□ 鄭毓信

筆者在《研究背景與基本立場(chǎng)》[1]一文中曾提到過(guò)這樣一個(gè)觀點(diǎn)：數(shù)學(xué)教學(xué)“應(yīng)當(dāng)突出‘大道理’，真正做到‘以大馭小’”。但究竟什么是這里所說(shuō)的“大道理”的具體含義與主要作用？我們又應(yīng)如何去理解文中所提及的關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的幾個(gè)“大道理”？以下就對(duì)此做出具體分析。

一、關(guān)于“大道理”的道理

“大道理”是近年來(lái)教育領(lǐng)域中經(jīng)常用到的一個(gè)詞語(yǔ)，國(guó)際上圍繞“big ideas”所開(kāi)展的研究則可被看成為此提供了重要的背景，盡管現(xiàn)實(shí)中人們?cè)谶@一方面所使用的字眼并不完全相同，包括“大思想”“大觀念”“大概念”等。

筆者認(rèn)為在這一概念的理解上仍有不少問(wèn)題需要深入思考和剖析。如對(duì)于“大道理”的過(guò)泛解讀，即將“核心概念”“核心問(wèn)題”等也包括在內(nèi)，或是將“big ideas”譯為“大概念”，從而犯了將“概念”與“命題”混淆在一起的基本邏輯錯(cuò)誤。

更重要的是，什么又應(yīng)被看成“大道理”的主要含義？就國(guó)內(nèi)而言，這是一個(gè)常見(jiàn)的做法，即將此與“單元教學(xué)”聯(lián)系在一起；但如果局限于這一認(rèn)識(shí)，對(duì)于“大道理”的提倡就沒(méi)有任何新意，特別是對(duì)此很難與強(qiáng)調(diào)“整體性觀念”做出明確的區(qū)分。筆者的看法是在此應(yīng)當(dāng)更加突出“大”這樣一個(gè)關(guān)鍵字，這也就是指，我們所考察的對(duì)象未必是“單元教學(xué)”，也可以是更大的范圍，如小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的全部?jī)?nèi)容，或是分別聚焦于小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”和幾何內(nèi)容的教學(xué)。另外還應(yīng)高度重視結(jié)論的凝聚性，也即應(yīng)當(dāng)將所說(shuō)的“大道理”歸結(jié)為幾個(gè)能夠真正起到“以大馭小”作用的普遍性結(jié)論?？傊汀按蟮览怼钡奶釤挾?，既應(yīng)重視視角的廣度，也應(yīng)關(guān)注分析的深度，由此才能引出真正的“大道理”。

例如，就小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)而言，筆者曾有過(guò)這樣一個(gè)總結(jié)：“應(yīng)當(dāng)很好地突出‘比較’這樣一個(gè)核心概念，并幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)這一方面認(rèn)識(shí)的不斷深化，包括對(duì)于‘大小’‘倍數(shù)’‘分?jǐn)?shù)’‘比’等概念的理解，并逐步學(xué)會(huì)從上述角度從事數(shù)量關(guān)系的分析。”但這顯然只是對(duì)于相關(guān)教學(xué)目標(biāo)的一個(gè)概述，而未能真正起到“以大馭小”的作用，從而就不能被看成是真正的“大道理”。

以下再聯(lián)系張奠宙先生等人的《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書對(duì)此做出進(jìn)一步的分析。正如其名稱所表明的，這也體現(xiàn)了關(guān)于“大道理”的一種理解，盡管其主要是就小學(xué)數(shù)學(xué)教材進(jìn)行分析的。

按照張奠宙先生所說(shuō)的，“大道理”主要是指“從數(shù)學(xué)的視角進(jìn)行分析思考”的結(jié)果，特別是教材應(yīng)當(dāng)“正確反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)”，而不應(yīng)在一些重要概念的理解與呈現(xiàn)上出現(xiàn)明顯的錯(cuò)誤。

相關(guān)著作共涉及28個(gè)論題。相關(guān)分析應(yīng)該說(shuō)都十分重要。但在筆者看來(lái)，這些還不能被看成是真正的“大道理”。因?yàn)?，即使我們不去考慮“28個(gè)‘大道理’是否太多了一點(diǎn)”，其也應(yīng)當(dāng)滿足這樣一個(gè)條件，即超出各個(gè)具體內(nèi)容采用了更加廣泛的視角，并應(yīng)達(dá)到更大的分析深度，從而才可能具有普遍性的指導(dǎo)意義。

例如，在筆者看來(lái)，這或許才能被看成是一個(gè)真正的“大道理”：“數(shù)學(xué)教學(xué)中有不少概念不宜過(guò)分強(qiáng)調(diào)，而應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)亍?。”與此相對(duì)照，以下一些論述則只是這一思想的具體運(yùn)用或相關(guān)實(shí)例。

“乘數(shù)、被乘數(shù)概念的過(guò)分強(qiáng)調(diào)，對(duì)日后的學(xué)習(xí)并無(wú)益處，反而與乘法交換律相沖突?！薄按髷?shù)的讀法，只要把數(shù)字和它的數(shù)位讀出來(lái)，別人能明白、不會(huì)誤讀就可以了，不要過(guò)多地拘泥于‘零’的讀法問(wèn)題?！薄拔乙恢辈毁澇捎脙蓷l射線來(lái)定義角……我們可以先用兩條線段定義一個(gè)角，然后發(fā)現(xiàn)線段長(zhǎng)一點(diǎn)或短一點(diǎn)仍舊是這個(gè)角，于是提出一個(gè)角的相等性質(zhì)……這樣一來(lái)，就不必麻煩射線來(lái)幫忙了?！盵2]17，11，139

應(yīng)當(dāng)再次強(qiáng)調(diào)的是，上述分析不是指相關(guān)論述不重要，而是指它們不能被看成真正的“大道理”，因?yàn)?，它們未能達(dá)到這樣兩條標(biāo)準(zhǔn)：第一，具有更大的普遍性；第二，達(dá)到了更大的分析深度。

當(dāng)然，對(duì)于這方面的具體工作，我們又不應(yīng)停留于“數(shù)學(xué)中有些概念應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)亍边@樣一個(gè)論述，而應(yīng)進(jìn)一步指明相關(guān)教學(xué)所應(yīng)注意的問(wèn)題，包括幫助廣大教師更好地認(rèn)識(shí)到做好這方面工作的重要性。因?yàn)?，這正是當(dāng)前十分普遍的一個(gè)現(xiàn)象，即不少教師要求學(xué)生無(wú)一遺漏地去背誦所遇到的各個(gè)概念，乃至通過(guò)專門的習(xí)題設(shè)計(jì)，特別是考試，強(qiáng)迫學(xué)生牢牢地加以記憶。但是，這種面面俱到、死記硬背的做法，最終一定不可能取得很好的結(jié)果。

以下就是這方面工作應(yīng)當(dāng)特別重視的一些問(wèn)題。

1.對(duì)數(shù)學(xué)概念的重要性做出辨識(shí)。人們往往只注意了哪些概念特別重要，乃至將其看成所謂的“核心概念”，卻沒(méi)有認(rèn)真地去思考哪些概念不那么重要；當(dāng)然，“胡子眉毛一把抓”，未能切實(shí)做好“分清主次”，這又是更加錯(cuò)誤的一種做法。進(jìn)而，相對(duì)于簡(jiǎn)單的列舉而言，我們又應(yīng)更加重視自身在這一方面能力的培養(yǎng)，因?yàn)?，“重要”與“不重要”事實(shí)上只是一個(gè)相對(duì)的概念。例如，即使就一堂課的教學(xué)而言，也同樣存在“分清主次”的問(wèn)題。另外，這顯然也是我們應(yīng)當(dāng)特別重視“整體性觀念”指導(dǎo)的主要原因。

以下就是這方面的一個(gè)可能標(biāo)準(zhǔn)：相關(guān)概念的掌握對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是否有重要影響？例如，我們或許可從這一角度去理解張奠宙先生的以下論述：“在教學(xué)上，背誦‘含有未知數(shù)的等式叫方程’的定義沒(méi)有必要。事實(shí)上，沒(méi)有人會(huì)因?yàn)闆](méi)有記住這一定義就不會(huì)做數(shù)學(xué)題?！盵2]41類似地，突出強(qiáng)調(diào)“角的邊是射線”也無(wú)必要，因?yàn)?，這里真正重要的是這樣一個(gè)事實(shí)——“角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)”。

2.要“淡化”，不應(yīng)丟棄。這事實(shí)上也可被看成美國(guó)新一輪課程改革給予我們的一個(gè)重要啟示或教訓(xùn)：實(shí)踐中人們常?！皩ⅰ墩n程標(biāo)準(zhǔn)》中所列舉的應(yīng)當(dāng)?shù)恼擃}（topics to receive decreased attention）不恰當(dāng)?shù)亟忉尦蓱?yīng)把這些論題從學(xué)校數(shù)學(xué)課程中完全舍去”，這當(dāng)然是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤。[3]

在筆者看來(lái)，我們可從同一角度去理解張奠宙先生多次強(qiáng)調(diào)的這樣一個(gè)思想：小學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)概念的理解“可以混，但不能錯(cuò)”。例如，盡管不應(yīng)過(guò)分強(qiáng)調(diào)乘數(shù)與被乘數(shù)的區(qū)分，但如果將“乘法交換律”歸結(jié)為表述方式的不同，即只是在學(xué)習(xí)乘法的過(guò)程中簡(jiǎn)單地去提及“2×7=14”也可寫成“7×2=14”，就不能不說(shuō)是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤。因?yàn)椋俺朔ń粨Q律只是說(shuō)交換次序相乘之后其結(jié)果相同，沒(méi)有說(shuō)這兩個(gè)過(guò)程相同”。[2]15

進(jìn)而，這或許就可被看成對(duì)于所說(shuō)的“混”的一個(gè)具體解釋：學(xué)生對(duì)于一些數(shù)學(xué)概念的理解在學(xué)習(xí)時(shí)可能不那么清楚，但在大多數(shù)情況下所說(shuō)的情況又會(huì)隨著學(xué)習(xí)的深入自然而然地得到解決。

3.淡化形式，注重實(shí)質(zhì)。相對(duì)于上述分析，我國(guó)已故著名數(shù)學(xué)家陳重穆先生的以下主張應(yīng)當(dāng)說(shuō)具有更大的重要性：“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)?！币?yàn)?，這不僅清楚地表明了教學(xué)中“不應(yīng)做什么”，也包括“應(yīng)當(dāng)做什么”，如教學(xué)中我們“不要把概念放在最前”“不要把概念看成百分之百的不可變動(dòng)、神圣不可侵犯”“不要單純?cè)诟拍畋旧砩舷鹿Ψ颉?，而?yīng)把重點(diǎn)放在對(duì)實(shí)質(zhì)的領(lǐng)悟上，等等。[4]進(jìn)而，無(wú)論相關(guān)的概念是否重要，這一思想應(yīng)當(dāng)說(shuō)都是同樣適用的，包括更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從而就是一個(gè)真正的“大道理”。

例如，就“方程”概念的教學(xué)而言，相對(duì)于要求學(xué)生簡(jiǎn)單地去背誦“含有未知數(shù)的等式叫方程”這樣一個(gè)定義，我們?cè)诮虒W(xué)中就應(yīng)更加突出這樣兩點(diǎn)：第一，引入“方程”是為了尋求未知數(shù)，這是方程的“核心價(jià)值”；第二，為了實(shí)現(xiàn)所說(shuō)的目標(biāo)，我們應(yīng)注意分析未知數(shù)與已知數(shù)之間的等量關(guān)系，也即應(yīng)當(dāng)用“等式”將兩者聯(lián)系起來(lái)。另外，正如前面所提及的，就“角”的認(rèn)識(shí)而言，我們也不應(yīng)過(guò)多地糾纏于“角的邊究竟是射線還是線段”，因?yàn)?，“一條直線相對(duì)于另一條直線的傾斜度，才是角的本質(zhì)”。再則，這也可被看成這方面的又一典型例子：“假分?jǐn)?shù)假在哪里？”[2]41,140-141

最后，如果說(shuō)先前的論述已清楚地表明數(shù)學(xué)概念的教學(xué)應(yīng)當(dāng)突出“辨”這樣一個(gè)關(guān)鍵字，即很好地弄清什么是真正重要的，什么是不那么重要的，那么，對(duì)此我們還應(yīng)賦予其另一重要的含義，即應(yīng)當(dāng)弄清概念的本質(zhì)，什么則是不那么重要的“形式”。

另外，正如筆者在《研究背景與基本立場(chǎng)》一文中所指出的，除去“辨”以外，“帶”也是概念教學(xué)十分重要的一個(gè)關(guān)鍵詞，即我們應(yīng)當(dāng)用重要（核心）概念的教學(xué)帶動(dòng)不那么重要（非核心）概念的教學(xué)。例如，在筆者看來(lái)，我們就可從后一角度更好地去理解俞正強(qiáng)老師的這樣一個(gè)經(jīng)驗(yàn)——“以發(fā)展代替重復(fù)”。希望廣大一線教師也能通過(guò)自己的教學(xué)實(shí)踐與認(rèn)真的總結(jié)和研究，在這方面做出自己的貢獻(xiàn)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“大道理”（1）

以下針對(duì)小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)指明相應(yīng)的“大道理”，我們?nèi)匀灰浴缎W(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理——核心概念的理解與呈現(xiàn)》一書作為分析的直接背景。

具體地說(shuō)，這一著作中有很多內(nèi)容都可被歸屬于“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”這樣一個(gè)范圍，如“用溫度計(jì)引入負(fù)數(shù)，并不理想”“分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)”“‘文字代表數(shù)’的教學(xué)”“忽視‘包含除’后患無(wú)窮”“‘比’和‘除’不可混為一談”等。這些論述顯然都很重要，但是，按照先前關(guān)于“大道理”的解讀，在此仍然有這樣一個(gè)問(wèn)題，即我們?nèi)绾文軌虺鲞@些內(nèi)容，并從更高的層面揭示出具有更大普遍性的思想或原則，也即關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”教學(xué)真正的“大道理”？

這一工作有重要的現(xiàn)實(shí)意義：眾所周知，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)之間存在一定的差異或間隔，這使不少小學(xué)畢業(yè)生未能很快適應(yīng)中學(xué)這樣一個(gè)新的環(huán)境，從而在學(xué)習(xí)上出現(xiàn)了一定的退步。但是，究竟什么是所說(shuō)的差異或間隔的主要含義，我們又應(yīng)如何去解決其對(duì)學(xué)生造成的消極影響？筆者提出這樣一個(gè)想法：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中有不少優(yōu)點(diǎn)值得中學(xué)教師認(rèn)真學(xué)習(xí)和借鑒。需要強(qiáng)調(diào)的是：小學(xué)教師也應(yīng)為消除所說(shuō)的差距做出積極努力，即應(yīng)當(dāng)通過(guò)自己的教學(xué)為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。

但這是否指小學(xué)應(yīng)當(dāng)盡早引入中學(xué)數(shù)學(xué)的一些內(nèi)容，如負(fù)數(shù)、方程、字母代表數(shù)等？正如張奠宙先生指出的，與簡(jiǎn)單的“提前”相比，我們應(yīng)當(dāng)更加重視“把更高的想法、思維滲透進(jìn)去”。[2]168這也就直接關(guān)系到“大道理”的提煉。

以下仍以“方程”的學(xué)習(xí)為例來(lái)進(jìn)行分析。方程方法與小學(xué)生熟悉的算術(shù)方法相比在思維層面上究竟有什么不同？以下就是張先生的相關(guān)論述：

“用方程或算術(shù)方法解題的思維路線往往是相反的。打一個(gè)比方：如果將要求的答案比喻為河對(duì)岸的一塊寶石，那么算術(shù)方法好像摸著石頭過(guò)河，從我們知道的岸邊開(kāi)始，一步一步摸索著接近對(duì)岸的未知目標(biāo)；而代數(shù)方法卻不同，好像是將一根帶鉤的繩子拋過(guò)河，拴住對(duì)岸的未知數(shù)（建立一種關(guān)系），然后利用這根繩子（關(guān)系）慢慢地拉過(guò)來(lái)，最終獲得這塊寶石。兩者的思維方向相反，但是結(jié)果相同?！盵2]43

但是，與單純強(qiáng)調(diào)思維的方向相比，筆者以為，以下的區(qū)別更加重要：算術(shù)方法主要體現(xiàn)的是“程序（操作）性觀念”，也即集中于如何能夠按照一定步驟去求得未知數(shù)；而方程方法則主要體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)（關(guān)系）性觀念”，也即關(guān)注未知數(shù)與已知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系（特別是等量關(guān)系），包括如何通過(guò)用文字代表未知數(shù)將所說(shuō)的關(guān)系清楚地表示出來(lái)，然后通過(guò)純形式的操作去求得未知數(shù)。

由此可見(jiàn)，文字的引入，即用字母表示數(shù)也是中小學(xué)數(shù)學(xué)的又一重要區(qū)別。但在筆者看來(lái)，如果我們因此就認(rèn)定應(yīng)當(dāng)“用方程思想統(tǒng)領(lǐng)文字表示數(shù)”并不恰當(dāng)，因?yàn)椋鷶?shù)與算術(shù)的主要區(qū)別并不在于有沒(méi)有用到字母，而是僅僅將此看成未知數(shù)的代表且體現(xiàn)了更高層次的抽象，以及研究領(lǐng)域的極大擴(kuò)展：按照代數(shù)的觀念，由字母與數(shù)組成的“式”也應(yīng)被看成真正的數(shù)學(xué)對(duì)象，也即我們可以按照一定的法則對(duì)此進(jìn)行組合和操作（運(yùn)算）。

總之，無(wú)論單純強(qiáng)調(diào)思維方向的不同，或是將“代數(shù)思想”歸結(jié)為“方程思想”，應(yīng)當(dāng)說(shuō)都是不恰當(dāng)?shù)?。與此相對(duì)照，以下的論述則應(yīng)引起我們更大的重視：“小學(xué)里學(xué)的數(shù)學(xué)大都是從生活到數(shù)學(xué)的，即實(shí)踐型的；而學(xué)生今后學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)多半是從數(shù)學(xué)到生活的，即智力型的?！盵2]78對(duì)此我們還應(yīng)做出一定的改進(jìn)：如果說(shuō)小學(xué)數(shù)學(xué)特別重視與實(shí)際生活的聯(lián)系，那么，中學(xué)數(shù)學(xué)就表現(xiàn)出了與實(shí)際生活的明確分離，也即更大的相對(duì)獨(dú)立性。也正因?yàn)榇?，為了幫助學(xué)生更好地適應(yīng)中學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們就應(yīng)在后一方面為學(xué)生做好必要的準(zhǔn)備，如隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)，我們應(yīng)更加重視按照“思維的合理發(fā)展”對(duì)于數(shù)學(xué)的發(fā)展做出說(shuō)明，包括清楚地指明數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)事實(shí)上即是一個(gè)“重新建構(gòu)”的過(guò)程，等等。

當(dāng)然，為了提煉出相應(yīng)的“大道理”，我們又應(yīng)注意必要的聚焦。以下就是筆者在這方面的具體認(rèn)識(shí)：小學(xué)關(guān)于“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“比較”這一核心概念，從而幫助學(xué)生很好地掌握“大小”“倍數(shù)”“分?jǐn)?shù)”“比”等概念，也應(yīng)幫助學(xué)生逐步建立關(guān)于“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的整體性認(rèn)識(shí)，特別是清楚地認(rèn)識(shí)它的豐富性與層次性、開(kāi)放性與統(tǒng)一性等，并能真正做好“化多為少”“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”，包括更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的關(guān)系。

以下就依據(jù)這一觀點(diǎn)對(duì)諸多相關(guān)問(wèn)題做出具體分析，從而很好地體現(xiàn)“大道理”所應(yīng)滿足的這樣一個(gè)條件，從更高層面為各個(gè)具體問(wèn)題提供重要指導(dǎo)。

具體地說(shuō)，對(duì)于“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”的強(qiáng)調(diào)即可被看成這一論述的核心，包括“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性和開(kāi)放性這樣兩個(gè)特征。

1.所謂“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性，首先是指數(shù)學(xué)對(duì)象之間存在多種聯(lián)系，并具有“雙向”的性質(zhì)，或者說(shuō)，我們應(yīng)很好地認(rèn)識(shí)“逆向思維”的重要性。

例如，從后一角度進(jìn)行分析，我們就可有效地避免在“除法”問(wèn)題的理解上所容易出現(xiàn)的“忽視‘包含除’”這樣一個(gè)錯(cuò)誤：“所謂除法，是指‘已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算’。這兩個(gè)因數(shù)地位平等。例如，在分餅干的情境中，餅干總數(shù)=人數(shù)×份額。參與平均分的人數(shù)和每人分得的數(shù)量，是構(gòu)成餅干這一乘積的兩個(gè)地位平等的因數(shù)。這樣一來(lái)，從除法的意義進(jìn)行分析，等分除與包含除乃是同一情境里的兩類互相依存的除法問(wèn)題，可以說(shuō)二者是一對(duì)‘孿生兄弟’，彼此密切相關(guān)?！盵2]82

其次，“多元性”也是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”豐富性的又一重要含義，而這又不僅是指對(duì)象的多樣性，也包括表征的多樣性。例如，后者就是分?jǐn)?shù)十分重要的一個(gè)特點(diǎn)；另外，以上關(guān)于“除法”不同意義的分析顯然表明，所說(shuō)的多樣性在運(yùn)算上也有直接的表現(xiàn)，我們可從同一角度對(duì)加減法等運(yùn)算做出自己的分析。

更一般地說(shuō)，筆者以為，這就是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一個(gè)問(wèn)題，即應(yīng)很好地處理“多”與“一”之間的辯證關(guān)系，這更直接關(guān)系到了“抽象性”這一數(shù)學(xué)的基本特征。

最后，正如筆者在《研究背景與基本立場(chǎng)》一文中指出的，這就是人們何以使用“結(jié)構(gòu)”這一詞語(yǔ)的主要原因，即無(wú)論就各種數(shù)學(xué)對(duì)象或是它們之間的關(guān)系，我們都可做出一定的層次區(qū)分。如“加減法”與“乘除法”顯然就應(yīng)歸結(jié)為兩個(gè)不同的層次；由數(shù)向字母（式）的過(guò)渡則清楚地表明了研究對(duì)象的不同層次。

2.教學(xué)中我們還應(yīng)幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的發(fā)展性與開(kāi)放性。例如，我們顯然就應(yīng)從這一角度更好地認(rèn)識(shí)引入“分?jǐn)?shù)”與“小數(shù)”的意義，包括“分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)”這樣一個(gè)結(jié)論，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)清楚地指明相關(guān)發(fā)展的合理性和必要性，如有理數(shù)的引入主要是為了“表示意義相反的量”。[2]127,66

在此我們還應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)相對(duì)于分?jǐn)?shù)和小數(shù)的特殊性：除去現(xiàn)實(shí)的需要，負(fù)數(shù)的引入也清楚地表明了從純形式的角度進(jìn)行分析研究的重要性，因?yàn)?，“?fù)數(shù)不是測(cè)量出來(lái)的。凡是能夠量出來(lái)的都是正數(shù)”。進(jìn)而，又如以下論述所清楚地表明的，如果相關(guān)教學(xué)未能很好地體現(xiàn)出這樣一個(gè)思想，我們就會(huì)因此喪失促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的一個(gè)重要契機(jī)：“負(fù)數(shù)是由具體數(shù)學(xué)向形式數(shù)學(xué)的第一次轉(zhuǎn)折。要完全掌握這種轉(zhuǎn)折中出現(xiàn)的問(wèn)題，需要有高度的抽象能力。”“我認(rèn)為超越直觀而運(yùn)用推理方法的首先是負(fù)數(shù)?！雹僭诠P者看來(lái)，這也清楚地表明了深入思考以下問(wèn)題的重要性：如果說(shuō)負(fù)數(shù)的引入在數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)歷了很長(zhǎng)一段時(shí)期，那么，將此（以及其他一些內(nèi)容）簡(jiǎn)單“下放”到小學(xué)是否就違背了這樣一個(gè)規(guī)律，即個(gè)人的思維發(fā)展必然會(huì)在很大程度上重復(fù)人類認(rèn)識(shí)的整體發(fā)展過(guò)程。[2]75,78

最后，這或許也可被看成“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”發(fā)展性的又一重要表現(xiàn)，即隨著學(xué)習(xí)的深入，“變”與“不變”的關(guān)系表現(xiàn)出了越來(lái)越大的重要性。

例如，從后一角度我們可更好地理解數(shù)學(xué)中為什么要專門引入“比”這樣一個(gè)概念，包括為什么不將此與“除法”簡(jiǎn)單地等同起來(lái)。因?yàn)?，在此我們所關(guān)注的主要是兩個(gè)量之間的關(guān)系，特別是變化中的不變因素，而不是如何通過(guò)具體計(jì)算去求得相應(yīng)的“比值”。當(dāng)然，這事實(shí)上也可被看成由“程序性觀念”轉(zhuǎn)向“結(jié)構(gòu)性觀念”的又一實(shí)例。

3.這是現(xiàn)實(shí)中經(jīng)?？梢月?tīng)到的一個(gè)觀點(diǎn)：結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)主要應(yīng)被歸屬于靜態(tài)的研究，生成性分析則代表了動(dòng)態(tài)的研究。但由上述分析可以看出，結(jié)構(gòu)分析也包括動(dòng)態(tài)的研究，或者說(shuō)，它更好地體現(xiàn)了動(dòng)態(tài)研究與靜態(tài)分析的辯證統(tǒng)一。

依據(jù)“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的層次性質(zhì)，我們可更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)發(fā)展的這樣一個(gè)特征：數(shù)學(xué)發(fā)展主要的不是指量的積累，特別是“數(shù)”的領(lǐng)域的不斷擴(kuò)展，而是包含有重要的質(zhì)的變化，特別是不斷達(dá)到新的、更高的抽象層次。

顯然，從認(rèn)識(shí)的角度看，這也清楚地表明了思維的不斷優(yōu)化對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特殊重要性，包括觀念的必要更新等。在筆者看來(lái)，我們應(yīng)當(dāng)將此看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)。當(dāng)然，對(duì)此我們也不應(yīng)理解成“由具體到抽象”的單向運(yùn)動(dòng)，因?yàn)椋J(rèn)識(shí)的深化也是一個(gè)“再認(rèn)識(shí)”的過(guò)程。特別是，如果說(shuō)“由少到多”“由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”即可被看成數(shù)學(xué)發(fā)展的基本形式，那么，這就是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)發(fā)展應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的一個(gè)目標(biāo)——“化多為少”“化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”。

例如，現(xiàn)代研究表明，大多數(shù)復(fù)雜的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)都可歸結(jié)為這樣三種重要的基本結(jié)構(gòu)（“母結(jié)構(gòu)”）：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

最后，從思維形式的角度看，這顯然也就十分清楚地表明了“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”對(duì)于數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)發(fā)展的特殊重要性。

4.結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)具有超出“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的普遍意義。首先，這也是小學(xué)幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一個(gè)問(wèn)題（詳見(jiàn)下一節(jié)的論述），是對(duì)于“度量幾何”與“直觀幾何”局限性的必要超越，也即應(yīng)當(dāng)對(duì)于圖形的特征性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠的重視——顯然，這也可被看成“結(jié)構(gòu)性觀念”的一個(gè)具體體現(xiàn)。

其次，從同一角度進(jìn)行分析，我們?cè)诮虒W(xué)中就不應(yīng)唯一強(qiáng)調(diào)概念的生成，而應(yīng)當(dāng)高度重視概念的分析與組織。

再者，相關(guān)分析可被看成為更高層次的概括提供了直接基礎(chǔ)。特別是，我們應(yīng)努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，切實(shí)做好這樣四個(gè)方面的工作：聯(lián)系的觀點(diǎn)與思維的深刻性，變化的思想與思維的靈活性，整體的觀念與思維的綜合性，總結(jié)、反思和再認(rèn)識(shí)與思維的自覺(jué)性——正如筆者在《研究背景與基本立場(chǎng)》一文中所指出的。這即可被看成更高層次上的一個(gè)“大道理”。

依據(jù)先前的分析，我們還可對(duì)于上述結(jié)論做出如下補(bǔ)充：教學(xué)中應(yīng)十分重視幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成這樣一種思維品質(zhì)，即思維的開(kāi)放性與反思性，也即樂(lè)于接受各種新的事物和觀點(diǎn)，包括對(duì)已有認(rèn)識(shí)的自覺(jué)反思，從而不斷優(yōu)化思維，而不會(huì)因?yàn)椴磺‘?dāng)?shù)慕虒W(xué)造成“片面的思維定式”或思維的僵化。

由于上述分析直接涉及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，由此我們還可引出這樣一個(gè)結(jié)論：強(qiáng)調(diào)“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”特別是“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的發(fā)展性質(zhì)也十分有益于學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，包括很好地適應(yīng)新環(huán)境中的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

最后，由以下論述可以看出，即使是小學(xué)低年級(jí)也可在上述方面做出切實(shí)努力，關(guān)鍵就在于我們?cè)谶@一方面是否具有足夠的自覺(jué)性。

“小學(xué)低年級(jí)的教學(xué)中需要特別強(qiáng)調(diào)對(duì)等式的理解……在小學(xué)一年級(jí)時(shí)經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生口算，比如3+4，這里值得注意的是我們要強(qiáng)調(diào)3+4‘等于’7，而不要說(shuō)‘得到’7。因?yàn)檫@里的等號(hào)有兩個(gè)層面的意義：一是計(jì)算結(jié)果，就是我們經(jīng)常說(shuō)的‘得到’；二是表示‘相等關(guān)系’。我們?cè)趯W(xué)生剛接觸等號(hào)時(shí)就要幫助他們建立起對(duì)等號(hào)的這種相等關(guān)系的理解。因此，讓一年級(jí)的學(xué)生接觸7=3+4這樣的算式是有必要的，因?yàn)樵谶@樣的算式中，你就沒(méi)法將等號(hào)說(shuō)成‘得到’。當(dāng)然，這里也要嘗試讓學(xué)生理解7 同樣也等于4+3，3+4=4+3……在這之后，可以讓學(xué)生嘗試觀察兩邊都不止一個(gè)數(shù)的等式，如17+29=16+30……此外，還可以給學(xué)生提供利用相等關(guān)系判斷正誤的式子，比如，199+59=200+58，148+68=148+70-2，149+68=150+70-3?！盵5]

當(dāng)然，相對(duì)于唯一強(qiáng)調(diào)“代數(shù)思維”的滲透而言，這是更加適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)主張，即很好地發(fā)揮“大道理”的指導(dǎo)作用。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的“大道理”（2）

以下再轉(zhuǎn)向小學(xué)幾何內(nèi)容的教學(xué)。由于我們?cè)谙惹耙褜?duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”教學(xué)的“大道理”進(jìn)行了分析，在此不妨首先思考這樣一個(gè)問(wèn)題：這兩者之間有哪些共同點(diǎn)，又有什么不同之處？這可被看成這樣一個(gè)立場(chǎng)的具體體現(xiàn)，即無(wú)論就專業(yè)的學(xué)習(xí)或是教學(xué)研究而言，我們都應(yīng)具有較強(qiáng)的問(wèn)題意識(shí)，也即應(yīng)當(dāng)帶著問(wèn)題學(xué)，帶著問(wèn)題進(jìn)行研究。[6]

進(jìn)而，前一節(jié)中所總結(jié)出的幾個(gè)“大道理”在此顯然也是基本適用的，如幾何概念的教學(xué)同樣也應(yīng)做到“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”，包括很好地弄清相關(guān)概念中哪些是特別重要的，哪些則不那么重要？例如，以下一些論述就可被看成是與這一論題密切相關(guān)的：“并非任何定義都是重要的。有些對(duì)象可以基于直覺(jué)的感知，不必追求嚴(yán)格的定義……小學(xué)數(shù)學(xué)里面積的定義就是其中之一?！庇秩纾靶W(xué)里用一對(duì)數(shù)確定一個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)沒(méi)有什么用處……如果一點(diǎn)用處也沒(méi)有，就不太好了?！盵2]240，228

再則，正如前面已提及的，在幾何內(nèi)容的教學(xué)中也應(yīng)幫助學(xué)生很好地建立整體性、結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí)。例如，我們應(yīng)從這一角度更好地去理解這樣一個(gè)論述：“一旦有了線段和線段度量以及角與角的度量，以后的小學(xué)幾何學(xué)內(nèi)容就有了可靠的度量基礎(chǔ)。”[2]294另外，我們顯然也應(yīng)將“角的度量”的教學(xué)與學(xué)生已學(xué)過(guò)的“線段的度量”很好地聯(lián)系起來(lái)，從而更好地發(fā)揮“種子課”的作用，包括切實(shí)做好“以發(fā)展代替重復(fù)”。[7]

當(dāng)然，在小學(xué)幾何內(nèi)容與“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”教學(xué)之間也存在重要的區(qū)別，例如由“核心概念”的分析就可清楚地看出：如果說(shuō)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)可被看成是圍繞“比較”這一概念展開(kāi)的，那么，“度量”的概念就在小學(xué)幾何的教學(xué)中占據(jù)了特別重要的位置，也即小學(xué)幾何在很大程度上就可被看成一種“度量幾何”。

顯然，后一分析也清楚地表明了針對(duì)小學(xué)幾何具體內(nèi)容做出深入分析的重要性。從宏觀的角度看，我們應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣幾點(diǎn)：

1.小學(xué)幾何中的大多數(shù)概念都具有明顯的現(xiàn)實(shí)意義和原型，有很多詞語(yǔ)就是從日常語(yǔ)言中直接借用過(guò)來(lái)的，但由于數(shù)學(xué)概念在大多數(shù)情況下又不同于它們?cè)谌粘Ｉ罨蚬ぷ髦械囊饬x，因此，小學(xué)幾何教學(xué)就應(yīng)特別重視這樣一個(gè)問(wèn)題，即幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念與相應(yīng)的日常概念做出清楚的區(qū)分。

例如，正如人們所熟知的，數(shù)學(xué)中所說(shuō)的“角”未必是“尖尖的”，而是主要表明了兩條線段（直線）之間的位置關(guān)系。進(jìn)而，兩條線段（直線）是否相互垂直也與它們是否處于垂直或水平的位置無(wú)關(guān)，盡管相關(guān)概念的日常應(yīng)用往往具有這樣一個(gè)含義。

顯然，上述分析也清楚地表明了對(duì)數(shù)學(xué)概念做出明確定義的重要性，后者就是由“初等數(shù)學(xué)思維”走向“高層次數(shù)學(xué)思維”的一個(gè)重要標(biāo)志。也正因?yàn)榇耍M管我們?cè)谛W(xué)階段尚不應(yīng)明確提出這樣一個(gè)要求，但仍然應(yīng)當(dāng)在這一方面對(duì)學(xué)生做出必要的引導(dǎo)，包括幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在這一方面的重要作用，特別是這十分有益于日常語(yǔ)言的擴(kuò)展與改進(jìn)（精確化）。

例如，“籃球是圓的嗎？”[2]230就可被看成這樣一個(gè)實(shí)例。更重要的是，盡管學(xué)生在生活中早已接觸到了各種度量活動(dòng)，甚至還可說(shuō)已在這方面積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，但只有通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，我們才能幫助他們更好地掌握“度量”的本質(zhì)，包括明確從事各種度量活動(dòng)必須首先解決的這樣兩個(gè)問(wèn)題，即度量單位的確定以及找出合適的度量工具和方法。

進(jìn)而，依據(jù)上述分析我們顯然也可引出這樣一個(gè)結(jié)論：相關(guān)教學(xué)不應(yīng)局限于幫助學(xué)生學(xué)會(huì)進(jìn)行各種度量，還應(yīng)要求學(xué)生在不具有適當(dāng)度量工具的情況下盡可能地想出辦法去度量課桌的長(zhǎng)度或教室的面積等。

2.這是小學(xué)幾何教學(xué)中的又一重要特點(diǎn)，即在很大程度上也可被看成一種“直觀幾何”。由于這是由小學(xué)生的認(rèn)知水平直接決定的，因此，我們就應(yīng)肯定以下一些做法的合理性，如教學(xué)中要求學(xué)生認(rèn)真地用眼睛去看，用手去摸，直接動(dòng)手去量……但這也是小學(xué)幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的又一問(wèn)題，即在充分肯定其重要性的同時(shí)，還應(yīng)幫助學(xué)生很好地實(shí)現(xiàn)對(duì)于直觀認(rèn)識(shí)的必要超越。

后者事實(shí)上也可被看成上述關(guān)于如何從事“度量問(wèn)題”教學(xué)的一個(gè)直接結(jié)論，即教學(xué)中我們不應(yīng)唯一地強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生直接動(dòng)手去量，而應(yīng)更加重視如何通過(guò)動(dòng)手促進(jìn)學(xué)生積極地動(dòng)腦。另外，我們顯然也可從同一角度更好地認(rèn)識(shí)這樣一個(gè)建議：“不要把時(shí)間花在一些平庸的活動(dòng)上。”[2]254

以下的事實(shí)則可被看成更為清楚地表明了超越直觀認(rèn)知的重要性：由于小學(xué)幾何中有不少內(nèi)容與無(wú)限直接相關(guān)，因此就必須依靠想象才能把握?！爸本€”的概念就是這樣的一個(gè)例子。另外，這顯然也可被看成我們?nèi)绾螏椭鷮W(xué)生很好地掌握“平行”這一概念的關(guān)鍵。

更為一般地說(shuō)，我們應(yīng)明確提出這樣一個(gè)要求：相對(duì)于直觀的認(rèn)知而言，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)更加重視對(duì)各種對(duì)象特征性質(zhì)的分析——正如人們普遍了解的，這也意味著由馮·希爾所說(shuō)的“水平一”向“水平二”的重要過(guò)渡。

3.前面已經(jīng)提及，這也是小學(xué)幾何教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視的一個(gè)問(wèn)題，即應(yīng)從整體的角度特別是按照“結(jié)構(gòu)性觀念”對(duì)諸多相關(guān)概念與結(jié)論之間的聯(lián)系做出深入分析，包括從這一角度更好地認(rèn)識(shí)各種平面圖形的特征性質(zhì)。特別是我們應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)圖形間的關(guān)系對(duì)相關(guān)結(jié)論的真理性進(jìn)行說(shuō)明，而這就意味著由幾何認(rèn)知的“水平二”進(jìn)一步過(guò)渡到“水平三”。

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，如果說(shuō)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)集中于幫助學(xué)生很好地認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”的豐富性和發(fā)展性，那么，從幾何教學(xué)的角度看，這就是“結(jié)構(gòu)性認(rèn)識(shí)”最重要的一個(gè)含義，即邏輯思維的滲透與學(xué)習(xí)。

就這方面的具體教學(xué)工作而言，我們還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn)：

第一，相對(duì)于日常的認(rèn)知順序，我們應(yīng)當(dāng)更加重視幫助學(xué)生較好地掌握“維度”這樣一個(gè)概念，包括什么是按照“由點(diǎn)到線、再到面、直至體”這樣一個(gè)順序去理解幾何認(rèn)識(shí)的主要優(yōu)點(diǎn)。

事實(shí)上，正如筆者已多次指出的，這正是數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要特征：“數(shù)學(xué)家有這樣的傾向，一旦依賴邏輯的聯(lián)系能取得更快的進(jìn)展，他就置實(shí)際于不顧。”[8]另外，以下事實(shí)顯然為我們更好地認(rèn)識(shí)超越日常生活的必要性提供了又一重要論據(jù)：正是局限于數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用導(dǎo)致了中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的這樣一個(gè)特征，即除去“直角”的概念未能提出一般性的“角”的概念，從而也就在很大程度上限制了幾何研究在中國(guó)的發(fā)展。[2]292

另外，也只有從邏輯的角度進(jìn)行分析，我們才能更好地理解這樣一個(gè)論述：“先有平行，才有平移。小學(xué)數(shù)學(xué)盡管需要深入淺出，卻不宜違背這一邏輯順序?！盵2]208

第二，就圖形特別是平面圖形之間相互關(guān)系的認(rèn)識(shí)而言，我們又應(yīng)特別重視從“特殊與一般”這一角度去進(jìn)行分析。后者不僅對(duì)于進(jìn)一步的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)（和研究）具有十分重要的作用，更具有超出數(shù)學(xué)的普遍性方法論意義，因此，這就應(yīng)被看成充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)于提升學(xué)生思維品質(zhì)的一個(gè)重要方面。

進(jìn)而，從同一角度進(jìn)行分析，我們也就可以看出，像“平行四邊形是否應(yīng)當(dāng)被看成梯形”這樣的問(wèn)題并不重要，我們更不應(yīng)通過(guò)考試等手段強(qiáng)迫學(xué)生牢牢地去記住相關(guān)的定義。恰恰相反，在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)更加重視幫助學(xué)生逐步學(xué)會(huì)圍繞“特殊與一般”這樣一對(duì)范疇去進(jìn)行分析思考。

4.以下再對(duì)這樣一個(gè)問(wèn)題做出簡(jiǎn)要分析，即我們應(yīng)當(dāng)如何看待小學(xué)幾何教學(xué)中引入“運(yùn)動(dòng)”的必要性與恰當(dāng)性？

這一做法應(yīng)當(dāng)說(shuō)有一些明顯的優(yōu)點(diǎn)，如有益于我們從“生成的角度”更好地認(rèn)識(shí)各種平面圖形的性質(zhì)以及平面圖形與空間圖形之間的關(guān)系。但是，由于小學(xué)幾何主要是一種“直觀幾何”，研究的對(duì)象又主要局限于平面圖形，從運(yùn)動(dòng)的角度進(jìn)行分析很容易出現(xiàn)將“平面圖形的運(yùn)動(dòng)”混同于“立體圖形的運(yùn)動(dòng)”這樣的錯(cuò)誤，“平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱”等概念似乎也很難在數(shù)學(xué)以外找到真正的用處[2]277-278。因此，在筆者看來(lái)，對(duì)于“運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)”在小學(xué)幾何教學(xué)中就不應(yīng)過(guò)分地強(qiáng)調(diào)。

與此相對(duì)照，如果說(shuō)小學(xué)“數(shù)的認(rèn)識(shí)與運(yùn)算”的教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視很好地處理“一”與“多”、“變”與“不變”之間的關(guān)系，那么，對(duì)于小學(xué)幾何教學(xué)我們就可做出如下概括，即應(yīng)當(dāng)很好地處理直觀與想象、度量（動(dòng)手）與抽象分析（動(dòng)腦）之間的關(guān)系，并應(yīng)很好地發(fā)揮幾何學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生學(xué)會(huì)邏輯思維的特殊作用。

進(jìn)而，依據(jù)上述分析相信讀者也就可以更好地理解筆者關(guān)于“小學(xué)幾何教學(xué)大道理”的以下概括：小學(xué)幾何教學(xué)不僅應(yīng)當(dāng)突出“度量”這一核心概念，發(fā)揮其在直觀認(rèn)知方面的作用，也應(yīng)努力實(shí)現(xiàn)對(duì)于“度量幾何”與“直觀幾何”的必要超越，即對(duì)于圖形的特征性質(zhì)及其相互關(guān)系的邏輯分析予以足夠的重視。

[結(jié)語(yǔ)]筆者并愿借助這一機(jī)會(huì)表達(dá)對(duì)已故著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙先生的深深敬意：盡管張先生當(dāng)時(shí)已年逾80，身體情況也不是很好，但仍然花費(fèi)大量的時(shí)間與精力認(rèn)真閱讀了多個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，更通過(guò)深入的思考分析提出了很多重要的意見(jiàn)和建議，這確實(shí)值得我們認(rèn)真學(xué)習(xí)。事實(shí)上，盡管我們平時(shí)也常常提及認(rèn)真研讀教材，但又有幾個(gè)人真正做到了這樣一點(diǎn)！進(jìn)而，什么又是我們與張先生的主要差距，這主要是否指數(shù)學(xué)水平的高低？相信每一個(gè)數(shù)學(xué)教育工作者，包括廣大一線教師都可通過(guò)這方面的認(rèn)真思考在專業(yè)成長(zhǎng)上獲得更大的啟示和收獲！

本文也可被看成是上述方向的一個(gè)具體努力！