魯棒融合Kalman濾波在異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制中的應(yīng)用

王新賀，孫小君,2，*

(1.黑龍江大學(xué) 電子工程學(xué)院，哈爾濱 150080；2. 黑龍江省信息融合估計(jì)與檢測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150080)

0 引 言

異步電機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域遍及農(nóng)業(yè)、日用家電、航天、計(jì)算機(jī)以及小水電站、風(fēng)力發(fā)電等[1]。其優(yōu)點(diǎn)主要為結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)行可靠、制造容易、價(jià)格低廉、堅(jiān)固耐用。但在高特性異步電機(jī)控制過(guò)程中，一般需要進(jìn)行轉(zhuǎn)速的反饋調(diào)節(jié)控制。常用的轉(zhuǎn)速傳感器，如測(cè)量速度的發(fā)電機(jī)檢測(cè)和反饋轉(zhuǎn)速信號(hào)存在一些費(fèi)用或安裝上的問(wèn)題。因此，無(wú)傳感器的轉(zhuǎn)速控制逐漸引起了人們的關(guān)注。近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者做了許多的研究，研究方法有模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)法[2]、直接計(jì)算法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4]、Kalman濾波法等[5]。模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)法：其轉(zhuǎn)子磁鏈?zhǔn)怯呻妷耗Ｐ蛠?lái)估算得出的，將產(chǎn)生定子電阻不真實(shí)或電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中定子電阻變化影響低速估計(jì)效果，以及利用純積分環(huán)節(jié)出現(xiàn)誤差的累積，導(dǎo)致速度估算結(jié)果不真實(shí)的問(wèn)題。直接計(jì)算法：基于穩(wěn)態(tài)模型的估計(jì)方法在動(dòng)態(tài)過(guò)程中不易跟蹤真實(shí)的滑移。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法：其訓(xùn)練強(qiáng)度高，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練和學(xué)習(xí)時(shí)間較長(zhǎng)。Kalman濾波算法：不僅達(dá)到了高精度和實(shí)時(shí)性的標(biāo)準(zhǔn)，而且增強(qiáng)了系統(tǒng)的控制能力[5]。文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Kalman濾波算法進(jìn)行了異步電機(jī)的轉(zhuǎn)速控制研究，但僅是考慮單傳感器情形。

多傳感器信息融合問(wèn)題是通過(guò)組合局部觀測(cè)或局部狀態(tài)估計(jì)得到全局融合的狀態(tài)估計(jì)，從而有效提高整體狀態(tài)估計(jì)的精度。融合問(wèn)題廣泛出現(xiàn)在軍事、目標(biāo)跟蹤、信息處理、GPS定位、遙感、通訊等領(lǐng)域[6-8]。目前常用的融合方法主要有集中式和分布式[9-10]。在分布式狀態(tài)融合中，為了克服局部互協(xié)方差或相關(guān)陣未知或難于計(jì)算的問(wèn)題，又出現(xiàn)了魯棒加權(quán)融合算法[11]。魯棒加權(quán)融合即協(xié)方差交叉(Covariance Intersection, CI)融合算法，該方法在僅局部無(wú)偏估值及其誤差方差陣的估值已知，而局部估值誤差實(shí)際方差和互協(xié)方差未知的情況下，給出了實(shí)際融合誤差方差陣的一個(gè)公共上界，從而是一種具有魯棒性的融合算法[12-13]。文獻(xiàn)[14]給出了一種快速協(xié)方差交叉融合算法，文獻(xiàn)[15]基于協(xié)方差融合算法提出了一種分層多簇?zé)o線傳感器網(wǎng)絡(luò)多速率跟蹤算法。但目前關(guān)于協(xié)方差交叉魯棒融合的應(yīng)用研究尚屬少數(shù)。

本文以異步電動(dòng)機(jī)速度控制為應(yīng)用背景，進(jìn)行批處理協(xié)方差交叉(Batch Covariance Intersection, BCI)魯棒融合Kalman濾波算法的應(yīng)用研究。相比文獻(xiàn)[5]，提出的算法提高了異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制中負(fù)載轉(zhuǎn)矩的估計(jì)精度。并在仿真部分通過(guò)協(xié)方差橢圓給出了局部與融合濾波器的精度關(guān)系，證明了提出的算法的有效性和可行性。

1 異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)模型

根據(jù)三相異步電動(dòng)機(jī)的結(jié)構(gòu)和原理，對(duì)實(shí)際電動(dòng)機(jī)進(jìn)行簡(jiǎn)化，抽象出理想電動(dòng)機(jī)模型，做出如下的假設(shè)[1]：①假定電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子的三相繞組相差120°，即絕對(duì)對(duì)稱;②所有繞組的互感和自感是完全不變的;③排除飽和渦流、空間諧波以及磁滯損失的負(fù)面改變;④排除頻率和溫度對(duì)繞組電阻R的負(fù)面影響;⑤不管氣隙磁場(chǎng)的高次諧波如何，磁動(dòng)勢(shì)沿氣隙圓周都顯示為正弦曲線。

將異步電機(jī)的轉(zhuǎn)子等效成繞線轉(zhuǎn)子，然后將它的參數(shù)折算到定子一側(cè)，通過(guò)折算讓各相的匝數(shù)保持一致，三相異步電機(jī)的物理模型見(jiàn)圖1[1]。在空間中固定的定子軸A、B、C完全對(duì)稱。其中A軸為參考坐標(biāo)軸；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)A、B、C軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；按照規(guī)定，所有繞組的電壓、電流和磁鏈正方向都要符合右手螺旋規(guī)則并且遵循電動(dòng)機(jī)慣例。推導(dǎo)出電壓方程、磁通方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程組成的感應(yīng)電機(jī)在三相靜止坐標(biāo)系下具體的數(shù)學(xué)模型[1]。本文主要考慮轉(zhuǎn)矩方程。

圖1 三相異步電機(jī)物理模型Fig.1 Physical model of three phase asynchronous motor

與電機(jī)在正常工作規(guī)定的轉(zhuǎn)矩對(duì)比，即便在正常工作情況下規(guī)定的轉(zhuǎn)速，黏滯系數(shù)產(chǎn)生的摩擦轉(zhuǎn)矩也非常低，可直接忽略。假定異步電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程忽略扭轉(zhuǎn)彈性和黏性摩擦后：

(1)

式中：Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；J為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωr為電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度；θr為電機(jī)轉(zhuǎn)子位置。

對(duì)于異步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的采樣控制周期會(huì)非常短。因此可以把負(fù)載轉(zhuǎn)矩近似的視為一個(gè)常數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)也就相應(yīng)的看成0。由此，上式變?yōu)閇8]

(2)

(3)

假設(shè)系統(tǒng)是完全能控完全能觀的，同時(shí)過(guò)程ω(k)和vi(k)是均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)序列，它們之間沒(méi)有任何關(guān)系。在均方誤差最低的情況下，可推導(dǎo)出狀態(tài)矢量的最優(yōu)預(yù)測(cè)值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)一定的濾波估計(jì)?；谙到y(tǒng)模型(2)和(3)，在考慮模型誤差以及觀測(cè)噪聲擾動(dòng)的情況下，可得多傳感器異步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間模型:

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Gω(k)

(4)

yi(k)=Cix(k)+vi(k),i=1,…,L

(5)

其中:x(k)為狀態(tài)變量;yi(k)為第i個(gè)傳感器的測(cè)量向量;ω(k)為模型噪聲向量;u(k)為輸入向量；vi(k)為第i個(gè)傳感器的測(cè)量噪聲向量。

且有

(6)

其中:Ci為系統(tǒng)觀測(cè)陣，具體形式可根據(jù)實(shí)際需要設(shè)定。

在對(duì)轉(zhuǎn)速檢測(cè)的噪聲真實(shí)觀測(cè)后，以呈正態(tài)分布，均值為零的平穩(wěn)隨機(jī)序列近似的對(duì)ω(k)和vi(k)進(jìn)行模型的建立。G,ω,vi為

(7)

式中:Umax為輸入量的最大值;Unoise為輸入量的模型誤差;Tnoise為負(fù)載轉(zhuǎn)矩的模型誤差;yi_noise為第i個(gè)傳感器的觀測(cè)誤差;Ts為系統(tǒng)的采樣控制周期。

脈寬調(diào)制型逆變器和電機(jī)模型的不理想情況下產(chǎn)生的模型誤差包含電機(jī)的摩擦力矩。模型干擾和監(jiān)測(cè)干擾的協(xié)方差矩陣：

(8)

其中:q1為電磁轉(zhuǎn)矩協(xié)方差;q2為負(fù)載轉(zhuǎn)矩協(xié)方差;ri為測(cè)量值協(xié)方差。

矩陣Q和Ri中各元素的值由實(shí)際的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)確定，需要通過(guò)反復(fù)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定，以獲得更好的控制效果。

2 魯棒融合Kalman濾波器算法

2.1 簡(jiǎn)化的局部Kalman濾波算法

文獻(xiàn)[5]可得多傳感器異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的簡(jiǎn)化的局部Kalman濾波算法。

對(duì)于多傳感器異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)(4)和(5)，應(yīng)用Kalman濾波算法，可得如下迭代方程:

初始值：

(9)

先驗(yàn)估計(jì)：

(10)

Pi(k|k-1)=APi(k-1|k-1)AΤ+GQGΤ

(11)

最優(yōu)估計(jì)：

Ki(k)=Pi(k|k-1)CΤ(CPi(k|k-1)CΤ+Ri)-1

(12)

Pi(k|k)=(I-Ki(k)C)Pi(k|k-1)

(13)

(14)

Kalman濾波器的增益矩陣隨時(shí)間而變化，只能通過(guò)對(duì)遞推方程進(jìn)行求值?？紤]到方程中算出的協(xié)方差矩陣Pi(k|k)、Pi(k|k-1)和增益矩陣Ki(k)與詳細(xì)的測(cè)量結(jié)果yi(k)無(wú)關(guān)聯(lián)，非在線時(shí)也可計(jì)算。進(jìn)一步證明在系統(tǒng)完全可觀和完全可控的條件下Pi(k|k)、Pi(k|k-1)和Ki(k)會(huì)逐漸收斂為常值[10]。

(15)

(16)

(17)

電機(jī)是一種慣性系統(tǒng)，轉(zhuǎn)矩以及轉(zhuǎn)速不會(huì)突然大幅度的改變。在Kalman濾波算法的迭代過(guò)程中，協(xié)方差矩陣和增益矩陣分別取穩(wěn)態(tài)值Pi_inf和Ki_inf，得到如下簡(jiǎn)化的濾波器：

(18)

(19)

進(jìn)一步表示為

(20)

在確定的初值式(9)條件下，可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的一種穩(wěn)態(tài)最優(yōu)估計(jì)。

2.2 多傳感器協(xié)方差交叉融合Kalman濾波算法

協(xié)方差交叉融合是一種不需要計(jì)算局部估計(jì)誤差互協(xié)方差的全局次優(yōu)的簡(jiǎn)易融合算法，算法簡(jiǎn)單很便于實(shí)際工程應(yīng)用[10]。

(21)

(22)

其最優(yōu)權(quán)系數(shù)wi≥0滿足約束:

w1+w2+…+wL=1

(23)

極小化性能指標(biāo)：

(24)

(25)

證明：基于多傳感器異步電機(jī)轉(zhuǎn)速系統(tǒng)模型(4)和(5)，文獻(xiàn)[10]易得證。

應(yīng)用協(xié)方差交叉融合Kalman濾波對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速進(jìn)行估計(jì)，能夠明顯減小測(cè)量干擾，同時(shí)使速度控制器的性能得到了極好的改善及良好的動(dòng)態(tài)特性，轉(zhuǎn)速控制器原理見(jiàn)圖2。

圖2 協(xié)方差交叉融合卡爾曼濾波轉(zhuǎn)速控制器Fig.2 BCI robust fusion Kalman filter speed controller

3 仿真實(shí)例及分析

由文獻(xiàn)[5]，考慮如下三傳感器異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)

(26)

yi(k)=Hix(k)+vi(k),i=1,2,3

(27)

(28)

表1 局部和融合Kalman濾波誤差方差陣的跡的數(shù)值比較Tabel 1 Numerical comparison of trace of error variance matrices of local and fused Kalman filtering

圖4 局部和融合Kalman濾波誤差方差比較曲線Fig.4 Error variance comparison curves of local and fused Kalman filtering

4 結(jié) 論

本文基于多傳感器異步電機(jī)轉(zhuǎn)矩模型，進(jìn)行了協(xié)方差交叉融合Kalman濾波算法的仿真應(yīng)用研究，結(jié)果表明提出的算法完全可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多傳感器異步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的負(fù)載轉(zhuǎn)矩估計(jì)，并且估計(jì)精度高于文獻(xiàn)[5]給出的局部單傳感器的Kalman濾波器的估計(jì)精度。算法簡(jiǎn)單便于實(shí)際工程應(yīng)用。