有界噪聲激勵下系統(tǒng)隨機共振的改善*

張強 王劍龍 李揚 劉先斌

（南京航空航天大學(xué)航空學(xué)院，南京 210016）

引言

1981年意大利學(xué)者Benzi等在解釋冰川周期時提出了隨機共振理論［1］，指出非線性系統(tǒng)在同時受弱周期激勵和隨機激勵時，噪聲的能量會增強系統(tǒng)的周期輸出，進(jìn)而可以檢測微到弱信號.隨后，1983年Fauve和Heslot在研究Schmitt觸發(fā)器時觀察到隨機共振現(xiàn)象［2］.1988年，McMamara、Wiesenfeld和Roy［3］在雙向環(huán)形激光實驗中也得到了類似的結(jié)果.此后，隨機共振引起了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，并在眾多動力系統(tǒng)中均發(fā)現(xiàn)了該現(xiàn)象.例如Qin等［4］研究了二階Duffing系統(tǒng)的隨機共振，提出了一種快速迭代算法，該算法比傳統(tǒng)算法具有更好的精度和收斂性.基于預(yù)測-校正方法，Yang等［5］學(xué)者研究了雙穩(wěn)態(tài)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中的隨機共振和隨機P-分岔問題.當(dāng)確定性系統(tǒng)的漸近狀態(tài)是平穩(wěn)的，Hu等［6］研究者揭示了一個有趣的現(xiàn)象，即隨機共振也會出現(xiàn)在一個沒有外部周期激勵的系統(tǒng)中.類似地，沒有噪聲擾動但受周期性激勵的Hodgkin-Huxley神經(jīng)元也發(fā)現(xiàn)有隨機共振現(xiàn)象［7］.近年來相關(guān)的研究仍有不少新的結(jié)果［8-11］.Han等［12］揭示了在Lévy噪聲驅(qū)動下的多穩(wěn)定系統(tǒng)中的隨機共振機理，認(rèn)為相比于雙穩(wěn)態(tài)或單穩(wěn)態(tài)模型，多穩(wěn)態(tài)模型中噪聲對信號有更好的增強作用.Li等［13］基于SR理論提出了一種微弱信號檢測方法，可用于風(fēng)電設(shè)備故障診斷.

由于高斯噪聲的無界性，它被認(rèn)為不符合一些實際模型［14］.通常有界噪聲被視為有色噪聲的通用模型，其被定義為振幅恒定、平均頻率恒定、相位滿足單位維納過程的諧波函數(shù).有界噪聲在物理、通信、化學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的研究［15-17］.Yung 等［18］研究了有界噪聲驅(qū)動的 Fitzhugh-Nagumo神經(jīng)系統(tǒng)中的隨機共振，并通過數(shù)值計算表明，對于有界噪聲，可以通過調(diào)整其噪聲強度或顏色來誘導(dǎo)隨機共振.在靜態(tài)仿真的基礎(chǔ)上，F(xiàn)ei等［19］.研究了非對稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中有界噪聲和周期信號引起的隨機共振Zhao等［20］通過在激勵中引入輔助高頻信號，提出了一種利用振動強度改善隨機共振現(xiàn)象的方法.盡管相關(guān)問題的研究目前已有了一些結(jié)果，但關(guān)于有界噪聲強度與參數(shù)之間的關(guān)系及其對隨機共振的影響尚沒有特別的討論.

本文內(nèi)容如下：第一節(jié)，研究了受有界噪聲擾動三個典型動力學(xué)系統(tǒng)的隨機共振，考察參數(shù)改變對系統(tǒng)輸出的影響；第二節(jié)，由于國內(nèi)外關(guān)于隨機共振的Simulink仿真實驗較少［21］，因此通過建立Simulink模型來對系統(tǒng)進(jìn)行模擬仿真，以驗證第一節(jié)中有關(guān)結(jié)論的可靠性.

1 有界噪聲的隨機共振

我們考慮如下受有界噪聲擾動和弱周期激勵的Duffing隨機共振雙穩(wěn)態(tài)模型

其中N(t)為有界噪聲，如下所示

k為阻尼系數(shù)，σ為相位的隨機程度，D與Ω分別是有界噪聲的振幅和平均頻率.θ滿足[0，2π]上的一致分布，W(t)是單位維納噪聲，且有

其中?(i)為高斯隨機數(shù).根據(jù)上述方程及高斯噪聲的特性，方程（2）可寫作

因此，α(t)均值及自相關(guān)函數(shù)為

方程（2）的譜密度函數(shù)為

根據(jù)上式，方程（4）的均值及自相關(guān)函數(shù)可得

因此，有

當(dāng)t→ ∞時，方程（12）可簡化為

且可知其功率譜密度函數(shù)為

由上式可知，S(ω')依賴于參數(shù)D，σ和Ω.σ→ 0時，ω= ±Ω，有S(ω')→ +∞，在其他頻率下，S(ω')→ 0.σ→∞時，有界噪聲會無限近似于白噪聲.

令

基于二階隨機Runge-Kutta法，對方程（16）離散可得

本文選擇功率譜放大因子來衡量隨機共振的效果，表達(dá)式如下所示

其中，A是外加弱周期激勵的振幅，為了不失一般性，我們計算五百條路徑，做傅里葉變換后再對其平均，得到.由于初始條件不影響計算結(jié)果，上述算法中均取為零.

我們分別取a=b=1，k=A=0.1，ω=0.1，0.3，σ=0.01，0.1，計算σ，ω，Ω改變時方程（1）的隨機共振，來探究外部周期激勵及有界噪聲參數(shù)的改變對結(jié)果的影響.在計算時可發(fā)現(xiàn)結(jié)果具有較差的收斂性，盡管取方程（17）中的時間步長dt=0.001s，且考慮極長的時間歷程，但σ=0.01時的計算結(jié)果仍然有所偏差.

從圖1和圖2我們可以看出ω與Ω滿足一定數(shù)值關(guān)系時，系統(tǒng)隨機共振的結(jié)果最佳（如圖中黑色圓形標(biāo)記所示）.不同Ω下峰值不斷變化，但峰值所對應(yīng)的D值相差不大，偏移較小.對比圖1（a）與圖1（b），圖2（a）與圖2（b），我們可以看出ω的增大會較明顯的抑制隨機共振的結(jié)果，且觀察圖2（b），Ω=0.1時，峰值處振幅相比于輸入信號幾乎不再具有放大效果.對比圖1（a）與圖2（a），圖1（b）與圖2（b）可知，σ的增大同樣會抑制結(jié)果，但峰值的變化趨勢和ω增大時相似，此外，在數(shù)值計算時我們發(fā)現(xiàn)，σ的增大會給系統(tǒng)結(jié)果帶來更好的收斂性，所得到的曲線相比于σ=0.01時會更加光滑.

圖1 方程（1）Ω改變時的D-η曲線Fig.1 D- η graph of Eq.（1）whenΩ changes

圖2 方程（1）Ω改變時的D-η曲線Fig.2 D- η graph of Eq.（1）whenΩ changes

為了更好地探究σ-Ω的數(shù)值關(guān)系及σ，ω改變時分別對系統(tǒng)隨機共振的影響，說明上述現(xiàn)象在有界噪聲系統(tǒng)中存在的普遍性，我們再考慮如下兩個Langevin方程：方程（21）是隨機共振理論中經(jīng)常研究的一維振子，具有勢阱V(x)=-ax2/2+bx4/4，勢能最小值在處取得.系統(tǒng)（22）在系統(tǒng)（21）的基礎(chǔ)上加一個反對稱參數(shù)γ，可以造成勢阱的不對稱性.這里我們?nèi)=b=1，A=γ=0.1.

圖3和圖4是方程（21）的D-η曲線.與圖1和圖2對比可見，結(jié)果具有更好的收斂性.系統(tǒng)在Ω=0.5或Ω=0.8時隨機共振的結(jié)果最佳，說明即使參數(shù)相同，在不同的系統(tǒng)中，ω-Ω的數(shù)值關(guān)系不盡相同.此外，在Ω不斷增大的過程中，系統(tǒng)峰值并非只是減小，而是具有明顯的偏移及其先增大后減小的過程.對比圖3（a）與圖3（b），圖4（a）與圖4（b），ω增大時，隨機共振的結(jié)果被明顯的抑制，對比圖3（a）與圖4（a），圖3（b）與圖4（b），σ的增大只會略微影響，和方程（1）的結(jié)果相近.系統(tǒng)（1）在Ω =0.5時，有ηmax≈ 1，觀察圖4-b可見，Ω =1.5時，仍有ηmax≥4，說明這系統(tǒng)（21）隨機共振對信號的放大效果要遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于系統(tǒng)（1）.

圖3 方程（21）Ω改變時的D-η曲線Fig.3 D- η graph of Eq.（21）whenΩ changes

圖4 方程（21）Ω改變時的D-η曲線Fig.4 D- η graph of Eq.（21）whenΩ changes

由于σ的微小增量對共振影響不大，為了更好的反應(yīng)參數(shù)σ對結(jié)果的影響，計算方程（22）的隨機共振時，我們?nèi)ˇ?1.圖5和圖6我們可以觀察到與方程（1）和方程（21）相似的結(jié)果，但由于反對稱參數(shù)的存在，隨機共振的放大效果不如之前，這時更能體現(xiàn)ω和Ω的參數(shù)關(guān)系對系統(tǒng)的作用.此外，取不同參數(shù)時，分別在Ω=0.2，Ω=0.6，或Ω=1時隨機共振的結(jié)果最佳，更加說明ω-Ω具有普遍性，但Ω增大時，各個系統(tǒng)所具有的峰值偏移效應(yīng)卻不盡相同.對比圖5（a）與圖5（b），圖6（a）與圖6（b），仍然可見ω的增大會抑制結(jié)果.對比圖5（a）與圖6（a），圖5（b）與圖6（b）可得，σ的顯著增大會明顯減弱放大效果，由于Ω≤0.22的結(jié)果近乎重合，圖6（a）只給出了Ω =0.08，0.2，0.22的結(jié)果.觀察圖6（b）可知，盡管σ，ω的增大使得系輸出的增幅小于輸入信號，隨機共振對于增強微弱信號的效果已不存在，但ω-Ω的數(shù)值關(guān)系仍然使系統(tǒng)輸出存在最優(yōu)值且峰值存在著偏移且先增大后減小的現(xiàn)象.

圖5 方程（22）Ω改變時的D-η曲線Fig.5 D- η graph of Eq.（22）whenΩ changes

圖6 方程（22）Ω改變時的D-η曲線Fig.6 D- η graph of Eq.（22）whenΩ changes

總結(jié)上述結(jié)果可知，不同系統(tǒng)中，σ，ω的增大往往會抑制隨機共振，結(jié)果的峰值偏移效應(yīng)不盡相同，但其大小變化趨勢不變，總是呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，也就是說，在Ω增大的過程中，會存在一實數(shù)n，使得Ω=nω時，系統(tǒng)隨機共振的結(jié)果最佳，在類似于方程（21）這種隨機共振所帶來的放大效應(yīng)不是很理想的反對稱系統(tǒng)中，這一數(shù)值關(guān)系可以有效地改善輸出.

2 隨機共振的Simulink仿真研究

近些年來，在不同的領(lǐng)域中，關(guān)于隨機共振的研究多局限于數(shù)值仿真、實驗，模擬實驗的研究較少，盡管模擬的數(shù)據(jù)相較于真實實驗數(shù)據(jù)會有偏差，但是由于其簡單易操作、節(jié)約成本、對真實實驗結(jié)果具有預(yù)測性的特點，仍然具有一定程度的研究價值.這里我們便使用軟件Simulink來驗證上文結(jié)果在真實系統(tǒng)的存在性且驗證ω-Ω這一數(shù)值關(guān)系對結(jié)果改善的可靠性.Simulink是Matlab中一種可以實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真和分析的可視化工具，被廣泛應(yīng)用于線性、非線性系統(tǒng)，數(shù)字控制和數(shù)字信號處理的建模與仿真中.Simulink可以使用連續(xù)采樣時間，離散采樣時間或兩種混合的采樣時間進(jìn)行建模，也支持多速率系統(tǒng).通過建立模塊方塊圖的圖形用戶接口（GUI），以更快捷、簡潔明了的方式使用戶更直觀地看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果.

這里我們建立方程（1）的仿真電路圖，得到模擬實驗的數(shù)據(jù)，采取同樣的方式與其他參數(shù)，通過改變σ，ω，Ω，來探究隨機共振的結(jié)果.

圖7中，Bound noise為有界噪聲，Sine Wave為外加弱周期激勵，Integrator為積分器，D為有界噪聲的振幅，x為輸入到Matlab工作空間的仿真數(shù)據(jù).為了不失一般性，我們通過m文件sim函數(shù)的反復(fù)調(diào)用，產(chǎn)生足夠多的路徑，經(jīng)過離散傅里葉變換，再對結(jié)果進(jìn)行平均，得到η.為了保證結(jié)果的收斂性，取很小的時間步長，仿真實驗的時間歷程也盡可能地長.

圖7 方程（1）的Simulink仿真實驗Fig.7 Simulation experiment of Eq.（1）

從圖8和圖9我們可以看出，與數(shù)值計算的結(jié)論相同，ω與Ω滿足某一數(shù)值關(guān)系時，系統(tǒng)隨機共振的結(jié)果最佳（如圖中黑色圓形標(biāo)記所示）.對比圖1圖2與圖8圖9，可以看出，由于系統(tǒng)的隨機性，仿真實驗的結(jié)果偏大，盡管得到的結(jié)果略微有差別，但誤差在可以接受的范圍內(nèi).通過Simulink的仿真，我們驗證了這一數(shù)值關(guān)系的存在且可以明顯改善系統(tǒng)隨機共振的結(jié)果.

圖8 方程（1）的Simulink仿真數(shù)據(jù)Fig.8 Simulation of Eq.（1）in Simulink

圖9 方程（1）的Simulink仿真結(jié)果Fig.9 Simulation results of Eq.（1）in Simulink

3 結(jié)論

本文通過數(shù)值計算和仿真實驗的方法研究了受有界噪聲擾動及弱周期激勵下三類典型系統(tǒng)的隨機共振問題，探討了平均頻率Ω改變時有界噪聲對共振結(jié)果的影響，發(fā)現(xiàn)當(dāng)噪聲頻率與輸入信號頻率滿足一定數(shù)量關(guān)系時，隨機共振的放大效果最佳.尤其在特定系統(tǒng)中，通過調(diào)整有界噪聲平均頻率來增強共振結(jié)果是非常有效果的.