文/吳智勇
函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,在實(shí)際生活中也有廣泛的應(yīng)用。構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題,既有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值,也有利于考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。
例1 (2021·貴州遵義)為了實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略,幫助農(nóng)民增加收入,某駐村干部指導(dǎo)農(nóng)戶進(jìn)行草莓種植和銷售。已知草莓的種植成本為8 元/千克,經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),今年五一期間草莓的銷售量y(千克)與銷售單價x(元/千克)(8≤x≤40)滿足的函數(shù)圖像如圖所示。
(1)根據(jù)圖像信息,求y與x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)求五一期間銷售草莓獲得的最大利潤。
【解答】(1)當(dāng)8≤x≤32 時,設(shè)y=kx+b(k≠0),
(2)設(shè)利潤為W,則當(dāng)8≤x≤32時,
W=(x-8)y=(x-8)(-3x+216)=-3(x-40)2+3072。
因?yàn)殚_口向下,對稱軸為直線x=40,
所以當(dāng)8≤x≤32 時,W隨x的增大而增大,所以當(dāng)x=32時,W最大=2880。
當(dāng)32<x≤40 時,W=(x-8)y=120(x-8)=120x-960。
因?yàn)閃隨x的增大而增大,所以x=40時,W最大=3840。
因?yàn)?840>2880,所以最大利潤為3840元。
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式、分段函數(shù)的表達(dá)式、二次函數(shù)的性質(zhì)。我們需要熟知的常識是“利潤=(售價-成本)×銷售量”,由此列出利潤的表達(dá)式,再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最大利潤。我們在解題的時候要注意分段函數(shù)對應(yīng)的自變量x的取值范圍和函數(shù)的增減性,要先確定函數(shù)的增減性,才能求得利潤的最大值。
例2 (2021·湖北仙桃、潛江、天門、江漢油田)去年“抗疫”期間,某生產(chǎn)消毒液廠家響應(yīng)政府號召,將成本價為6 元/件的簡裝消毒液低價銷售,為此當(dāng)?shù)卣疀Q定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進(jìn)行補(bǔ)貼。設(shè)某月銷售價為x元/件,a與x之間滿足關(guān)系式a=20%(10-x),下表是去年4 個月的銷售記錄,每月銷售量y(萬件)與該月銷售價x(元/件)之間成一次函數(shù)關(guān)系(6≤x<9)。
月份…二月三月四月五月…銷售價x(元/件)…6 7 7.6 8.5…該月銷售量y(萬件)…30 20 14 5…
(1)求y與x的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)銷售價為8 元/件時,政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼多少萬元?
(3)當(dāng)銷售價x定為多少時,該月純收入最大?
(純收入=銷售總金額-成本+政府當(dāng)月補(bǔ)貼)
【解答】(1)因?yàn)槊吭落N售量y與該月銷售價x之間成一次函數(shù)關(guān)系,
所以設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,
所以y與x的函數(shù)表達(dá)式為y=-10x+90(6≤x<9)。
(2)當(dāng)x=8時,y=-10×8+90=10(萬件),
因?yàn)閍與x之間滿足關(guān)系式a=20%(10-x),所以當(dāng)銷售價為8 元/件時,政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼為10a=10×20%(10-8)=4(萬元)。
答:當(dāng)銷售價為8 元/件時,政府該月應(yīng)付給廠家補(bǔ)貼4萬元。
(3)設(shè)該月的純收入w萬元,
則w=y[(x-6)+0.2(10-x)]=(-10x+90)(0.8x-4)=-8x2+112x-360=-8(x-7)2+32。
因?yàn)?8<0,6≤x<9,所以當(dāng)x=7 時,w最大,最大值為32萬元。
答:當(dāng)銷售價定為7 元/件時,該月純收入最大。
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式,解題關(guān)鍵是根據(jù)“純收入=銷售總金額-成本+政府當(dāng)月補(bǔ)貼”列出函數(shù)表達(dá)式,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值。
例3 (2021·廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū))
(1)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到離A點(diǎn)水平距離為4 米時,離水平線的高度為8 米,求拋物線C2的函數(shù)表達(dá)式(不要求寫出自變量x的取值范圍);
(2)在(1)的條件下,當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動的水平距離為多少米時,運(yùn)動員與小山坡的豎直距離為1米?
(3)當(dāng)運(yùn)動員運(yùn)動到坡頂正上方且與坡頂距離超過3米時,求b的取值范圍。
【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì),并能將實(shí)際問題與二次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵。
數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象,用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題,用數(shù)學(xué)知識與方法構(gòu)建模型解決問題的過程。在用函數(shù)解決銷售類實(shí)際問題的過程中,我們要先審題,明確總利潤、銷售量、單位利潤、進(jìn)價(成本)、售價這些量之間的關(guān)系,有時還要先列出方程或方程組求出基本量,再列出函數(shù)表達(dá)式,最后用函數(shù)知識解決最值問題。