楊勝奇， 劉書田

(大連理工大學(xué) 工程力學(xué)系 工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024)

1 引 言

層合板是由不同材料屬性的薄片通過某種工藝(如粘接)復(fù)合而成，具有輕質(zhì)、參數(shù)可設(shè)計性強和比強度比剛度高等優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域。在層合板中，通常不同材料之間連接界面的力學(xué)性能最為薄弱。過大的層間剪應(yīng)力會導(dǎo)致層合板界面處發(fā)生分層破壞。分層破壞是層合板的主要失效形式[1]，如纖維增強復(fù)合材料層合板損傷失效50%以上是由分層引起[2]。因此，準確預(yù)測層合板的層間剪應(yīng)力尤為重要。

現(xiàn)已提出了大量的層合板分析理論[3-8]，如一階剪切變形理論[3]、高階剪切變形理論[4]和鋸齒理論[5-6]等。這些理論能夠準確地預(yù)測層合板的面內(nèi)應(yīng)力，然而大都無法直接通過本構(gòu)方程獲得準確的橫向剪應(yīng)力[9]。為了獲得更準確的橫向剪應(yīng)力，Whitney[10]提出了三維平衡方程后處理方法(TPM)，其廣泛應(yīng)用于層合板的橫向剪應(yīng)力預(yù)測[5,11-13]。然而，三維平衡方程后處理方法(TPM)需要計算面內(nèi)應(yīng)力的一階導(dǎo)，使得簡單的低階單元無法使用TPM計算橫向剪應(yīng)力。以線性單元為例，其為常應(yīng)變單元，面內(nèi)應(yīng)力的一階導(dǎo)恒為零。因此，基于線性單元和三維平衡方程后處理方法得到的橫向剪應(yīng)力也恒為零。為了使用TPM獲得更準確的橫向剪應(yīng)力，常使用高階單元，如六節(jié)點三角形單元[11]、八節(jié)點四邊形單元[12]和九節(jié)點四邊形單元[13]。但高階單元的使用往往會造成節(jié)點數(shù)目的增多和計算效率的降低。此外，還可以通過使用局部應(yīng)變光順[14]或局部應(yīng)力光順[15]的方法來獲得面內(nèi)應(yīng)力的一階導(dǎo)。這類方法能夠使用TPM有效地獲得少量節(jié)點的橫向剪應(yīng)力。然而，如果想要獲得所有節(jié)點的橫向剪應(yīng)力，需要花費非常多的計算時間。因此，需要發(fā)展一種高效的新后處理方法來預(yù)測層合板的橫向剪切應(yīng)力。

本文提出了一種新后處理方法來預(yù)測層合板的橫向剪應(yīng)力。其優(yōu)點在于可以使用低階單元來預(yù)測層合板的層間剪應(yīng)力?；谛拚忼X理論(RZT)[5]和新后處理方法，本文構(gòu)造C0連續(xù)的三節(jié)點三角形線性板單元。幾個典型算例驗證了新后處理方法的計算精度以及提出板單元的計算效率和精度。

2 修正鋸齒理論(RZT)

修正鋸齒理論(RZT)是一種C0型鋸齒理論，基于RZT，層合板的位移場[5]可表示為

w(x,y,z)=w0(x,y)

(1)

(2)

3 三維平衡方程后處理方法(TPM)

基于修正鋸齒理論，直接通過本構(gòu)方程得到的橫向剪應(yīng)力精度低。為了獲得更為精確的橫向剪應(yīng)力，常使用三維平衡方程后處理方法。忽略體力，三維平衡方程可表示為

(3)

應(yīng)用自由表面條件，由三維平衡方程得到的橫向剪應(yīng)力表達式可表示為

(4)

對于正交鋪層層合板，可以使用兩個獨立的圓柱彎曲[16]來進一步簡化式(4)，式(4)可以重寫為

(5)

4 新后處理方法(NPM)

為了消除式(5)位移參數(shù)的二階導(dǎo)，提出一種虛功等效法。虛功等效法假定由本構(gòu)關(guān)系獲得的橫向剪應(yīng)力在虛剪應(yīng)變上做的功等于由三維平衡方程獲得的橫向剪應(yīng)力在虛剪應(yīng)變上做的功?；谔摴Φ刃Х?，可得

(6)

將本構(gòu)方程和式(5)代入式(6)，可得到由新后處理方法(NPM)獲得的橫向剪應(yīng)力的表達式為

(7)

5 C0連續(xù)的三節(jié)點三角形單元

基于修正鋸齒理論和新后處理方法，構(gòu)造一種有效的C0連續(xù)的三節(jié)點三角形線性板單元。對于三節(jié)點三角形單元，位移參數(shù)可以離散為

(8)

式中Li為面積坐標。

基于幾何方程，單元應(yīng)變向量可以表示為

ε=Bδe

(9)

式中節(jié)點運動變量參數(shù)向量δe和單元應(yīng)變矩陣B分別為

(10)

B=(B1,B2,B3)

(11)

基于新后處理方法，將式(8)代入由新后處理方法獲得的橫向剪應(yīng)力式(7)，可得

(12)

6 算 例

采用不同的復(fù)合材料層合板和復(fù)合材料測試所提出的新后處理方法的計算精度以及基于該方法提出板單元的計算效率和精度。選用層合板算例的材料特性和鋪層順序分別列入表1和表2。為了便于對比研究，橫向剪應(yīng)力的無量綱化為

表1 材料特性(單位：GPa)

6.1 新后處理方法的計算精度評估

為了評估新后處理方法的計算精度，選取具有三維彈性解(Exact)的承受雙正弦載荷的簡支層合板(Laminate A)進行研究。為了避免網(wǎng)格密度的影響，用解析法研究新后處理方法的計算精度。基于修正鋸齒理論(RZT)，分別由本構(gòu)方程(CE)、三維平衡方程后處理方法(TPM)和新后處理方法(NPM)得到層合板的橫向剪應(yīng)力，如圖1所示。可以看出，新后處理方法和三維平衡方程后處理方法具有相同的計算精度。與三維彈性解(Exact)[17]對比可知，由本構(gòu)方程獲得的橫向剪應(yīng)力存在較大誤差，修正鋸齒理論(RZT)結(jié)合后處理方法能夠獲得高精度的橫向剪應(yīng)力。

6.2 提出板單元的計算效率和計算精度評估

本文基于修正鋸齒理論(RZT)和新后處理方法(NPT)構(gòu)造一種C0連續(xù)的三節(jié)點三角形單元，為了評估提出單元的計算效率，與基于三維平衡方程后處理方法的六節(jié)點三角形單元[11]進行對比。表3給出了不同網(wǎng)格下兩個單元的節(jié)點數(shù)目和計算耗時。對于相同的網(wǎng)格(12×12)，六節(jié)點三角形單元的節(jié)點數(shù)目是三節(jié)點三角形單元的3.7倍，六節(jié)點三角形單元的計算時間是三節(jié)點三角形單元的11.43倍。并且隨著網(wǎng)格的加密，倍數(shù)呈現(xiàn)逐漸增大的趨勢。本文進一步比較了在相同計算精度下兩種單元的計算耗時。由表4可知，當單元的最大誤差為0.8%時，三節(jié)點三角形單元網(wǎng)格數(shù)為20×20，計算耗時為1.74 s(表3)，六節(jié)點三角形單元的網(wǎng)格數(shù)為12×12，計算耗時為3.20 s(表3)。通過對比可知，基于新后處理方法構(gòu)造的三節(jié)點三角形板單元比基于三維平衡方程后處理方法構(gòu)造的六節(jié)點三角形單元具有更高的計算效率。

圖1 層合板的橫向剪應(yīng)力對比(Laminate A,a /h=4)

表3 兩種板單元自由度數(shù)及計算時間的比較

圖2和圖3給出了由提出的線性板單元獲得的不同夾層板的橫向剪應(yīng)力。Laminate B是由單層面板和芯層構(gòu)成的三層夾層板，Laminate C的面板是由多層復(fù)合材料層合板構(gòu)成?？梢钥闯?，提出的板單元結(jié)合新后處理方法(NPM)獲得的橫向剪應(yīng)力與三維彈性解(Exact)[17]吻合較好，而由本構(gòu)方程(CE)獲得的橫向剪應(yīng)力具有較大誤差。

圖2 三層夾層板的橫向剪應(yīng)力對比(Laminate B,a /h =4)

圖3 多層夾層板的橫向剪應(yīng)力對比(Laminate C,a /h =10)

6.3 基于新后處理方法和商用軟件預(yù)測層合板的層間應(yīng)力

工程中常用3維單元計算層合板的層間應(yīng)力，該方法存在計算效率低的缺點。而使用商用軟件中現(xiàn)有的板殼單元，只能準確預(yù)測層合板的變形和面內(nèi)應(yīng)力，無法準確預(yù)測層間剪應(yīng)力。由于使用新后處理方法計算層間剪應(yīng)力具有無需提高單元階次的優(yōu)點。因此，可以結(jié)合商用軟件和新后處理方法來預(yù)測層合板的層間剪應(yīng)力。本文結(jié)合Abaqus和新后處理方法，驗證上述思路的可行性。首先，基于Abaqus的S4R5薄殼單元(對應(yīng)一階剪切變形理論)，獲得層合板的節(jié)點位移；然后使用獲得的節(jié)點位移和新后處理方法，獲得層合板的層間應(yīng)力。本文以承受正弦載荷(q=q0sin(πx/a))的對邊簡支對邊自由的層合板(Laminate A)來驗證該方法的精度。層合板厚度為3 mm，長和寬為 60 mm。圖4給出了不同方法預(yù)測的層合板的橫向剪應(yīng)力。3D -FE表示由Abaqus軟件使用3維單元(C3D8R)預(yù)測的結(jié)果。FSDT+NPM表示先由Abaqus軟件使用薄殼單元(S4R5)獲得節(jié)點位移，然后由新后處理方法獲得的橫向剪應(yīng)力。在劃分相同面內(nèi)網(wǎng)格情況(60×60)下，3D -FE自由度數(shù)為692106，殼單元自由度為18605，3D -FE的自由度數(shù)是殼單元的37.2倍?？梢钥闯觯現(xiàn)SDT+NPM的預(yù)測結(jié)果與3D -FE結(jié)果和三維彈性解(Exact)[17]吻合較好，證明基于新后處理方法和商用軟件預(yù)測層合板的層間應(yīng)力是可行的。此外，由于針對特定單元，由新后處理方法獲得橫向剪應(yīng)力的表達式(7)可以顯式給出，新后處理方法也可以很容易集成到商用軟件中。

圖4 層合板的橫向剪應(yīng)力對比(Laminate A,a /h =20)

7 結(jié) 論

為了實現(xiàn)使用低階單元準確預(yù)測層合板層間剪應(yīng)力的目的，本文提出了一種新后處理方法。該方法使用虛功等效法消除了三維平衡方程后處理方法中產(chǎn)生的位移參數(shù)高階導(dǎo)，解決了三維平衡方程后處理方法無法使用低階單元計算層間剪應(yīng)力的難題?；谛拚忼X理論和新后處理方法，構(gòu)造了一種C0連續(xù)的三節(jié)點三角形線性單元。通過經(jīng)典算例驗證了新后處理方法的計算精度以及提出線性單元的計算效率和精度，可得到如下結(jié)論。

(1) 新后處理方法和三維平衡方法后處理方法具有相同的計算精度。

(2) 基于新后處理方法和修正鋸齒理論，僅使用線性單元就可以獲得高精度的橫向剪應(yīng)力。

(3) 新后處理方法結(jié)合現(xiàn)有的有限元商用軟件，可以高效高精度地預(yù)測層合板的層間剪應(yīng)力。

附錄A:

(A1)

(i=1～3)(A2)

ei為三維單位列向量。