孫鴻強(qiáng)，張占月，趙煥洲，胡國林，張 輝，張 寬，謝 圓，盧 皓

（1.北京航天飛行控制中心，北京 100094；2.航天工程大學(xué)，北京 101416）

0 引言

人造衛(wèi)星是重要的空間信息基礎(chǔ)設(shè)施，其中的航天器編隊(duì)飛行不僅突破了體積和質(zhì)量的限制，而且提高了整體系統(tǒng)功能、結(jié)構(gòu)靈活性和可替代性，近年來引起各國航天界極大的關(guān)注。編隊(duì)衛(wèi)星擁有不受基線限制、多星協(xié)同工作、控制靈活等特點(diǎn)，有著非常廣闊的應(yīng)用前景。常見的衛(wèi)星定位功能通常由多個衛(wèi)星協(xié)同工作完成，如美國的“白云”系列海洋監(jiān)視衛(wèi)星、我國的“北斗一號”定位系統(tǒng)。

以海洋定位衛(wèi)星為例，可以滿足對沿海、商業(yè)海域和重點(diǎn)海域的觀察，重難點(diǎn)在于對目標(biāo)的定位，但影響定位效果的因素眾多，如受目標(biāo)源位置影響、編隊(duì)構(gòu)型約束、衛(wèi)星高度約束等。本文對三星定位的時差測量定位原理進(jìn)行分析，將傳統(tǒng)上評價衛(wèi)星定位精度的水平精度因子（Horizontal Dilution of Precision，HDOP）與最小二乘迭代法相結(jié)合，對定位衛(wèi)星的定位方程進(jìn)行了解算，同時從定位精度和解算時長兩個方面進(jìn)行更直觀的描述。在此基礎(chǔ)上，分析了影響定位性能的若干條件給出了仿真驗(yàn)證結(jié)果，并以此對海洋定位衛(wèi)星的參數(shù)設(shè)定提供建議。

1 三星定位編隊(duì)定位計(jì)算模型

到達(dá)時間差（Time Difference of Arrival，TDOA）技術(shù)是采用比較廣泛的技術(shù)。根據(jù)目標(biāo)源的輻射信號到達(dá)衛(wèi)星的時間，利用幾何關(guān)系進(jìn)行定位求解。在相同的測量誤差條件下，時差越大，測量誤差所占比例越小，誤差造成的影響越小。對上述定位方法進(jìn)行量化計(jì)算，聯(lián)立方程得

式中：前兩式為利用時差測量來確定2 張滿足候選目標(biāo)源位置的雙曲面；

d

、

d

、

d

分別為3顆衛(wèi)星到目標(biāo)源的距離；

c

為電磁波傳遞速度；Δ

t

、Δ

t

為接受到目標(biāo)源信號的時間差；

f

(

x

，

y

，

z

)為地球表面簡化表達(dá)形式，地固坐標(biāo)系下存在表示目標(biāo)源位置3個未知量(

x

，

y

，

z

)。

2 三星定位誤差分析模型

2.1 定位方程的最小二乘解算

對于式（1）中的

f

(

x

，

y

，

z

)，地固坐標(biāo)系中的(

x

，

y

，

z

)轉(zhuǎn)換到大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)(

L

，

B

，

H

)的轉(zhuǎn)換方程為

式中：

N

為地球曲率半徑；

H

為目標(biāo)高度；

L

為目標(biāo)經(jīng)度；

B

為目標(biāo)緯度；

e

為地球橢圓的偏心率。對于海洋定位衛(wèi)星，

H

可取0，消去（

L

，

B

），可得

故三星時差定位方程改寫為

式中：（

x

，

y

，

z

）為3 顆衛(wèi)星在地固坐標(biāo)系中的位置。

常用的解算方法有解析法、牛頓迭代法、最小二乘迭代法等。最小二乘迭代法具有平方收斂速度，可快速得到解算結(jié)果。

首先構(gòu)建模函數(shù)

Q

(

X

)，將問題化為求解模函數(shù)最小值的問題：

設(shè)

F

(

X

)=[

f

f

f

]，若

F

(

X

)可微，則模函數(shù)變化為

式中：

設(shè)

X

是

F

(

X

)=0 的一組近似根，將

F

(

X

)在

X

處泰勒展開略去高階項(xiàng)：

由最小二乘迭代可知，迭代誤差Δ

X

可表征為

迭代步驟如下：

步驟1

取星下點(diǎn)為迭代初值

X

；

步驟2

將前一次求得的目標(biāo)位置坐標(biāo)

X

(

x

，

y

，

z

)代入定位方程，求出

F

(

X

)和

F′

(

X

)；

步驟3

將

X

(

x

，

y

，

z

)入迭代式，求出目標(biāo)位置

X

(

x

，

y

，

z

)；

步驟4

以此類推，直到若干次迭代得

X

(

x

，

y

，

z

)與

X

(

x

，

y

，

z

)的距離小于某個無窮小的數(shù)

ε

。即設(shè)

當(dāng)

D

<

ε

時迭代終止，求得極小點(diǎn)的近似值也就是目標(biāo)位置的估計(jì)值。

采用上述解算方法將定位方程進(jìn)行解算，如圖1所示，初始概略位置選定在距離目標(biāo)源1 310 km 處的位置，總定位誤差隨著迭代次數(shù)的增加迅速減小。

圖1 迭代效果與定位誤差Fig.1 Iteration effect and positioning error

2.2 定位方程的精度因子分析

由定位衛(wèi)星的定位原理可知，在允許的范圍內(nèi)，如果目標(biāo)源傳遞信號所到達(dá)不同衛(wèi)星的時間差越大，定位效果越理想。如圖2 左所示，理想情況下，以圓形為測量衛(wèi)星測出目標(biāo)源可能的位置（實(shí)線圈），以三角為測量衛(wèi)星測出目標(biāo)源可能的位置（虛線圈），兩圈的交點(diǎn)即為目標(biāo)源的位置（這里假設(shè)2 個交點(diǎn)中右側(cè)的為目標(biāo)源真實(shí)位置）。

而實(shí)際情況中誤差是不可避免的，因此在測量時得到是圓環(huán)，2 個圓環(huán)的重疊處為目標(biāo)源概略位置，如圖2 中重疊的灰色區(qū)域。當(dāng)2 顆衛(wèi)星構(gòu)型不理想時，如圖2 右重疊的灰色區(qū)域面積過大，定位效果十分不理想。將式（4）中雙曲面的表達(dá)式記為

圖2 相對位置對定位精度的影響Fig.2 Effects of the relative position on the positioning accuracy

假設(shè)目標(biāo)源在地固坐標(biāo)系下的概略位置為

S

(

x

，

y

，

z

)，則將式（11）在

S

處展開，可得

定位誤差的協(xié)方差矩陣為

利用轉(zhuǎn)換矩陣

M

轉(zhuǎn)化為建立在目標(biāo)源當(dāng)?shù)刈鴺?biāo)系協(xié)方差矩陣Δ

S

：

故目標(biāo)源當(dāng)?shù)氐恼`差協(xié)方差矩陣

C

(Δ

S

)可表示為

2.3 定位誤差影響因素分析

2.3.1 目標(biāo)源相對衛(wèi)星位置的影響

為驗(yàn)證定位精度與目標(biāo)源相對衛(wèi)星幾何位置之間的關(guān)系，對我國東部海域上的一塊矩形區(qū)域進(jìn)行覆蓋仿真分析。選取的3 顆衛(wèi)星位于2 個軌道上，將其真近點(diǎn)角進(jìn)行了調(diào)整構(gòu)成一個三角形。衛(wèi)星場景分布如圖3 所示。

圖3 衛(wèi)星場景分布Fig.3 Satellite scene

定位衛(wèi)星的星下區(qū)域內(nèi)的HDOP 值如圖4 所示。圖中可見：在此三星構(gòu)型的定位衛(wèi)星中，當(dāng)目標(biāo)源在三星星下三角形之中時，HDOP 值較??；當(dāng)目標(biāo)源在三星星下三角形之外時，HDOP 值較高。

圖4 HDOP 分布情況Fig.4 Distribution of HDOP

2 個不同目標(biāo)源的誤差變化情況如圖5 所示。圖中可見：位于星下點(diǎn)三角形內(nèi)的點(diǎn)的距離誤差很快就由初始誤差迅速下降到零附近；而位于星下點(diǎn)三角形外的點(diǎn)距離誤差下降緩慢，多次迭代內(nèi)未達(dá)到理想誤差精度。

圖5 不同目標(biāo)源定位誤差比較Fig.5 Comparison of positioning errors of different target sources

星下點(diǎn)和目標(biāo)源的距離對迭代解算時間的影響如圖6 所示。圖中可見：隨著目標(biāo)源遠(yuǎn)離星下點(diǎn)，迭代解算次數(shù)逐漸增加，解算時間變長，性能變差。

圖6 目標(biāo)源距離對迭代解算次數(shù)的影響Fig.6 Effect of the target distance on the iteration time

綜合利用HDOP 和最小二乘迭代方法，對矩形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)進(jìn)行定位精度和迭代時長的分析，如圖7所示。圖中：綠色表示處于星下點(diǎn)三角形內(nèi)的目標(biāo)源，可以看出，其HDOP 值較低，意味著定位精度較高，且其定位解算時間較短，具有快速性和準(zhǔn)確性；紅色表示處于矩形邊界的目標(biāo)源，其HDOP 值較高，且解算迭代時間較長；此外，還存在一部分處于星下三角形周圍的點(diǎn)（藍(lán)色），其定位精度也較高，但是迭代其解算時間相對較長，定位效果不如星下三角形內(nèi)的點(diǎn)。因此，從定位精度和解算時間上綜合考慮，目標(biāo)源位于星下三角形內(nèi)時，定位性能更強(qiáng)。

圖7 不同目標(biāo)源定位精度和迭代解算次數(shù)比較Fig.7 Positioning accuracy and iteration times of different target sources

2.3.2 衛(wèi)星高度影響

取上述衛(wèi)星場景，保證3 顆定位衛(wèi)星的星下點(diǎn)構(gòu)型不變化，只改變其高度，分析衛(wèi)星高度的影響。衛(wèi)星場景如圖8 所示。

圖8 衛(wèi)星場景圖Fig.8 Satellite scene

衛(wèi)星高度和星下點(diǎn)三角形區(qū)域內(nèi)HDOP 的變化關(guān)系如圖9 所示。圖中：下方虛線表示在對應(yīng)高度下星下點(diǎn)三角形區(qū)域中的最小HDOP 的值；上方虛線表示在對應(yīng)高度下該區(qū)域中的最大HDOP 的值；實(shí)曲線表示該區(qū)域中的平均HDOP 的值。圖中可見：在一定范圍內(nèi)，隨著衛(wèi)星高度越高，其對于地面上同一目標(biāo)源的HDOP 越大；而衛(wèi)星高度越低，對于地面上同一目標(biāo)源的HDOP 越小。

圖9 衛(wèi)星高度變化對HDOP 的影響Fig.9 Effect of the satellite altitude change on the HDOP

2 組不同高度定位衛(wèi)星的基于定位方程的迭代次數(shù)與距離誤差之間的關(guān)系如圖10 所示。圖中可見，在解算過程中，盡管經(jīng)過若干次迭代，定位誤差逐漸降低，達(dá)到了理想的精度，但是在解算過程中，該場景下當(dāng)衛(wèi)星軌道半長軸為6 800 km 時，定位解算的迭代次數(shù)較多、時間較長，相對而言該場景下當(dāng)衛(wèi)星軌道半長軸為7 500 km 時，定位解算的迭代次數(shù)較少、時間較短。這與HDOP 變化相反，從迭代解算時間上比較，7 500 km 更優(yōu)。

圖10 多次迭代后不同高度定位誤差比較Fig.10 Comparison of the position error on different altitude

而對不同高度編隊(duì)衛(wèi)星而言，其迭代解算時間亦不同，將軌道半長軸范圍設(shè)定在6 700～8 500 km，與之對應(yīng)的迭代解算次數(shù)如圖11 所示?？梢钥闯觯S著編隊(duì)衛(wèi)星高度的增加，迭代時間逐漸減小，在軌道半長軸為7 000 km 時達(dá)到最小，而后迭代時間隨著高度增加逐漸增大。由此，從迭代解算時間分析，并不是軌道高度越低越好。

圖11 不同高度對迭代次數(shù)的影響Fig.11 Effect of the satellite altitude on the iteration time

利用HDOP 和最小二乘迭代方法對不同高度的衛(wèi)星進(jìn)行定位精度和迭代時長的分析，如圖12 所示。圖中可見：在衛(wèi)星高度很低時，雖然HDOP 值越小，但是其迭代解算時間較長；隨著衛(wèi)星軌道高度逐漸升高，迭代解算時間呈現(xiàn)先減少后增加的趨勢。因此，從定位精度和解算時間上綜合考慮，定位衛(wèi)星的高度并不是越低越好，應(yīng)該在綜合考慮對地觀察面積、定位精度和迭代解算效率，選擇適用于不同任務(wù)目標(biāo)的衛(wèi)星參數(shù)。

圖12 不同高度衛(wèi)星定位精度和迭代解算次數(shù)的比較Fig.12 Comparison of positioning accuracy and iteration times of different altitude

2.3.3 幾何構(gòu)型的影響

在分析星下點(diǎn)三角形底邊高的影響時，選取對應(yīng)構(gòu)型對該區(qū)域內(nèi)的平均HDOP 和定位誤差進(jìn)行比較分析。保持星下點(diǎn)三角形左側(cè)的邊不變，調(diào)整三角形右下方頂點(diǎn)的位置，使得三角形左側(cè)底邊上的高逐漸變大，衛(wèi)星場景如圖13 所示。

圖13 改變星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊的高Fig.13 Change of the left base height of the triangle

星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊的高和該區(qū)域內(nèi)HDOP 的變化關(guān)系如圖14 所示。圖中：上方虛線表示在對應(yīng)高下星下點(diǎn)三角形區(qū)域中的最大HDOP的值；下方虛線表示在對應(yīng)高下該區(qū)域中的最小HDOP 的值；實(shí)曲線表示該區(qū)域中的平均HDOP 的值。圖中可見，在一定范圍內(nèi)，隨著星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊上的高變長，其對于地面上同一目標(biāo)源區(qū)域的HDOP 越小，反之越大。

圖14 三角形高的變化對HDOP 的影響Fig.14 Effect of the triangle height on the HDOP

2 組星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊高不相等的定位衛(wèi)星的距離誤差如圖15 所示。對兩者的定位精度進(jìn)行比較，由圖可知，在定位精度方面，星下點(diǎn)底邊高較長的衛(wèi)星的定位精度較高。在實(shí)際定位過程中，衛(wèi)星之間的基線不宜過長，需要在保證編隊(duì)可控的情況下進(jìn)行基線的最優(yōu)化。

圖15 多次迭代后定位誤差比較Fig.15 Comparison of positioning errors after several iterations

星下點(diǎn)三角形左側(cè)底邊高的變化對迭代解算時間的影響如圖16 所示。圖中可見，在其有限的變化范圍內(nèi)，平均迭代次數(shù)未發(fā)生明顯改變，星下點(diǎn)三角形高的變化不是影響迭代結(jié)算時間的主要因素。

圖16 底邊的高對解算時長的影響Fig.16 Effect of the triangle height on the iteration time

利用HDOP 和最小二乘迭代方法對所構(gòu)成不同三角形底邊高進(jìn)行定位精度和迭代時長的分析，如圖17 所示。圖中可見：在一定范圍內(nèi)，三角形底邊高越長，其HDOP 值越小；但從迭代解算時間來看，在一定范圍內(nèi)其迭代時間變化不大，這是由于衛(wèi)星編隊(duì)的星間距離不宜過長從而限制底邊高的最大值所導(dǎo)致的。因此，從定位精度和解算時間上綜合考慮，在工作允許的范圍內(nèi)，定位衛(wèi)星星下三角形底邊的高越長，定位性能更強(qiáng)。

圖17 不同底邊高的定位精度和解算迭代次數(shù)的比較Fig.17 Positioning accuracy and iteration times with different triangle heights

綜上分析，在此三星構(gòu)型的定位衛(wèi)星中，當(dāng)目標(biāo)源在三星星下點(diǎn)構(gòu)成的三角形之中時，定位精度較高、解算時間較短，衛(wèi)星的性能比較理想；當(dāng)目標(biāo)源在三星星下點(diǎn)構(gòu)成的三角形之外時，定位精度較差、解算時間較長，衛(wèi)星定位性能不夠理想。同時，在一定范圍內(nèi)，衛(wèi)星高度越高，對地面上同一目標(biāo)源的定位精度越差，但迭代解算時間隨著高度的增加呈現(xiàn)先減少后增加的趨勢，因此，a 衛(wèi)星性能和衛(wèi)星高度呈非線性的關(guān)系，應(yīng)綜合考慮對地觀察面積、定位精度和迭代解算效率，選擇適用于不同任務(wù)目標(biāo)的衛(wèi)星參數(shù)。此外，在構(gòu)建三星位置構(gòu)型時需要注意，在允許范圍內(nèi)，隨著星下點(diǎn)三角形一邊的高不斷變大，對區(qū)域的定位精度逐漸變高，解算時間改變較少，綜合衛(wèi)星性能亦逐漸增強(qiáng)。

3 結(jié)束語

本文在時差測量定位的基礎(chǔ)上分析了三星定位誤差的產(chǎn)生，通過定位方程的求解對定位精度和迭代次數(shù)進(jìn)行了分析，在此基礎(chǔ)上，以水平方向衰減因子HDOP 與迭代解算時間作為指標(biāo)，對三星定位衛(wèi)星進(jìn)行定位性能評價。驗(yàn)證了在進(jìn)行衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)時，需要盡可能地將目標(biāo)源包括在星下點(diǎn)三角形之中，定位衛(wèi)星的高度在允許范圍內(nèi)適當(dāng)降低，星下點(diǎn)三角形底邊上的高在允許范圍內(nèi)盡可能大。此外，在應(yīng)對突發(fā)情況需要對航天器進(jìn)行機(jī)動操作時，為保證機(jī)動之后的工作效率，可以利用本文作為參考，設(shè)計(jì)航天器的機(jī)動轉(zhuǎn)移軌道，這樣才能保證海洋定位衛(wèi)星的定位精度。