王 艷

(長(zhǎng)治學(xué)院 電子信息與物理系，山西 長(zhǎng)治 046011)

玻色-愛因斯坦凝聚實(shí)現(xiàn)了在宏觀尺度上展示量子現(xiàn)象．在外勢(shì)的作用下玻色-愛因斯坦凝聚體展現(xiàn)了多種動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象．例如：玻色-愛因斯坦凝聚體在諧勢(shì)加4次井[1,2]、類諧勢(shì)和環(huán)形勢(shì)[3]中展現(xiàn)了快速旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象；凝聚體在諧勢(shì)加高斯形勢(shì)壘[4]、拋物線勢(shì)乘以高斯勢(shì)[5,6]和雙高斯勢(shì)壘[7]中展現(xiàn)了遂穿現(xiàn)象；凝聚體在周期性驅(qū)動(dòng)勢(shì)井中展現(xiàn)了怪波現(xiàn)象[8]；凝聚體在諧勢(shì)井加Rosen-Morse勢(shì)壘[9]和矩形勢(shì)[10,11]中展現(xiàn)了分裂現(xiàn)象．我們已經(jīng)知道慢變勢(shì)中孤子的動(dòng)力學(xué)可以用類粒子的行為來描述[12]，這里我們將用類粒子方法研究局域微弱矩形勢(shì)中孤子的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，并用數(shù)值模擬的方式進(jìn)行驗(yàn)證．在量子力學(xué)教材中，很多量子現(xiàn)象無法用實(shí)驗(yàn)展示，這對(duì)學(xué)習(xí)量子力學(xué)造成了一定的困難，用數(shù)值模擬的方式展示玻色-愛因斯坦凝聚的量子現(xiàn)象將是一個(gè)很好的輔助手段．

1 孤子演化的理論分析

(1)

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其中V0是外勢(shì)的強(qiáng)度，b是外勢(shì)的寬度．外勢(shì)強(qiáng)度V0>0時(shí)，外勢(shì)是勢(shì)壘，當(dāng)V0<0時(shí)，外勢(shì)是勢(shì)井．

在微弱的矩形外勢(shì)中，孤子形狀保持為鐘形，像一個(gè)經(jīng)典粒子一樣運(yùn)動(dòng)：

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(5)

其中有效外勢(shì)為

(6)

從圖1中我們可以看到，當(dāng)孤子中心位置與外勢(shì)的距離大于一個(gè)臨界值時(shí)，外勢(shì)對(duì)孤子的作用力為零，這個(gè)臨界的距離為x00c=6，而且外勢(shì)寬度不同，孤子所受到的最大作用力的位置也不同，外勢(shì)寬度增大，最大作用力的位置就越接近外勢(shì)邊界，當(dāng)外勢(shì)寬度大于6時(shí)，就不再發(fā)生變化．外勢(shì)寬度也影響著作用力大小，當(dāng)寬度較小時(shí)，作用力的大小對(duì)外勢(shì)寬度的變化非常敏感，即作用力隨外勢(shì)寬度增加而快速變大，當(dāng)寬度較大時(shí)，作用力的大小將不再隨外勢(shì)寬度的變化而變化．

與孤子中心的位置關(guān)系

與外勢(shì)寬度的關(guān)系圖1 外勢(shì)對(duì)孤子的作用力(V0=0.04)

2 孤子演化的數(shù)值模擬

孤子在矩形勢(shì)壘(虛線)中的演化

孤子中心位置隨時(shí)間演化的數(shù)值模擬(點(diǎn)線)與理論計(jì)算(實(shí)線)對(duì)比圖圖2 孤子在矩形勢(shì)壘的演化 (V0=0.04, b=4, x00=5)

孤子在矩形勢(shì)井(虛線)中的演化

孤子中心位置隨時(shí)間演化的數(shù)值模擬(點(diǎn)線)與理論計(jì)算(實(shí)線)對(duì)比圖圖3 孤子在矩形勢(shì)井的演化 (V0=-0.04, b=4, x00=5)

3 結(jié)論

我們分析了用拉格朗日方法得到的孤子運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典方程，結(jié)果表明對(duì)初速度為零的孤子，弱勢(shì)壘對(duì)孤子產(chǎn)生排斥力，弱勢(shì)井對(duì)孤子產(chǎn)生吸引力，總之，局域微弱外勢(shì)對(duì)其附近的孤子存在作用力，這些結(jié)論也用數(shù)值模擬的方法得到了證實(shí)．雖然我們是將孤子看作類粒子來研究的，但孤子表現(xiàn)出的行為卻與經(jīng)典粒子完全不同，靜止的經(jīng)典粒子在勢(shì)壘和勢(shì)井的邊界附近，始終是靜止的，而物質(zhì)波孤子卻與勢(shì)壘和勢(shì)井之間存在作用力，導(dǎo)致孤子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化．