趙秋紅，高俊秀，邱?靜

基于實際豎向荷載分布的波紋鋼板剪力墻軸壓屈曲分析

趙秋紅1, 2，高俊秀1，邱?靜1

(1. 天津大學(xué)建筑工程學(xué)院，天津 300350；2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點實驗室(天津大學(xué))，天津 300350)

波紋鋼板剪力墻是一種采用波紋鋼板作為內(nèi)嵌墻板的新型鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)，具有較高的強度、延性及耗能能力，可作為多層及高層建筑的抗側(cè)力結(jié)構(gòu)體系．內(nèi)嵌波紋墻板可與邊框同步安裝，不可避免地會承受上部樓面及邊框柱傳遞的豎向荷載，因此，對波紋鋼板剪力墻在豎向荷載作用下的軸壓穩(wěn)定性及屈曲承載力進行研究具有重要意義．將波紋墻板簡化為正交各向異性平板，利用微分方程冪級數(shù)求解法，推導(dǎo)了線性、非線性分布的軸壓荷載作用下波紋墻板彈性屈曲承載力的理論分析方法，并結(jié)合三維精細有限元分析結(jié)果對該理論分析方法進行修正，以彌補波紋墻板簡化產(chǎn)生的誤差．建立了多層波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)的精細有限元模型，并對豎向荷載在各層墻板的分布規(guī)律進行研究，發(fā)現(xiàn)頂層墻板中豎向應(yīng)力沿跨度方向呈拋物線分布，并得到了豎向荷載的分布函數(shù)，其余樓層墻板中豎向應(yīng)力近似均勻分布．根據(jù)實際豎向荷載分布，提出了波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)中墻板軸壓屈曲荷載的顯性計算公式，并通過精細有限元分析驗證了該計算公式的有效性．由參數(shù)分析結(jié)果可知，在其他幾何參數(shù)不變的情況下，波紋墻板軸壓屈曲應(yīng)力隨直邊長度的增加顯著降低，隨平區(qū)格板寬度、波折角和區(qū)格板寬度比的增加而增加，而波紋邊長度和板厚的影響不大．

波紋鋼板剪力墻；軸壓屈曲荷載；實際豎向荷載分布；正交各向異性板；冪級數(shù)求解

波紋鋼板剪力墻是一種采用波紋熱軋鋼板為內(nèi)嵌墻板的新型鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)，由于其具有較高的強度、延性及耗能能力，可作為多層及高層建筑的抗側(cè)力體系[1-5]．相較于平板而言，波紋板的屈曲強度顯著提高，可有效解決傳統(tǒng)平墻板在豎向荷載作用下易屈曲而需滯后安裝的問題，從而顯著提高建筑尤其是高層建筑的施工效率[2]．但是，由于內(nèi)嵌墻板與邊框同步安裝，波紋墻板不可避免地會承受上部樓面及邊框柱傳遞的豎向荷載，呈現(xiàn)壓剪聯(lián)合受力的特征，其抗側(cè)承載力亦將受到豎向應(yīng)力的影響[6-7]，因此，對波紋鋼板剪力墻在豎向荷載作用下的軸壓穩(wěn)定性及屈曲承載力進行研究具有重要意義．

波紋板在軸壓荷載作用下可能出現(xiàn)整體屈曲或局部屈曲兩種屈曲模態(tài)，其中局部屈曲荷載主要由區(qū)格板自身柔度決定，可采用經(jīng)典薄板理論計算[8]，因此本文不再贅述．目前，針對波紋板軸壓整體屈曲的研究極為有限．李靚姣[9]通過有限元進行了四邊簡支正弦波紋板在均布軸壓荷載作用下的彈性屈曲分析及參數(shù)分析，并擬合有限元數(shù)據(jù)提出了波紋板的軸壓整體屈曲荷載計算公式．

在鋼板剪力墻中，豎向荷載由上部樓面及邊框柱傳遞到墻板中，并非一定為均勻分布．針對平鋼板剪力墻的研究表明，豎向荷載在墻板中沿寬度方向呈非均勻分布[10]，其中靠近邊框柱的區(qū)域高、中部區(qū)域低，而豎向荷載在波紋鋼板剪力墻中的傳遞和分布規(guī)律尚待研究．另一方面，針對板在非均布軸壓荷載作用下的屈曲穩(wěn)定性的研究目前均集中于矩形平板，其中Kang等[11]研究了線性分布軸壓荷載作用下的兩對邊簡支板的屈曲，Jana等[12-13]研究了集中荷載和正弦分布軸壓荷載作用下的四邊簡支板的屈曲，而Wang等[14-15]研究了余弦分布軸壓荷載作用下的矩形板屈曲．

本文在正交各向異性薄板理論的基礎(chǔ)上，利用微分方程冪級數(shù)求解法[16]，推導(dǎo)了任意分布形式軸壓荷載作用下的波紋鋼板彈性整體屈曲荷載的理論分析方法，并通過與精細有限元分析結(jié)果的對比，驗證了該方法的準確性．通過與波紋墻板精細有限元分析結(jié)果的對比，對該方法提出修正以彌補波紋板簡化產(chǎn)生的誤差．建立波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)的精細有限元模型，對豎向荷載在各層墻板的分布規(guī)律進行研究，根據(jù)實際豎向荷載分布提出了波紋墻板的軸壓屈曲荷載簡化計算公式．

1?豎向荷載作用下波紋墻板豎向應(yīng)力分布

1.1?多層波紋鋼板剪力墻豎向應(yīng)力分布

采用波紋鋼板剪力墻的多層框架結(jié)構(gòu)如圖1所示．為探究豎向荷載在多層波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)中的傳遞和分布規(guī)律，利用有限元軟件ABAQUS建立了5層波紋鋼板剪力墻的精細有限元模型，如圖2所示．為便于論述，本文中波紋墻板的幾何尺寸用“”表示，其中分別為墻板的高度、跨度、厚度、平區(qū)格板寬度，單位均為mm；為平、斜區(qū)格板寬度比；為波折角，單位為(°)；如圖3所示.

圖1?采用波紋鋼板剪力墻的典型多層框架結(jié)構(gòu)

圖2?5層波紋鋼板剪力墻模型

模型波紋墻板的尺寸為3000-4500-10-120-1-45，邊框梁、柱截面尺寸分別為500×400×15×25和400×400×15×25，單位均為mm，如圖2所示.梁上樓面?zhèn)鬟f的均布豎向荷載值為20kN/m，邊框柱傳遞的集中豎向荷載值和分別為5000kN(包含上部樓層產(chǎn)生的豎向荷載[17])和800kN.內(nèi)嵌波紋鋼板及框架梁柱構(gòu)件均采用S4R殼單元模擬，鋼材采用理想彈塑性本構(gòu)模型，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3，墻板和梁柱構(gòu)件屈服強度分別為235MPa和345MPa．框架梁柱剛接，約束各層梁腹板面外位移以模擬樓板的約束作用，約束底層梁下翼緣所有自由度以模擬剛接基礎(chǔ)，在各層柱形心處設(shè)參考點并耦合柱截面．

圖3?波紋鋼板參數(shù)

在各層梁上翼緣施加豎向均布荷載，在各層柱形心參考點上施加豎向集中荷載，進行靜力分析所得各層墻板中豎向應(yīng)力沿墻板跨度的分布曲線如圖4所示．由圖可見，頂層波紋墻板的豎向應(yīng)力沿跨度方向呈拋物線分布，而其余層墻板的豎向應(yīng)力沿跨度方向幾乎呈均勻分布．這主要是由于中間樓層梁與波紋墻板上下相連，其抗彎剛度顯著提高，在豎向荷載作用下，墻板與邊框柱共同變形，因此豎向應(yīng)力的分布趨于均勻，而頂層梁僅下側(cè)與波紋墻板相連，梁的撓曲變形導(dǎo)致頂層波紋墻板豎向應(yīng)力分布不均勻，靠近邊框柱時應(yīng)力逐漸增大．

圖4?波紋鋼板墻豎向應(yīng)力分布

1.2?頂層墻板豎向應(yīng)力參數(shù)分析及分布函數(shù)

由于多層波紋鋼板剪力墻的頂層與單層波紋鋼板剪力墻相似，建立了37個單層波紋鋼板剪力墻的有限元精細模型，模型具體參數(shù)見表1．

對頂層墻板的豎向應(yīng)力分布模式進行參數(shù)分析，分別考慮了墻板高度、跨度、厚度、局部波形尺寸以及梁、柱剛度等參數(shù)的影響．波紋墻板豎向應(yīng)力分布隨各參數(shù)的變化規(guī)律如圖5所示，其中多參數(shù)同時變化的模型(M-33～M-37)數(shù)據(jù)曲線對板內(nèi)豎向應(yīng)力及沿板寬距離均進行了歸一化處理，分別除以板邊豎向應(yīng)力值0及墻板寬度．由圖可知，豎向應(yīng)力均基本呈拋物線型分布，框架梁剛度、墻板跨度、墻板高度、墻板厚度以及波幅對豎向應(yīng)力分布均有一定影響，但區(qū)格板寬度比和波長的變化對豎向應(yīng)力分布幾乎無影響．框架柱剛度雖會影響豎向應(yīng)力的大小，但對其分布模式影響很?。?/p>

根據(jù)有限元分析結(jié)果擬合得到頂層墻板豎向應(yīng)力分布函數(shù)如式(1)所示．根據(jù)式(1)計算所得豎向應(yīng)力分布亦繪制于圖5，由圖可知，在跨高比為0.5～2.0、高厚比為200～1000、波折角度為25°～65°的范圍內(nèi)，該公式均具有較好的精確性．

式中：為豎向應(yīng)力值；l為距墻板左側(cè)邊緣的距離；0為墻板邊緣處的豎向應(yīng)力值；e為自然底數(shù)；D為波紋板強軸(圖3中軸)方向上的單位長度抗彎剛度；為彈性模量；beam為邊框梁截面的強軸慣性矩；為墻板的波幅．因此，在豎向荷載作用下，多層波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)墻板的豎向應(yīng)力主要有兩種分布模式：當框架梁上下兩側(cè)均與墻板相連時，豎向應(yīng)力基本沿墻板跨度均勻分布；當框架梁僅下側(cè)與墻板相連時(頂層墻板)，豎向應(yīng)力沿墻板跨度呈拋物線形分布，分布函數(shù)如式(1)所示．

表1?模型參數(shù)

Tab.1?Model parameters

2?軸壓屈曲理論分析

2.1?理論推導(dǎo)

將波紋板簡化為厚度相同的正交各向異性平板，在正交各向異性薄板理論的基礎(chǔ)上，利用微分方程冪級數(shù)求解法，推導(dǎo)任意分布形式的軸壓屈曲荷載．波紋鋼板的計算模型如圖6所示．在對邊單軸受壓作用下，板的屈曲控制微分方程為

式中：N為作用在波紋邊上的單位法向力；為板平面外位移；D為波紋板強軸方向的單位長度抗彎剛度；D為波紋板弱軸方向的單位長度抗彎剛度；為波紋板扭轉(zhuǎn)剛度常數(shù)；I為單個波紋截面沿強軸方向的截面慣性矩；為泊松比；其他參數(shù)見圖3．

圖6?波紋鋼板計算模型示意

定義無量綱參數(shù)、，

基于Levy方法，考慮到板的兩個加載邊為簡支，采用如式(9)所示的單三角位移函數(shù)[18]，其中X為的函數(shù)，為板方向上的屈曲半波數(shù)．

為綜合考慮不同的荷載分布模式，選用二次多項式來表示軸壓荷載的分布函數(shù)N，即

式中：012為常數(shù)，不同取值可代表不同的荷載分布模式；0為板邊緣處分布荷載．

將式(10)和式(9)代入式(3)中，可得

定義、為

式(11)為常微分方程，僅有一個變系數(shù)，可用Frobenius的冪級數(shù)解法精確求解，因此，假設(shè)變形函數(shù)X如式(13)所示，其中C,為待定系數(shù)．

利用恒等式性質(zhì)，任意C可以通過C,0、C,1、C,2和C,3逆推得到．而C,0、C,1、C,2和C,3與非加載邊(＝0，1)的邊界條件有關(guān)，可得到4個具有未知量C,0、C,1、C,2和C,3的齊次方程．分別考慮非加載邊為簡支和固支兩種邊界條件進行推導(dǎo)．

非加載邊簡支：

非加載邊固支：

為得到系統(tǒng)的非平凡解，令齊次方程組中系數(shù)矩陣行列式為零．通過求解特征值方程，可得到每個縱向屈曲半波數(shù)()的無窮多組特征值(無量綱屈曲荷載，0)，所有這些0中的最小值為無量綱臨界屈曲載荷0cr．

式(13)給出的精確解函數(shù)需要求解無窮級數(shù)的和．根據(jù)數(shù)值計算中的精度等級，求和的上限是一個有限數(shù)()，可以根據(jù)需要任意大．這一過程與其他邊界精確解中超越函數(shù)的求解過程沒有區(qū)別，特征值方程的求解利用MATLAB計算．

2.2?收斂性分析

為了檢驗式(13)冪級數(shù)收斂速度，對圖7所示的5種荷載分布形式，考慮四邊簡支(SSSS)以及加載邊簡支、非加載邊固支(SSCC)兩種邊界條件進行收斂性分析．表2為各荷載分布形式對應(yīng)的參數(shù)取值．其中N-1為均布荷載，N-2和N-3為線性分布荷載，N-4和N-5為非線性分布荷載．表3為不同荷載分布下特征值求解收斂結(jié)果，由表3可知，均勻分布的函數(shù)在＝30時達到精確解，線性分布函數(shù)在＝50時完全收斂，非線性分布函數(shù)＝60時收斂，可見求解非線性分布荷載下的屈曲荷載最復(fù)雜．

圖7?豎向荷載分布形式

表2?豎向荷載分布系數(shù)

Tab.2?Vertical load distribution coefficient

表3?冪級數(shù)收斂性結(jié)果

Tab.3?Convergence results of power series

3?軸壓屈曲有限元分析

3.1?有限元建模及驗證

采用ABAQUS建立三維波紋墻板的精細有限元模型，進行軸壓荷載作用下的彈性屈曲分析，模型加載方式及邊界條件如圖8所示．采用S4R殼單元模擬墻板，鋼材彈性模量為206GPa，泊松比為0.3．首先建立了20個不同高厚比(125～875)和長寬比(0.2～5.0)的平板模型進行彈性屈曲分析，所得軸壓屈曲荷載與經(jīng)典薄板理論計算結(jié)果對比如圖9所示，圖中有限元分析和理論計算結(jié)果相對誤差均小于2%，驗證了有限元模型的正確性．在軸壓荷載作用下，波紋墻板可能出現(xiàn)整體屈曲模態(tài)或局部屈曲模態(tài)，而其局部屈曲承載力主要由區(qū)格板自身柔度所決定，可采用經(jīng)典薄板理論計算．因此，本文僅討論了最低階屈曲模態(tài)為整體屈曲的波紋墻板模型數(shù)據(jù)．

圖8?波紋板四邊簡支模型

圖9?平板模型計算結(jié)果

3.2?有限元分析結(jié)果

圖10?正交異性平板和波紋板屈曲模態(tài)

圖11?理論分析與有限元分析結(jié)果對比

3.3?波紋板理論分析方法修正

定義修正系數(shù)為

對一系列波紋板分別進行軸壓荷載作用下的有限元彈性屈曲分析和理論分析，通過結(jié)果對比分析荷載分布模式對修正系數(shù)的影響

根據(jù)有限元分析結(jié)果，提出修正系數(shù)計算式為

式中荷載分布系數(shù)1和2的值見表2．

4?波紋板彈性軸壓屈曲的簡化計算公式

本文所提理論分析方法為隱式求解方法，計算過程需要借助MATLAB程序，雖計算精度可以得到保證，但過程較為復(fù)雜．考慮到豎向荷載作用下，多層波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)中墻板豎向應(yīng)力除頂層外多呈均勻分布，一般樓層的波紋墻板軸壓屈曲荷載也可采用正交各向異性平板在均布荷載作用下的軸壓屈曲荷載式(21)[19]進行簡化計算，其中G為彈性屈曲系數(shù)，通過隱式計算結(jié)果擬合所得．

D和D分別按式(4)和式(5)進行計算．

(26)

為了進一步驗證該簡化計算方法的有效性，且擴大參數(shù)變化范圍，滿足實際應(yīng)用的需要，對1200個不同幾何尺寸的波紋墻板有限元精細模型進行了彈性軸壓屈曲分析，所考慮的參數(shù)變化包括板高(2.1～7.5m)、板寬(2～7.5m)、板厚(2～30mm)、區(qū)格板寬(50～200mm)、波幅(10～100mm)、波長(200～600mm)及非均勻荷載分布模式．由圖13可知，公式計算與有限元分析結(jié)果吻合良好，其相對誤差的平均值為2.17%，標準差為1.6%，1200個數(shù)據(jù)中約97%的數(shù)據(jù)誤差在6%以內(nèi)，可見，所提出的簡化計算方法可為波紋墻板的整體軸壓屈曲荷載提供合理準確的預(yù)測結(jié)果．

圖13 四邊簡支波紋板彈性整體軸壓屈曲應(yīng)力值的相對誤差分布

考慮到計算公式的復(fù)雜性，為了更直觀地反映各幾何參數(shù)對波紋板整體軸壓屈曲應(yīng)力的影響，便于設(shè)計參考，圖14給出了整體軸壓屈曲應(yīng)力的有限元分析和計算結(jié)果隨各幾何參數(shù)的變化，包括波紋邊長、直邊長、板厚、平區(qū)格板寬度、區(qū)格板寬度比和波折角．圖14中公式計算結(jié)果由式(27)計算得到．結(jié)果表明：計算結(jié)果能很好地反映各幾何參數(shù)的影響，在其他幾何參數(shù)不變的情況下，波紋邊長和板厚的變化對波紋板的整體軸壓屈曲應(yīng)力影響不大，而直邊長的增加則使整體軸壓屈曲應(yīng)力顯著降低；板厚、平區(qū)格板寬度、波折角和區(qū)格板寬度比均與整體軸壓屈曲應(yīng)力呈正相關(guān)；通過改變波紋參數(shù)來提高整體軸壓屈曲應(yīng)力比增加板厚更為有效．

（a）直邊長（b）波紋邊長 （c）平區(qū)格板寬度（d）區(qū)格板寬度比 （e）波折角（f）板厚

圖15進一步給出了軸壓屈曲應(yīng)力隨墻板波折程度的變化．從圖15(a)可以看出，在波紋數(shù)量不變的情況下，增加波幅可以有效地提高波紋板的整體軸壓屈曲應(yīng)力．但是需要注意的是，增加波幅會同時增加區(qū)格板寬度，從而降低局部屈曲應(yīng)力，所以并非波幅越大越好．由圖15(b)可知，在波幅一定時，整體軸壓屈曲應(yīng)力隨波長的變化并不明顯，因此，在波紋墻板設(shè)計時應(yīng)合理選擇波幅．

圖15?波折程度對波紋板彈性整體軸壓屈曲應(yīng)力的影響

5?結(jié)?論

(1) 將波紋墻板簡化為正交各向異性平板，利用微分方程冪級數(shù)求解法，推導(dǎo)了線性、非線性分布的軸壓荷載作用下波紋墻板彈性屈曲承載力的理論分析方法，并結(jié)合三維精細有限元分析結(jié)果對該理論分析方法進行修正，以彌補波紋墻板簡化產(chǎn)生的誤差．

(2) 建立了多層波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)的精細有限元模型，并對豎向荷載在各層墻板的分布規(guī)律進行研究，結(jié)果表明頂層墻板中豎向應(yīng)力沿跨度方向呈拋物線分布，其余樓層墻板中豎向應(yīng)力近似均勻分布，并提出了頂層墻板的豎向荷載分布函數(shù)，在跨高比為0.5～2.0、高厚比為200～1000、波折角為25°～65°的范圍內(nèi)，該公式均具有較好的精確性．

(3) 根據(jù)實際豎向荷載分布，提出了波紋鋼板剪力墻結(jié)構(gòu)中墻板軸壓屈曲荷載的顯性計算公式，并通過精細有限元分析驗證了該計算公式的有效性．

(4) 在其他幾何參數(shù)不變的情況下，波紋墻板軸壓屈曲應(yīng)力隨直邊長度的增加顯著降低，隨平區(qū)格板寬度、波折角和區(qū)格板寬度比的增加而增加，但波紋邊長和板厚對屈曲應(yīng)力的影響不大．通過改變波形參數(shù)來提高波紋墻板整體軸壓屈曲應(yīng)力比單純增加板厚更為有效．

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Axial Compressive Buckling of Corrugated Steel Plate Shear Walls Under Actual Vertical Load Distribution

Zhao Qiuhong1, 2，Gao Junxiu1，Qiu Jing1

(1. School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China； 2. Key Laboratory of Coastal Civil Structure Safety of Ministry of Education(Tianjin University)，Tianjin 300350，China)

Corrugated steel plate shear wall，a new type of steel plate shear wall structure with corrugated steel plates as infill wall plates，could be used as a lateral force-resisting system for mid- to high-rise buildings owing to its high lateral capacity，ductility，and energy dissipation capacity. The corrugated wall plates can be installed synchronously with the boundary frame，which will inevitably bear the vertical load from the upper floor and boundary columns. Therefore，investigating the stability and buckling capacity of corrugated steel plate shear walls under vertical loads is of great significance. In this paper，an analytical method is developed by simplifying as orthotropic plates to determine the elastic buckling capacity of corrugated wall plates under linearly or nonlinearly distributed axial compressive loads，using power series solution to solve differential equations. The analytical method is modified based on three-dimensional finite element analysis to compensate for the errors caused by the simplification of corrugated plates. Finite element models of multistory corrugated steel plate shear walls are established，and the vertical load distribution in the wall plate of each story is studied. It is found that the vertical stress distribution in the wall plate is parabolic in the top-story and approximately uniform in other stories，prompting the development of a vertical stress distribution function for the top-story wall. Based on the actual vertical stress distribution，an explicit formula for calculating the elastic buckling capacity of corrugated wall plates under axial compression is proposed and verified by finite element analyses. Parametric studies show that the elastic buckling capacity of corrugated wall plates under axial compression decreases significantly with an increase in the straight edge length and increases with the increase in flat subpanel width，corrugation angle，and subpanel width ratio，while the length of the corrugated edge and plate thickness have little effect.

corrugated steel plate shear wall；axial compressive buckling load；actual vertical load distribution；orthotropic plate；power series solution

10.11784/tdxbz202104001

TU392. 4

A

0493-2137(2022)04-0391-11

2021-04-01；

2021-05-13.

趙秋紅（1975—??），女，博士，特聘研究員．

趙秋紅，qzhao@tju.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項目(51378340，51678406，51878447).

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No. 51378340，No. 51678406，No. 51878447).

(責任編輯：金順愛)