C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)排列的三維點(diǎn)電荷系中心軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度

金麗珍，吳顯麗，王行樂(lè)，陳 昊，謝建平

(湖州師范學(xué)院 理學(xué)院 物理系，浙江 湖州 313000)

電場(chǎng)是電荷及變化磁場(chǎng)周圍空間里存在的一種特殊形態(tài)的物質(zhì).電場(chǎng)強(qiáng)度是靜電場(chǎng)中重要的概念之一，它從力的角度反映電場(chǎng)性質(zhì)的物理量,且電場(chǎng)強(qiáng)度的大小只由電場(chǎng)本身的特性決定.一定電荷分布所產(chǎn)生的空間電勢(shì)和空間電場(chǎng)的計(jì)算一直是電磁學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題.在各種不同的電荷分布結(jié)構(gòu)中，具有高對(duì)稱性的點(diǎn)電荷系或電荷均勻分布的連續(xù)帶電體情況的研究比較多，例如均勻帶電的任意三角形線框[1]、圓環(huán)形線框[2-8]、導(dǎo)體薄圓盤(pán)[9-12]、正多邊形線框和正多邊形盤(pán)[13-15]的電場(chǎng)荷分布等等，而對(duì)于三維點(diǎn)電荷系的靜電場(chǎng)研究鮮見(jiàn)報(bào)道.

隨著科學(xué)研究和工程技術(shù)的發(fā)展，靜電場(chǎng)在越來(lái)越多的領(lǐng)域得到了應(yīng)用，對(duì)不同電荷體系的靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算及空間分布研究顯得越加重要.一般來(lái)說(shuō)，空間可能存在由許多點(diǎn)電荷組成的三維點(diǎn)電荷系.富勒烯分子C60發(fā)現(xiàn)以來(lái)[16]，它的奇特結(jié)構(gòu)和性質(zhì)實(shí)驗(yàn)和理論研究引起人們的廣泛關(guān)注，研究表明C60分子可以獲得或者失去電子，成為帶電分子籠，使其在具有光誘導(dǎo)電荷轉(zhuǎn)移特性的新型光電材料開(kāi)發(fā)方面被廣泛應(yīng)用.

本文通過(guò)構(gòu)造富勒烯C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)排列的三維空間的點(diǎn)電荷系，從電場(chǎng)強(qiáng)度疊加性原理出發(fā)[17]，計(jì)算了在兩種情況下中心軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度,進(jìn)而討論了中心軸線上位于球體內(nèi)外和遠(yuǎn)區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況.C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)排列三維點(diǎn)電荷系及某條中心軸線構(gòu)造示意圖如圖1所示.

圖1 C60結(jié)構(gòu)型三維點(diǎn)電荷系及其中心軸線構(gòu)造示意圖(每個(gè)格點(diǎn)均代表一個(gè)帶單位正電的點(diǎn)電荷，O點(diǎn)陣中心，O′為側(cè)面多邊形中心，P為中心軸線x軸上任意一點(diǎn))

1 模型與原理

本文研究的60個(gè)點(diǎn)電荷嚴(yán)格以C60空間點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)排布.60個(gè)點(diǎn)電荷位于C60的60個(gè)格點(diǎn)上，以12個(gè)五邊形和20個(gè)六邊形連接而成空心籠狀結(jié)構(gòu)[16].假設(shè)結(jié)構(gòu)中60個(gè)點(diǎn)電荷均帶電q=+1.6×10-19C.

計(jì)算選取C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中心為原點(diǎn)，中心軸線x軸選取分為兩種情況：1)x軸從中心指向頂部的五邊形中心，即取旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸為x軸；2)x軸從中心指向頂部的六邊形中心，即取旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸為x軸(六邊形的邊長(zhǎng)由單雙鍵間隔排列，單雙鍵長(zhǎng)短不等，此六邊形不是正六邊形，沒(méi)有6重旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸；但此六邊形可以看做是兩個(gè)正三角形的組成，有正三角形的旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱)[18].

基于上述中心軸的選取的方法，正對(duì)坐標(biāo)軸的方向看，60個(gè)點(diǎn)電荷(格點(diǎn))分布在不同的層面上，每層格點(diǎn)構(gòu)成正三角形、正五邊形及其它們的組合(見(jiàn)結(jié)果與分析部分).因此若要得到上述兩種情況下中心軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，只要計(jì)算出每層正多邊形頂點(diǎn)處點(diǎn)電荷在中心軸線上的場(chǎng)強(qiáng)，再利用疊加性原理即可得出軸線上任意一處的總場(chǎng)強(qiáng).

2 結(jié)果與分析

2.1 選取x軸從中心指向五邊形中心(軸)

從幾何結(jié)構(gòu)看，C60結(jié)構(gòu)是一個(gè)截角的正二十面體[18]，以C60結(jié)構(gòu)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，選取x軸從中心指向頂部五邊形中心時(shí)，根據(jù)C60的空間結(jié)構(gòu)及各格點(diǎn)位置坐標(biāo)[18,19]，60個(gè)格點(diǎn)上的點(diǎn)電荷分為8個(gè)層面，如圖2所示，從右至左分別標(biāo)記為1-4層、4′-1′層.而且每個(gè)方向上的8層均為正五邊形或者是2個(gè)正五邊形的組合.第1、2、2′、1′四層中5個(gè)格點(diǎn)均構(gòu)成正五邊形.第3、4、4′、3′四層中的10個(gè)格點(diǎn)為十邊形，此十邊形可以分解為2個(gè)更基本單元正五邊形的疊加組合，組合方式如圖3所示. 2個(gè)五邊形中心重合，其中一個(gè)相對(duì)另一個(gè)旋轉(zhuǎn)一定角度.此外，由于C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中12個(gè)五邊形兩兩相對(duì)，有6個(gè)等價(jià)的軸向方向(5°軸).

圖2 x軸從中心指向五邊形中心，60個(gè)格點(diǎn)被分割成8層示意圖(x軸方向不成比例)

圖3 第3、4、4′、3′層中10個(gè)格點(diǎn)構(gòu)成的多邊形由2個(gè)正五邊形組合

根據(jù)正多形的對(duì)稱性，正多邊形頂點(diǎn)上的點(diǎn)電荷在中心軸線上的場(chǎng)強(qiáng)只有x方向的分量Ecosθ[17].通過(guò)各格點(diǎn)(點(diǎn)電荷)位置坐標(biāo)[19]，建立幾何關(guān)系，應(yīng)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式，每層中五邊形格點(diǎn)處的電荷在x處軸向的電場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為

(1)

其中，r為每層面內(nèi)多邊形所在圓的半徑(每層多邊形中心O′到多邊形頂點(diǎn)的距離)，X為中心軸線上任意一點(diǎn)(P點(diǎn))到每層多邊形中心(O′)的距離，d是每層多邊形中心(O′)距離原點(diǎn)(球心O)的距離，x為中心軸線上任意一點(diǎn)(P點(diǎn))距離原點(diǎn)(球心O)的距離.圖2所示的每層格點(diǎn)上的點(diǎn)電荷在中心軸線上產(chǎn)生電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算公式由式(1)給出，參數(shù)之間的幾何關(guān)系如圖4所示.

第1-4層，x=X+d

第4′-1′層，x=X-d 圖4 多邊形頂點(diǎn)處(格點(diǎn)位置)點(diǎn)電荷在中心軸線上P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)幾何關(guān)系圖

第1～4層

第4′-1′層圖5 各層多邊形格點(diǎn)上的電荷在x軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù)曲線圖

再次利用場(chǎng)強(qiáng)的疊加性原理，將各層面上電荷在軸向上產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)Ei相加得到總場(chǎng)強(qiáng)E1總=ΣEi.過(guò)五邊形中心x軸向總電場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù)變化關(guān)系如圖6所示.由圖可知，電場(chǎng)只有x軸方向分量，球心處場(chǎng)強(qiáng)為零，從球心處開(kāi)始，沿著x軸正向(見(jiàn)圖6，x>0區(qū)域)，電場(chǎng)強(qiáng)度從零開(kāi)始先逐漸減小，達(dá)到一個(gè)最小值(負(fù)值)后又逐漸開(kāi)始增大.最小值Emin=-1.04×10-7V/nm，距原點(diǎn)0.24 nm，位于球內(nèi).此后，場(chǎng)強(qiáng)又開(kāi)始逐漸增大，當(dāng)x=0.32 nm時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度又一次等于零. 此后電場(chǎng)強(qiáng)度為正，繼續(xù)隨著x增大而增大，當(dāng)距原點(diǎn)為0.44 nm時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度值達(dá)到最大值，Emax=2.89×10-7V/nm.達(dá)到最大值后電場(chǎng)強(qiáng)度又開(kāi)始逐漸衰減，至無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度趨向于零.遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度與帶60個(gè)單位正電荷的點(diǎn)電荷在該區(qū)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)構(gòu)結(jié)果一致. 根據(jù)點(diǎn)電荷空間分布的對(duì)稱性，x<0區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度與x>0區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖6所示. 5°軸上有3處場(chǎng)強(qiáng)為零，均位于球內(nèi).

圖6 選取x軸從中心指向五邊形中心時(shí)軸線上總場(chǎng)強(qiáng)與距離變化函數(shù)曲線圖

2.2 選取x軸從中心指向六邊形中心(3°軸)

當(dāng)選取x軸從中心指向頂部六邊形中心時(shí)，根據(jù)在C60的空間結(jié)構(gòu)及各格點(diǎn)位置坐標(biāo)[18-19]，可將60個(gè)格點(diǎn)(點(diǎn)電荷)分為12個(gè)層面，12個(gè)層面位置關(guān)于中心(球心)左右對(duì)稱(類似圖2，從右至左分別標(biāo)記為第1—6，6′—1′層).12個(gè)層面上的格點(diǎn)共構(gòu)成3種多邊形結(jié)構(gòu)，如圖7所示.每1個(gè)層面上的格點(diǎn)構(gòu)成1個(gè)正三角形或者2個(gè)正三角形的組合,如圖8所示.例如左右兩側(cè)(最外側(cè))，即第1層和第1′層均為六邊形，考慮單雙鍵長(zhǎng)短差別，此六邊形并非為正六邊形，但是可以看成是2個(gè)全等正三角形組合而成，如圖8所示.此外，由于C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中20個(gè)六邊形兩兩相對(duì)，有10個(gè)等價(jià)的軸向方向(3°軸).

圖7 選取x軸從中心指向六邊形中心，C60型點(diǎn)陣中的60個(gè)格點(diǎn)被分割成12層(1-6層，6′-1′層)，共有3種多邊形結(jié)構(gòu)

圖8 由2個(gè)正三角形組合成六邊形的2種結(jié)構(gòu)

第1—6層

(b) 第6′—1′層圖9 選取x軸從球心指向六邊形中心，各層多邊形格點(diǎn)上的點(diǎn)電荷在x軸上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度函數(shù)曲線圖

中心軸線上總電場(chǎng)強(qiáng)度E2總與距離x的函數(shù)圖形如圖10所示.由圖可知，電場(chǎng)也只有x軸方向分量，球心處場(chǎng)強(qiáng)為零.從球心開(kāi)始沿著x軸正向(見(jiàn)圖10，x>0區(qū)域)，軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度從0開(kāi)始增加，在距離原點(diǎn)0.44 nm處到一個(gè)最大值，Emax=3.38×10-7V/nm，此后電場(chǎng)強(qiáng)度又開(kāi)始逐漸減小，到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度趨向零.3°軸時(shí)，沿著軸向方向，電場(chǎng)強(qiáng)度始終為正.遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)電場(chǎng)強(qiáng)度與帶60個(gè)單位正電荷的點(diǎn)電荷在該區(qū)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度計(jì)算結(jié)果一致. 根據(jù)電荷空間分布的對(duì)稱性，x<0區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度與x>0區(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖10所示.

圖10 選取x軸從中心指向六邊形中心時(shí)軸線上總場(chǎng)強(qiáng)與距離變化函數(shù)曲線圖

3 總結(jié)

本文根據(jù)C60的空間結(jié)構(gòu)及格點(diǎn)位置坐標(biāo)，構(gòu)建了以C60點(diǎn)陣排布的空間三維點(diǎn)電荷系.通過(guò)建立各點(diǎn)電荷之間的幾何關(guān)系，應(yīng)用點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和場(chǎng)的疊加性原理給出兩種情況下中心軸線上總電場(chǎng)強(qiáng)度，最后利用Origin軟件作圖得到中心軸線上電場(chǎng)強(qiáng)度隨距離變化的函數(shù)關(guān)系.

研究結(jié)果表明，點(diǎn)電荷系采用C60富勒烯空間格點(diǎn)三維結(jié)構(gòu)排布時(shí)，過(guò)球心中心軸線上一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度隨中心軸線的選取方向而各異.本文計(jì)算了兩種情況下中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度，即3°軸和5°軸情況，結(jié)果表明：

1) 由于格點(diǎn)位置的對(duì)稱性，兩種情況下，中心原點(diǎn)處場(chǎng)強(qiáng)均為0，中心軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度只有軸向分量，并關(guān)于中心原點(diǎn)對(duì)稱.

2) 當(dāng)選取5°軸為中心軸線時(shí)，軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度從中心原點(diǎn)的零值開(kāi)始，先降低達(dá)到一個(gè)最小值(負(fù)值)后慢慢增加，最終到一個(gè)最大值(正值)后，又隨著距離增加場(chǎng)強(qiáng)又開(kāi)始逐漸減少，無(wú)窮遠(yuǎn)處趨向于零.當(dāng)選取3°軸為中心軸線時(shí)，軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度始終大于零，從中心原點(diǎn)的零值開(kāi)始慢慢增加，在達(dá)到一個(gè)最大值后逐漸減小，無(wú)窮遠(yuǎn)處趨向于零.

3) 兩種情況下，中心軸線場(chǎng)強(qiáng)分布不同一定程度上反應(yīng)了在這兩個(gè)方向上點(diǎn)電荷空間分布的不同.但在這兩個(gè)方向上電場(chǎng)強(qiáng)度最大值所處的位置距中心的長(zhǎng)度相等.遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)的電場(chǎng)強(qiáng)度與帶60個(gè)單位正電荷的點(diǎn)電荷計(jì)算結(jié)果一致.

最后根據(jù)估算：電子直徑d～10-15m，而C60格點(diǎn)間距即平均鍵長(zhǎng)[18],D=0.142 nm,D∶d≈105.電荷尺寸遠(yuǎn)小于電荷之間的間距，本文采用了“點(diǎn)電荷”模型，未考慮量子力學(xué)效應(yīng).本文的研究結(jié)果有助于大學(xué)物理教學(xué)中學(xué)生更好理解計(jì)算電場(chǎng)疊加性原理和提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力.同時(shí)也希望本文的計(jì)算模型和計(jì)算結(jié)果對(duì)建立采用C60點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)排布的三維點(diǎn)電荷系的空間全電場(chǎng)，或者研究外電場(chǎng)與帶電C60分子相互作用有一定的參考意義.