陳培杰，汪志云

(湖北文理學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，湖北 襄陽(yáng) 441053)

低頻準(zhǔn)周期振蕩是存在于黑洞雙星暫現(xiàn)源的普遍現(xiàn)象，表現(xiàn)為X射線光變功率譜密度曲線上的寬峰，峰的中心頻率從幾毫赫茲到30 Hz[1-3]。根據(jù)峰的品質(zhì)因子、噪聲和相位延遲等，低頻準(zhǔn)周期振蕩通常分為A，B和C 3種。其中，C型低頻準(zhǔn)周期振蕩是黑洞暫現(xiàn)源中最常見(jiàn)的類型，常在低硬態(tài)和硬中間態(tài)觀測(cè)到，頻率范圍在幾毫赫茲到10 Hz，但在高軟態(tài)也能觀測(cè)到，頻率可達(dá)到約30 Hz。C型低頻準(zhǔn)周期振蕩伴隨著較強(qiáng)的平臺(tái)噪聲，連續(xù)譜呈現(xiàn)近似截?cái)鄡缏勺V輪廓，且通常由一個(gè)主峰和幾個(gè)附加峰組成復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。主峰的中心頻率與振蕩的基頻有關(guān)，附加峰是指分別在基頻的半頻和二次諧頻處出現(xiàn)的副諧頻峰和諧頻峰[2-5]。在少數(shù)情況下，諧頻峰(或副諧頻峰)的值與基頻峰相當(dāng)，形成一種特殊的雙峰低頻準(zhǔn)周期振蕩。如在XTE J1550-564和XTE J1859+226兩個(gè)黑洞暫現(xiàn)源功率譜的相關(guān)頻率處出現(xiàn)了兩個(gè)強(qiáng)而窄的峰[6-7]。

雖然對(duì)低頻準(zhǔn)周期振蕩的觀測(cè)和研究取得了很大的進(jìn)展，但是其物理起源一直是一個(gè)有爭(zhēng)議的問(wèn)題，其中，一個(gè)可能的起源是吸積盤的振蕩。在吸積盤中，流體元受擾動(dòng)的恢復(fù)力作用時(shí)，在水平方向作慣性振蕩，在赤道面附近垂直方向作簡(jiǎn)諧振蕩，且不同方向的振蕩是耦合的。這些振蕩按照恢復(fù)力的性質(zhì)可以分為g-模(gravity modes)、p-模(pressure modes)和c-模(corrugation modes)3種類型。研究發(fā)現(xiàn)，這些振蕩被禁閉在吸積盤中一定區(qū)域內(nèi)傳播，即所謂陷波振蕩(trapped oscillation)[8-9]。禁閉振蕩的頻率與黑洞質(zhì)量成反比，可能是黑洞暫現(xiàn)源中觀測(cè)到的準(zhǔn)周期振蕩。其中，g-模和p-模振蕩頻率在高頻準(zhǔn)周期振蕩的頻率范圍內(nèi)，而c-模是低頻振蕩，被禁閉在內(nèi)半徑和內(nèi)部垂向共振半徑之間，其振蕩頻率與低頻準(zhǔn)周期振蕩頻率相當(dāng)[2]。此外，文[10]提出了吸積盤全局的垂向振蕩模型，該模型假設(shè)整個(gè)盤的垂向振蕩可以產(chǎn)生0.1 Hz左右的持續(xù)低頻準(zhǔn)周期振蕩。

以上吸積盤的振蕩模型并不能從觀測(cè)的光譜上擬合低頻準(zhǔn)周期振蕩，且從C型低頻準(zhǔn)周期振蕩的性質(zhì)及寬帶噪聲的形狀和強(qiáng)度可以看出，準(zhǔn)周期振蕩應(yīng)該與含有附加噪聲的隨機(jī)系統(tǒng)有關(guān)。因此，文[11-12]提出用廣義朗之萬(wàn)方程描述吸積盤的隨機(jī)振蕩，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到振蕩光度的功率譜密度，解釋了一些觀測(cè)結(jié)果。文[13]利用此模型計(jì)算了3種情況的光變曲線和功率譜，并通過(guò)冪律擬合功率譜來(lái)獲得不同情況下的光譜指數(shù)，發(fā)現(xiàn)觀測(cè)天體光譜指數(shù)變化是由盤振蕩在不同情況之間的轉(zhuǎn)換引起的。對(duì)于這樣的隨機(jī)系統(tǒng)，在一定條件下能產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。而隨機(jī)共振是乘性在隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)中的非線性現(xiàn)象，已廣泛應(yīng)用于天文領(lǐng)域的研究[14]。文[15-17]討論了吸積盤隨機(jī)振蕩光度功率譜密度曲線中的隨機(jī)共振現(xiàn)象，認(rèn)為曲線中的共振峰為黑洞雙星系統(tǒng)中準(zhǔn)周期振蕩現(xiàn)象的物理解釋。在這些工作中，模型中的隨機(jī)項(xiàng)僅存在于粘滯系數(shù)和外部作用力，吸積盤的振蕩頻率固定不變，在功率譜密度曲線中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)諧頻峰?；诖耍疚奶岢鲇冒l率漲落和隨機(jī)力作用的廣義朗之萬(wàn)方程模型描述黑洞吸積盤的垂向振蕩，計(jì)算吸積盤隨機(jī)振蕩光度的功率譜密度，討論出現(xiàn)的雙峰隨機(jī)共振現(xiàn)象，為解釋C型低頻準(zhǔn)周期振蕩提供理論依據(jù)。

1 吸積盤隨機(jī)振蕩的功率譜密度

1.1 吸積盤振蕩模型方程

一個(gè)包圍致密天體的標(biāo)準(zhǔn)吸積薄盤在受到外界隨機(jī)力和內(nèi)部粘滯力作用時(shí)，盤中單位質(zhì)量粒子的垂向振蕩可以用廣義朗之萬(wàn)方程描述[12]：

(1)

其中，z和ω⊥分別為粒子垂向振蕩的位移和頻率；ξ為吸積盤內(nèi)部的粘滯耗散作用系數(shù)，是一個(gè)常量；外部作用力f(t)是指數(shù)形式關(guān)聯(lián)的湍流作用隨機(jī)力，滿足統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

〈f(t)〉=0,〈f(t)f(t′)〉=De-λ|t-t′|，

(2)

其中，〈〉表示取平均值；D為常數(shù)，表示隨機(jī)力作用的強(qiáng)度；λ為隨機(jī)力關(guān)聯(lián)時(shí)間的倒數(shù)，即時(shí)間關(guān)聯(lián)率，其大小和盤振蕩頻率的關(guān)系影響吸積盤振蕩與湍流作用的耦合[18]。在此，我們?cè)O(shè)定λ小于盤的振蕩頻率。

假設(shè)吸積盤的垂向振蕩頻率受外界因素的影響存在漲落現(xiàn)象，其表達(dá)式為[19]

(3)

頻率漲落η(t)是高斯白噪聲隨機(jī)量，統(tǒng)計(jì)特性為

(4)

其中，ε為噪聲強(qiáng)度，設(shè)0≤ε≤1，因?yàn)槿籀胖递^大，頻率噪聲會(huì)迫使功率譜密度曲線上的峰較寬，而降低峰的品質(zhì)因子Q值[18]；ω0為吸積盤垂向振蕩的特征角頻率，表達(dá)式為[10]

(5)

其中，m=M/M⊙，M和M⊙分別為中心天體和太陽(yáng)的質(zhì)量；rin為吸積盤內(nèi)邊緣的半徑，rin=Rin/3RS；RS為史瓦西半徑，RS=2GM/c2；rout=Rout/Rin和radj=Radj/Rin分別為盤的外邊緣半徑和調(diào)整半徑；面密度指數(shù)γ可以取3/5或3/4[10]。

為了計(jì)算簡(jiǎn)便，假定β=ξ/2作為吸積盤內(nèi)部的粘滯阻尼系數(shù)，則(1)式可以寫成

(6)

假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)量不相關(guān)聯(lián)，滿足〈f(t)η(t′)〉=0。通過(guò)對(duì)(6)式作拉普拉斯變換，可以求得任意時(shí)刻粒子振蕩的位移和速度：

(7)

(8)

〈z(t)〉=v0H(t),〈v(t)〉=v0H·(t).

(9)

在ω0>β的情況下, 響應(yīng)函數(shù)H(t)和H·(t)為

(10)

1.2 振蕩位移和速度的關(guān)聯(lián)函數(shù)

根據(jù)文[20]給出的廣義朗之萬(wàn)方程中位移和速度關(guān)聯(lián)函數(shù)的計(jì)算方法，定義位移的方差σ2(t)、及位移和速度的時(shí)間關(guān)聯(lián)函數(shù)κz(t,τ)和κv(t,τ)為

σ2(t)=〈[z(t)-〈z(t)〉]2〉 ，

(11)

κz(t,τ)=〈[z(t+τ)-〈z(t+τ)〉][z(t)-〈z(t)〉]〉 ，

(12)

κv(t,τ)=〈[v(t+τ)-〈v(t+τ)〉][v(t)-〈v(t)〉]〉.

(13)

根據(jù)隨機(jī)量η(t)和f(t)統(tǒng)計(jì)過(guò)程的獨(dú)立性，它們滿足以下統(tǒng)計(jì)關(guān)系

〈f(t1)η(t2)z(t2)〉=〈f(t1)η(t1)z(t2)〉=0,〈f(t)z(t)〉=0 ，

(14)

則位移和速度的關(guān)聯(lián)函數(shù)可以表示為

(15)

(16)

當(dāng)t→∞時(shí)，以上公式變?yōu)?/p>

(17)

(18)

(19)

1.3 隨機(jī)振蕩光度的功率譜密度

吸積盤中單位質(zhì)量粒子振蕩的總能量為

(20)

由于外部隨機(jī)力、內(nèi)部粘滯耗散和頻率漲落噪聲的作用，粒子的總能量部分損失，損失的能量即為粒子振蕩的光度L(t)，由(6)式和(20)式可以得到

(21)

當(dāng)t→∞時(shí)，光度的穩(wěn)態(tài)平均自相關(guān)函數(shù)定義為

(22)

將(17), (18)和(21)式代入(22)式，得到

-4β〈Θ(t+τ)Θ(t)〉〈f(t)Θ(t+τ)〉-2β〈f(t+τ)Θ(t+τ)〉〈Θ2(t)〉+

〈f(t+τ)Θ(t+τ)〉〈f(t)Θ(t)〉+〈η(t+τ)η(t)〉〈Θ(t+τ)Θ(t)Φ(t+τ)Φ(t)〉]

(23)

通過(guò)傅里葉變換，(23)式轉(zhuǎn)換成振蕩光度的功率譜密度

(24)

通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算，并忽略不含頻率ν的常數(shù)項(xiàng)，可以得到PSD(ν)的表達(dá)式為

(25)

2 模型參數(shù)對(duì)功率譜密度曲線中低頻準(zhǔn)周期振蕩的影響

根據(jù)解析表達(dá)式(25)，我們可以計(jì)算不同參數(shù)作用下盤振蕩光度的功率譜密度，并發(fā)現(xiàn)曲線中出現(xiàn)了單峰和雙峰的隨機(jī)共振現(xiàn)象。這些隨機(jī)共振峰即為低頻準(zhǔn)周期振蕩。下面主要討論系統(tǒng)參數(shù)(ε,λ,β,ν0)對(duì)低頻準(zhǔn)周期振蕩的影響。

2.1 低頻準(zhǔn)周期振蕩隨特征振蕩頻率ν0的變化

在我們的模型中，通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)隨機(jī)力的強(qiáng)度D不改變譜線的輪廓，因此，在以下的分析中取D=1，且吸積盤垂向振蕩的特征頻率ν0=ω0/2π，近似為C型低頻準(zhǔn)周期振蕩的基頻。由(5)式可知，ω0依賴于吸積盤的結(jié)構(gòu)和中心天體的質(zhì)量。選擇不同的盤參數(shù)，使振蕩頻率在低頻準(zhǔn)周期振蕩的范圍內(nèi)。在其他參數(shù)保持不變時(shí)，不同特征頻率下的功率譜密度曲線均呈現(xiàn)與低頻準(zhǔn)周期振蕩相吻合的低頻截?cái)鄡缏勺V輪廓(圖1)。由圖1可以看出，當(dāng)ν0取不同值時(shí)，小于截?cái)嗵庮l率的低頻部分功率變化很小，并且高頻部分的譜斜率基本保持不變。然而，曲線中的隨機(jī)共振峰對(duì)ν0十分敏感，只有當(dāng)ν0達(dá)到一定的值時(shí)，才出現(xiàn)一個(gè)基頻峰和一個(gè)附加的二次諧頻峰，雙峰的中心頻率分別對(duì)應(yīng)ν0和2ν0。隨著ν0減小，兩個(gè)峰變低變寬，且基頻峰變化更快。當(dāng)ν0減小到0.07 Hz時(shí)，基頻峰幾乎消失，在曲線上只留下一個(gè)較寬的二次諧頻峰。隨著ν0進(jìn)一步減小，諧頻峰也越來(lái)越弱，直至完全消失。在ν0=0.02 Hz時(shí)，功率譜密度隨頻率的增加而單調(diào)減小，不存在低頻準(zhǔn)周期振蕩。這說(shuō)明吸積盤振蕩的頻率越高，由隨機(jī)共振導(dǎo)致的準(zhǔn)周期振蕩現(xiàn)象越明顯。

圖1 振蕩頻率取不同值時(shí)，振蕩光度的功率譜密度曲線，參數(shù)為ε=0.38, β=0.1, λ=0.01, D=1

2.2 低頻準(zhǔn)周期振蕩隨ε, λ和β等參數(shù)的變化

由(21)式可以發(fā)現(xiàn)，吸積盤的振蕩光度主要由粘滯耗散、隨機(jī)力和頻率漲落噪聲共同作用產(chǎn)生，這3種作用在模型中分別用粘滯阻尼系數(shù)β、時(shí)間關(guān)聯(lián)率λ和噪聲強(qiáng)度ε表示。為了討論各參數(shù)對(duì)低頻準(zhǔn)周期振蕩的影響，我們?nèi)⊥腫10]一致的吸積盤幾何參數(shù)，即rin=1，rout=104，γ=3/5，radj=3，選擇頻率為0.1～10 Hz的黑洞候選體XTE J1550-564的質(zhì)量作為天體質(zhì)量[7]。根據(jù)文[1]的評(píng)估，該候選體質(zhì)量范圍8.4M⊙～10.8M⊙，取m=9.6。將這些參數(shù)代入(5)式，計(jì)算得到吸積盤振蕩的特征頻率為ν0=0.289 Hz。當(dāng)ν0固定不變，λ,ε和β取不同值時(shí)，振蕩光度的功率譜密度曲線如圖2。由圖2可以看出，曲線上都出現(xiàn)了期望的單峰或雙峰低頻準(zhǔn)周期振蕩，且參數(shù)對(duì)譜線的影響各不相同。

圖2清晰地表明，當(dāng)吸積盤的振蕩頻率固定時(shí)，低頻準(zhǔn)周期振蕩基頻峰的中心頻率不隨其他參數(shù)發(fā)生變化。這些參數(shù)只影響低頻準(zhǔn)周期振蕩峰的高度和寬度。如隨機(jī)力時(shí)間關(guān)聯(lián)率λ對(duì)基頻的峰影響較大，而對(duì)二次諧頻峰幾乎不產(chǎn)生影響(如圖2(a))，且隨著λ的增大，曲線上移，說(shuō)明隨機(jī)力的關(guān)聯(lián)時(shí)間越短，譜密度越大，但是基頻對(duì)應(yīng)的峰值卻在減小，峰變得更寬更平，直至消失，此時(shí)隨機(jī)共振峰只包含一個(gè)中心頻率為2ν0的單峰。相反，頻率噪聲強(qiáng)度ε和粘滯阻尼系數(shù)β只對(duì)二次諧頻峰有較大的影響，對(duì)基頻峰的影響卻很小(如圖2(b)和(c))。當(dāng)增大ε，或減小β，功率譜密度曲線上移，二次諧頻峰變得更加尖銳。而ε取較小值，或β取較大值時(shí)，二次諧頻峰都消失。以上說(shuō)明隨機(jī)力關(guān)聯(lián)時(shí)間越短，頻率噪聲強(qiáng)度越大，阻尼越小，吸積盤振蕩與湍流作用、內(nèi)部噪聲和粘滯作用更容易產(chǎn)生共振，低頻準(zhǔn)周期振蕩現(xiàn)象越明顯。

圖2 λ, ε和β分別取不同值時(shí)，振蕩光度的功率譜密度曲線，參數(shù)為(a)β=0.1, ε=0.38; (b)β=0.1, λ=0.01; (c)λ=0.01, ε=0.38。垂直線標(biāo)注低頻準(zhǔn)周期振蕩的中心頻率

3 總 結(jié)

本文考慮頻率漲落噪聲和指數(shù)形式關(guān)聯(lián)隨機(jī)力的作用，改進(jìn)了吸積盤垂向隨機(jī)振蕩的朗之萬(wàn)方程模型，發(fā)現(xiàn)在振蕩光度功率譜密度曲線上產(chǎn)生了廣義的單峰和雙峰隨機(jī)共振，用來(lái)解釋包含一個(gè)基頻峰和二次諧頻峰的低頻準(zhǔn)周期振蕩。低頻準(zhǔn)周期振蕩峰是由粘滯耗散、頻率噪聲和外界湍流隨機(jī)力共同作用產(chǎn)生共振的結(jié)果，而且基頻峰對(duì)應(yīng)的中心頻率為吸積盤振蕩的特征頻率ν0，隨機(jī)力關(guān)聯(lián)時(shí)間決定了基頻峰的高度和寬度，頻率噪聲強(qiáng)度和粘滯阻尼對(duì)二次諧頻峰產(chǎn)生影響。

研究結(jié)果證實(shí)了吸積盤的隨機(jī)振蕩模型對(duì)于描述X射線光變是近似有效的，能較好地解釋低頻準(zhǔn)周期振蕩現(xiàn)象。在模型中，低頻準(zhǔn)周期振蕩的中心頻率僅由吸積盤的振蕩頻率決定?？梢韵胂螅绻ㄟ^(guò)調(diào)整吸積盤的幾何結(jié)構(gòu)，使振蕩頻率在瞬時(shí)獲得足夠大，將產(chǎn)生高頻準(zhǔn)周期振蕩，在合適的動(dòng)力學(xué)條件下，可以通過(guò)共振解釋觀測(cè)到的3∶2高頻準(zhǔn)周期振蕩對(duì)，這需要我們下一步建立更加復(fù)雜的吸積盤隨機(jī)振蕩模型擬合觀測(cè)到的高頻準(zhǔn)周期振蕩。