方尤樂，王天驍

(北京大學(xué) 地球與空間科學(xué)學(xué)院，北京 100871 )

硬幣(或圓盤)模型是實(shí)際應(yīng)用中一類常見而重要的模型[1]．在以往的文獻(xiàn)中，硬幣的許多典型問題已經(jīng)得到了很好的解決，如圓盤在理想粗糙平面上的繞圈轉(zhuǎn)動(dòng)問題[2]、滾動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的穩(wěn)定性問題[2]、圓盤在一般平面上運(yùn)動(dòng)過程中的能量耗散問題[3]、各種摩擦耗散模型下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律問題[4]等．但大多是基于拉格朗日力學(xué)方法分析運(yùn)動(dòng)模式，少有用普通物理的方法求解運(yùn)動(dòng)方程和給出直觀運(yùn)動(dòng)表述．文獻(xiàn)[2]中對(duì)硬幣的特殊運(yùn)動(dòng)模式下穩(wěn)定性問題進(jìn)行了較為詳細(xì)的討論，但它對(duì)于不同運(yùn)動(dòng)問題采取了不同的分析方法．為了能給出系統(tǒng)性討論，本文分析了硬幣在空中、地面上、冰面上的運(yùn)動(dòng)情況，討論了硬幣穩(wěn)定繞圈運(yùn)動(dòng)過程中的微小章動(dòng)問題，并將其結(jié)果用于分析特殊運(yùn)動(dòng)模式．本文還利用解得的一般方程對(duì)硬幣的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，傾角隨時(shí)間變化圖像有助于更加透徹地理解硬幣的運(yùn)動(dòng)，并有助于認(rèn)識(shí)其他運(yùn)動(dòng)規(guī)律．

1 模型與基本方程的建立

我們約定，一枚硬幣是質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤形剛體，厚度忽略不計(jì)，與實(shí)際情況有一點(diǎn)差異．硬幣的中心(也是質(zhì)心)為O．令I(lǐng)1為硬幣繞自轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，I2為硬幣繞其一條直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．那么有

圖1 硬幣坐標(biāo)系

(1)

ω=ωr+Ω=

(2)

(3)

由硬幣的對(duì)稱性可知，x1、x2、x3三個(gè)坐標(biāo)軸是硬幣的一組慣性主軸．因此在坐標(biāo)系Ox1x2x3中，硬幣的慣性張量為

所以硬幣相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量為

LO=Iω=I2ω1i+I2ω2j+I1ω3k

(4)

角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率為

(5)

設(shè)硬幣在相對(duì)于隨O點(diǎn)做平動(dòng)的參考系中的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為Ekr，則

(6)

2 在空中轉(zhuǎn)動(dòng)

(7)

由于硬幣只受到豎直方向的外力，硬幣相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量在ez方向上的分量不變．設(shè)這一分量為b，由式 (1)、(3)、(4)可得

(8)

硬幣的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能守恒，Ekr為常量．將式 (7)、(8)代入式 (6)，整理得關(guān)于θ的一維運(yùn)動(dòng)方程.

(9)

(10)

積分可得

(11)

(12)

(13)

從另一個(gè)角度分析這個(gè)問題可以得到更直觀的運(yùn)動(dòng)描述[5]．如圖2所示，在硬幣坐標(biāo)系中畫出角動(dòng)量與角速度矢量．由ω×LO在k方向上無分量可知，ω、LO、x3軸共面(圖中的陰影部分)．x3軸上所有點(diǎn)的瞬時(shí)速度在每時(shí)每刻都垂直于該平面，而LO在質(zhì)心平動(dòng)參考系中是不變的矢量．所以x3繞LO的方向勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)，硬幣繞自身的軸勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，所以ω在x3軸上的投影ω3不隨時(shí)間變化．設(shè)LO與k的夾角為θ1，則由式 (4)可得

(14)

圖2 角動(dòng)量與角速度矢量

為了求硬幣繞LO的進(jìn)動(dòng)角速度ωpr，應(yīng)利用平行四邊形法則將ω沿x3軸和LO的方向分解．其中第一個(gè)分量不會(huì)使x3軸移動(dòng)，所以第二個(gè)分量就是ωpr，計(jì)算可得

(15)

3 在地面上轉(zhuǎn)動(dòng)

硬幣在真實(shí)的地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)可能會(huì)有滑動(dòng)摩擦，導(dǎo)致復(fù)雜的難以分析的運(yùn)動(dòng)．這里假設(shè)地面的摩擦系數(shù)充分大，硬幣與地面之間不會(huì)產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)，即硬幣與地面的接觸點(diǎn)P為速度瞬心，并且不計(jì)滾動(dòng)摩擦．下面先求解特殊運(yùn)動(dòng)問題，再求出一般的運(yùn)動(dòng)方程，最后再利用一般方程深入分析特殊運(yùn)動(dòng)模式．

3.1 繞圈轉(zhuǎn)動(dòng)問題

圖3 繞圈轉(zhuǎn)動(dòng)的正視圖

-rω3=Rωpr

(16)

將式 (2)中的變量替換為ωpr、ω3，得硬幣的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的新表達(dá)式

ω=ωprcosθi+ω3k

(17)

M=-Ffrcosθ+FNrsinθ=

(18)

將式 (4)、式(17)整理可以得到LO的表達(dá)式．LO的豎直分量不隨時(shí)間變化，其水平分量為

L=-I1ω3cosθ+I2ωprcosθsinθ

(19)

Lωpr=M

(20)

將式 (16)、(18)、(19)代入式 (20)化簡，即可求出ωpr的表達(dá)式

(21)

現(xiàn)對(duì)摩擦系數(shù)及繞圈運(yùn)動(dòng)半徑的范圍進(jìn)行定量分析．設(shè)桌面的最大靜摩擦系數(shù)為μ，則

所以，當(dāng) tanθ≤μ(1+I1/mr2) 時(shí)，繞圈運(yùn)動(dòng)的半徑R可以是任意值．當(dāng) tanθ>μ(1+I1/mr2時(shí)，R應(yīng)滿足以下關(guān)系式

(22)

再定性分析該運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性．若傾角為θ的硬幣在做勻速繞圈運(yùn)動(dòng)時(shí)，突然給硬幣一個(gè)微小的擾動(dòng)使它的進(jìn)動(dòng)角速度ωpr減小，此時(shí)摩擦力大小減小，合力矩增大，同時(shí)式(19)中角動(dòng)量的水平分量L在減小，所以角動(dòng)量水平方向的矢量轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度會(huì)超過ωpr，這導(dǎo)致在下一時(shí)刻，圖3中硬幣的角動(dòng)量有垂直紙面向外的分量，導(dǎo)致θ增大，這將使得ωpr恢復(fù)甚至超過原來的大小. 所以可以猜測，在一定條件下硬幣的繞圈運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，在微擾后可能會(huì)發(fā)生章動(dòng)．

3.2 一般問題

由于硬幣繞O的角速度為ω，O在絕對(duì)參考系下的速度為

(23)

由此可以計(jì)算O的加速度：

(24)

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可求出P點(diǎn)受力

FP=maO-mg=

mαO+mgcosθi+mgsinθk

(25)

(26)

比較i方向上的分量可得

(27)

再列出硬幣的機(jī)械能守恒式:

mgrcosθ=E

(28)

式(28)兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，再將式 (26)、(27)代入整理得

(29)

式(26)、(27)、(29)及式(3)就是硬幣在摩擦因數(shù)充分大的水平面上運(yùn)動(dòng)的基本方程．經(jīng)過對(duì)照，它與文獻(xiàn)[2]中推導(dǎo)的基本方程是一致的．該方程難以求解，但可以利用它做數(shù)值模擬以發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律，還可以利用它驗(yàn)證一些特殊情況的運(yùn)動(dòng)方程．

再將式 (16)代入消去ω3，就求出了與式 (21)相同的ωpr的表達(dá)式．

3.3 繞圈轉(zhuǎn)動(dòng)中的微小章動(dòng)

圖4 繞圈轉(zhuǎn)動(dòng)的計(jì)算機(jī)模擬圖像

在ωpr、ω3、θ符合式 (21)且滿足另一些條件時(shí)，硬幣會(huì)做穩(wěn)定的勻速繞圈運(yùn)動(dòng)．當(dāng)硬幣受到微擾時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生微小的章動(dòng)，θ在小范圍內(nèi)“振動(dòng)”．這一節(jié)主要利用上一節(jié)求出的基本方程 (26)、(27)、(29)來求解微小章動(dòng)的周期及穩(wěn)定的條件．這里定義θ從極小值處隨時(shí)間增大，后又隨時(shí)間減小到極小值的過程為一個(gè)章動(dòng)周期．

由式(26)、(27)可得

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

-k(θ-θ0)+o(θ-θ0)

因此，當(dāng)k>0 時(shí)，繞圈半徑為R，傾角為θ0的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的．若對(duì)其做小擾動(dòng)，則將發(fā)生微小章動(dòng)，周期為

(35)

其中k是有關(guān)R、θ0、m、r的常量，表達(dá)式為式(34)．將5.1節(jié)的硬幣數(shù)據(jù)代入 式(34)后，可得到與文獻(xiàn)[4]的式(5.22)類似的結(jié)果．

3.4 一些特殊的運(yùn)動(dòng)模式

利用上一節(jié)的結(jié)果可以分析一些特殊的運(yùn)動(dòng)模式的穩(wěn)定性．例如當(dāng)硬幣在做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)轉(zhuǎn)速較高時(shí)，硬幣可以保持近似垂直且穩(wěn)定不倒．此時(shí)可以看成θ0≈0,R≈0 的繞圈運(yùn)動(dòng)，所以 式(34)近似為

因此，為了使硬幣的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度需滿足

(36)

這表明，以同樣的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，硬幣的半徑越大，轉(zhuǎn)動(dòng)越穩(wěn)定．

我們用計(jì)算機(jī)程序?qū)τ矌诺臋M向轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬，并在開始時(shí)對(duì)硬幣的狀態(tài)進(jìn)行微擾．利用5.1節(jié)中的硬幣數(shù)據(jù)，式(36)的計(jì)算結(jié)果為 |ωpr|>25.3 s-1．圖5中繪制了以4種角速度進(jìn)行定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的硬幣的θ關(guān)于時(shí)間的圖像，可見當(dāng)ωpr滿足條件時(shí)，θ能在某一個(gè)極小的范圍內(nèi)“振動(dòng)”，所以是穩(wěn)定的．圖線的形狀近似于簡諧波，其周期與 式(34)、(35)的結(jié)果是一致的．

圖5 硬幣定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)傾角關(guān)于時(shí)間的圖像(ωpr>25.3s-1)

圖6顯示了當(dāng) |ωpr|<25.3s-1時(shí)θ的變化圖像．可見當(dāng)ωpr小于 25.3s-1時(shí)，θ將大幅擺動(dòng)，且隨著ωpr的減小，擺動(dòng)幅度增大，趨向于π/2．從圖中還可以觀察到新的規(guī)律，傾角θ雖然不會(huì)在 0 附近穩(wěn)定振動(dòng)，但仍存在周期性的變化，且周期隨著ωpr的減小而減?。粌A角過極小值點(diǎn)后一段時(shí)間突然增大，到了極大值點(diǎn)后又突然“反彈”．這種周期性變化可以由能量守恒以及系統(tǒng)的時(shí)間反演不變性解釋．這種現(xiàn)象也在實(shí)驗(yàn)過程中出現(xiàn)，但由于有能量損失，所以實(shí)驗(yàn)中周期性變化幅度逐漸減?。?/p>

圖6 硬幣定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)傾角關(guān)于時(shí)間的圖像(ωpr較小)

因此，為了使硬幣沿直線滾動(dòng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，滾動(dòng)角速度需滿足：

(37)

我們也對(duì)這種情況進(jìn)行了數(shù)值模擬，在不同的滾動(dòng)角速度下，硬幣的θ關(guān)于時(shí)間的圖像如圖7和圖8所示．(37)式的計(jì)算結(jié)果為 |ω3|>16.3s-1，這與圖像的結(jié)果是一致的．當(dāng) |ω3|<16.3s-1時(shí)，硬幣的傾角將產(chǎn)生大幅度地?cái)[動(dòng)，且呈周期性變化，而此時(shí)硬幣不再沿直線滾動(dòng)．

圖7 硬幣滾動(dòng)時(shí)傾角關(guān)于時(shí)間的圖像(ω3>16.3s-1)

圖8 硬幣滾動(dòng)時(shí)傾角關(guān)于時(shí)間的圖像(ω3較小)

從圖7中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng) |ω3|>16.3s-1時(shí),對(duì)于相同的 |ω3|，微小章動(dòng)的周期是相同的，與初始的擾動(dòng)無關(guān)．經(jīng)檢驗(yàn)，章動(dòng)的周期恰好符合 (34)(35)式推出的結(jié)果．

4 在冰面上轉(zhuǎn)動(dòng)

這里假設(shè)冰面是理想光滑的平面，則硬幣在運(yùn)動(dòng)過程中受到重力以及冰面對(duì)它的支持力．由質(zhì)心系的牛頓第二定律，硬幣的質(zhì)心在水平方向上的運(yùn)動(dòng)速度為恒定的vxy．考察同樣以vxy運(yùn)動(dòng)的參考系，在此參考系中，硬幣質(zhì)心只做豎直方向上的運(yùn)動(dòng)，速度和加速度分別為

(38)

(39)

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，硬幣在P點(diǎn)受到了向上的支持力FN=-mg+maO，由此可以計(jì)算力矩：

(40)

(41)

由于硬幣只受到豎直方向的外力，硬幣相對(duì)于O點(diǎn)的角動(dòng)量的在ez方向上的分量不變. 設(shè)這一分量為b，則

I2ω1cosθ+I1ω3sinθ=b,

(42)

最后，由 (6)(38)式整理得能量守恒方程，設(shè)總能量為E，并將 (3)(41)式代入化簡，

E-mgrcosθ

(43)

聯(lián)立 (42)(43)式，消元后可得關(guān)于θ的一維運(yùn)動(dòng)方程．在解出θ(t) 后，就可以依次代入 (41)(42)式解出φ(t)、ψ(t)．

(44)

(45)

(46)

5 數(shù)值模擬

5.1 硬幣數(shù)據(jù)

我們使用的是第五套人民幣一元硬幣的數(shù)據(jù)：

半徑為r=12.5 mm．厚度為 1.85 mm(忽略不計(jì))．質(zhì)量為m=6.1 g．計(jì)算可得I1=4.8×10-7kg·m2，I2=I1/2=2.4×10-7kg·m2．

5.2 數(shù)值模擬方法

6 總結(jié)：

本文采用普通物理的分析方法，推導(dǎo)了硬幣在3種環(huán)境下的一般運(yùn)動(dòng)方程，得到了硬幣進(jìn)行繞圈運(yùn)動(dòng)所需滿足的條件，并進(jìn)行了定性分析．在硬幣繞圈運(yùn)動(dòng)問題中，推導(dǎo)了穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的條件以及硬幣做微小章動(dòng)的周期，進(jìn)而分析了硬幣做定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和沿直線滾動(dòng)的穩(wěn)定性問題，最后用數(shù)值模擬的方法將這兩種運(yùn)動(dòng)可視化，驗(yàn)證舊結(jié)論，并探索新規(guī)律．

致謝：本文撰寫過程中得到了北京大學(xué)物理學(xué)院張國輝教授的熱情指導(dǎo)，在此表示衷心感謝．