其在第一象限的圖像特征。經歷冪函數(shù)的圖像特征的抽象過程，學生也會用同樣的方式，再去感知指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像特征，感知函數(shù)y=ax與（a＞0，a≠1）的圖像之間的關系，感知函數(shù)y=loga x與（a＞0，a≠1）的圖像之間的關系，感知函數(shù)y=ax與y=loga x（a＞0，a≠1）的圖像之間的關系。在抽象函數(shù)圖像特征教學的過程中，教師借助TI圖形計算器不僅培養(yǎng)了學生的自主探究能力，也發(fā)展了他們數(shù)學抽象、直觀想象等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

二、理解抽象函數(shù)的性質，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)

在直觀感受冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像特征的基礎上，還要會用數(shù)學的符號語言來表達，這對剛剛進入高中階段的學生而言，既是一次數(shù)學學習的飛躍，也是難得的學習體驗，借助技術的輔助充分體會數(shù)學的“味道”。

如在用數(shù)學語言刻畫冪函數(shù)單調性的過程中，教師可以利用TI圖形計算器直觀演示直角坐標系中的兩個點及其坐標，引導學生形成用坐標刻畫左右及上下相對位置關系的意識；隨后再借助TI圖形計算器從左至右動態(tài)演示圖像上的點或直接從左至右拖動圖像上的點，引導學生通過觀察圖像上的點從左至右橫、縱坐標的變化，進而感知函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大的含義，即如果我們把這兩個點的橫坐標分別記為x1、x2，對應的函數(shù)值分別記為y1、y2，那么函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大即為：當x1＜x2時，y1＜y2。這樣就形成了a＞0時冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是嚴格增函數(shù)的符號表述。通過類比，學生還可以得到a＜0時冪函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是嚴格減函數(shù)的符號表述。根據(jù)《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》的理念，不僅要利用技術手段增強數(shù)學的直觀性，更要進一步側重引導學生如何用數(shù)量關系來刻畫幾何直觀。學會了刻畫冪函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律，學生再去嘗試刻畫指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)函數(shù)值的變化規(guī)律，鞏固、發(fā)展對函數(shù)單調性的理解，這就為第五章學習一般函數(shù)的單調性奠定了基礎。

三、形成從幾何直觀到嚴格論證的代數(shù)說理，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

完成了對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)分別是嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)的數(shù)學符號語言的刻畫，還需用代數(shù)運算的方法加以證明，這與舊教材直接由圖像歸納三類函數(shù)的性質完全不同，凸顯了新教材重視發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)。

新教材中是按照“特殊到一般、具體到抽象”的原則，把奇偶性放在三類具體函數(shù)的后面學習。那么如何幫助學生解決這個難點，弄清楚冪函數(shù)圖像的位置規(guī)律，做到繁而不亂呢?學生借助TI圖形計算器作出大量冪函數(shù)的圖像，按不同位置進行梳理，猜測各種情況的圖像特征，并借助TI圖形計算器的列表功能去觀察、分析圖像位置的不同情況以及圖像上點的分布規(guī)律。通過列表，學生很容易歸納出以下三種情況：①圖像不具有對稱性的，位于第一象限；②圖像關于y軸對稱的，位于第一、二象限；③圖像關于原點對稱的，位于第一、三象限。完成了圖像分布特征的抽象，如何用代數(shù)運算的方法說明冪函數(shù)的對稱性呢？以函數(shù)為例，借助TI圖形計算器的分屏與列表功能，學生可以觀察到圖像上的點（–1，1）關于y軸的對稱點（1，1）仍在圖像上，點（–2，0.62）關于y軸的對稱點（2，0.62）也在圖像上。一般地，函數(shù)圖像上的所有點關于y軸的對稱點是否仍在函數(shù)的圖像上？選一個一般化的點，判斷點是否滿足，引導學生抽象出代數(shù)說理的方法。這樣不僅借助技術幫助學生清晰地建立冪函數(shù)的整體的直觀形象，鞏固學生對圖像對稱性的代數(shù)說理，同時也為函數(shù)y=ax與、y=loga x與及y=ax與y=loga x（a＞0，a≠1）圖像之間的關系的代數(shù)說理打下了基礎，有助于學生邏輯推理素養(yǎng)的提升。

再如對冪函數(shù)第二課時中例5、例6的教學，多數(shù)學生會根據(jù)初中階段已有知識直觀地說出“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律，但講不清楚為什么是這樣。在直觀認識的基礎上，為了進一步幫助學生增強對圖像平移的代數(shù)理解，教師可以利用TI圖形計算器的分屏與列表功能，引導學生觀察兩個函數(shù)圖像上的點的橫、縱坐標之間的關系，體會圖像之間的平移關系。函數(shù)的圖像上的點（1，1）向右平移2個單位后的點（3，1）在函數(shù)的圖像上，點向右平移2個單位后的點也在函數(shù)的圖像上，那么一般地，函數(shù)的圖像上所有的點向右平移2個單位后的點都在函數(shù)的圖像上嗎？選一個一般化的點，判斷點的坐標是否滿足。這樣不僅抽象出圖像平移的代數(shù)運算的說理方法，也可以幫助學生用集合的觀點體會為什么需分兩個方面加以說明，同時鞏固了關于函數(shù)圖像對稱性的代數(shù)運算的說理方法，發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)。

整體思考、整體設計，以知識鏈為主線，融合數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學學科核心素養(yǎng)，是落實新課標理念的基本思路。類比冪函數(shù)的學習，繼續(xù)沿用幾何直觀和代數(shù)運算的方法來探究指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質，在感知圖像特征及性質的過程中，發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)；在用代數(shù)運算的方法證明的過程中提升學生邏輯推理素養(yǎng)；在利用函數(shù)模型解決科學領域和日常生活中的一些實際問題的過程中，發(fā)展學生數(shù)學建模素養(yǎng)。這是函數(shù)單元落實核心素養(yǎng)的基本做法。

如在形成冪函數(shù)單調性的代數(shù)說理的過程中，按照“特殊到一般”的原則，可通過分別證明y=x2、是（0，+∞）上的嚴格增函數(shù)，引導學生從中體會冪的指數(shù)已經擴充到了實數(shù)，而且在擴充的過程中，到了分數(shù)指數(shù)冪和無理數(shù)指數(shù)冪，結合、，學生體會到作差比較法沒有作商比較法來得更直接；到了無理數(shù)指數(shù)冪，不等式的基本性質不好用了；按照正難則反的原則，還有學生會想到反證法，而反證法更是困難重重。這就凸顯引進冪的基本不等式的必要性。此時，再去證明a＞0時冪函數(shù)y=xa是（0，+∞）上的嚴格增函數(shù)必定順理成章、水到渠成。這也為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性的證明打下基礎。

學生在感知函數(shù)的圖像特征及性質、形成抽象思維的過程中，借助TI圖形計算器親歷知識的形成過程，豐富學習體驗，主動進行知識建構，掌握研究函數(shù)的基本方法，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)，從中我們可以體會到技術改善教學的重要意義，體會到新課標、新教材更加重視信息技術與教學的深度融合。當然在運用技術的過程中，教師也要遵循認知規(guī)律、把握數(shù)學本質，把技術用得恰到好處，不能淡化數(shù)學本質，不能代替學生的數(shù)學思維過程，不能缺少必要的邏輯推理。