肖雪蓮，王芳貴，林詩(shī)雨

（1.四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 610066；2.阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 汶川 623002）

1 預(yù)備知識(shí)

環(huán)R稱為凝聚環(huán)，如果R的每個(gè)有限生成理想I是有限表現(xiàn)的.凝聚環(huán)最早見(jiàn)于1960 年Chase［1］的研究中，并得到一個(gè)關(guān)于凝聚環(huán)的經(jīng)典Chase 定理，即環(huán)R為凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)平坦R-模的直積是平坦模.Stenstr?m［2］引入FP-內(nèi)射模，對(duì)凝聚環(huán)做了進(jìn)一步的刻畫，做出了十分漂亮的結(jié)果.由此，眾多學(xué)者對(duì)凝聚環(huán)產(chǎn)生了濃厚的興趣，文獻(xiàn)［3-4］對(duì)凝聚環(huán)的性質(zhì)進(jìn)行了更深入的研究，而且在推廣凝聚環(huán)的方面也做了很多工作.文獻(xiàn)［4］證明了環(huán)R為凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)內(nèi)射R-模的特征模是平坦模.自然地，針對(duì)凝聚環(huán)的推廣，我們將凝聚環(huán)中理想的條件弱化為正則理想，提出正則凝聚環(huán)的概念.為刻畫正則凝聚環(huán)，引入正則平坦模和正則余平坦模的概念，證明正則凝聚環(huán)刻畫的Chase定理（定理3.2）.

Prüfer環(huán)的概念最初出現(xiàn)在文獻(xiàn)［5-6］中.交換環(huán)R稱為Prüfer環(huán)，是指每個(gè)有限生成正則理想是可逆理想；Prüfer環(huán)是一類典型的正則凝聚環(huán).Griffin［6］利用乘法理想的研究方法給出了Prüfer 環(huán)多達(dá)15 條的等價(jià)刻畫.由于Prüfer環(huán)的應(yīng)用意義，文獻(xiàn)［7］對(duì)Prüfer 環(huán)研究進(jìn)行了系統(tǒng)總結(jié).從這些結(jié)果來(lái)看，關(guān)于Prüfer 環(huán)的研究主要集中于理想刻畫.為了給出Prüfer 環(huán)的?？坍?，我們利用正則余平坦模與可除模的關(guān)系，給出Prüfer環(huán)的一些模理論刻畫.

本文恒設(shè)R是有單位元的交換環(huán).對(duì)R-模M，用E（M）表示M 的內(nèi)射包絡(luò).如果M 是一個(gè)內(nèi)射模的商模，即M?E／X，其中E是內(nèi)射模，則M稱為h-可除模.用M+表示M 的特征模，即M+＝HomZ（M，／）.理想I 若含有非零因子，則稱為正則理想.正合列ξ：0→A→B→C→0，M?Rξ表示

0 →M ?RA →M ?RB →M ?RC →0，

若M?Rξ仍是正合列，則稱正合列ξ 是純正合列.R-模B的子模A 稱為純子模，是指正合列0→A→B→B／A→0 是純正合列.

2 正則余平坦模與正則平坦模

以下恒用S表示R的非零因子乘法封閉集.設(shè)M是R-模，令

T（M）＝｛x ∈M|存在s ∈S，使得sx ＝0｝，

則T（M）是M的子模.若T（M）＝0，則M稱為無(wú)撓模，等價(jià)地，對(duì)任何s∈S，（M，R／（s））＝0.若T（M）＝M，則M 稱為撓模.若對(duì)任何s∈S，都有sM ＝M，則M稱為可除模，等價(jià)地，對(duì)任何s∈S，有（R／（s），D）＝0.文獻(xiàn)［8］稱R-模D 是正則內(nèi)射模，是指對(duì)任何撓模M，有（M，D）＝0；文獻(xiàn)［8］也證明了D 是正則內(nèi)射模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)R 的任何正則理想I，有（R／I，D）＝0.

引理2.1設(shè)D 是無(wú)撓模，則E（D）也是無(wú)撓模.

證明設(shè)s∈S，x∈E（D），sx ＝0，若x≠0.由于E（D）是D 的本性擴(kuò)張，故存在r∈R，使得rx≠0，且rx∈D.由rsx ＝0，且D為無(wú)撓模，得rx ＝0，矛盾.故E（D）是無(wú)撓模.

引理2.2設(shè)D是無(wú)撓的可除模，則D是正則性內(nèi)射模.

證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］定理3.4.

設(shè)R是任何交換環(huán)，用T（R）表示R 的完全商環(huán)，即T（R）＝RS.于是T（R）中的元素可以表示為，其中，r∈R，s∈S.

命題2.3對(duì)任何環(huán)R，每個(gè)T（R）-模是正則內(nèi)射R-模.

證明設(shè)M 是T（R）-模.對(duì)任何s∈S，則s 是T（R）的單位，從而有sM ＝M，即M是可除R-模.又若s∈S，x∈M，sx ＝0，由于s是T（R）的單位，故x ＝，即M還是無(wú)撓R-模.由引理2.2 可知，M是正則內(nèi)射R-模.

定義2.4設(shè)E 是R-模.若對(duì)任何I∈，有（R／I，E）＝0，則E稱為正則余平坦模.

注2.51）正則內(nèi)射模顯然是正則余平坦模.當(dāng)R是整環(huán)時(shí)，正則內(nèi)射模就是內(nèi)射模，正則余平坦模就是余平坦模.由于當(dāng)R 是凝聚環(huán)時(shí)，余平坦模是FP-內(nèi)射模，當(dāng)R是Noether環(huán)時(shí)，F(xiàn)P-內(nèi)射模是內(nèi)射模.故當(dāng)R是凝聚整環(huán)但不是Noether環(huán)時(shí)，必有一個(gè)余平坦模不是內(nèi)射模.這也說(shuō)明了正則余平坦模未必是正則內(nèi)射模.

2）余平坦模顯然是正則余平坦模，但正則余平坦模未必是余平坦模.例如，設(shè)R 是Noether 環(huán)，T（R）＝R，但R不是半單環(huán)，此時(shí)余平坦模就是內(nèi)射模.由于T（R）＝R，則R只有一個(gè)正則理想，即R自身.從而，每個(gè)R-模都是正則余平坦模.于是，存在一個(gè)R-模是正則余平坦模，但不是余平坦模.

命題2.6對(duì)R-模E，以下各條等價(jià)：

1）E是正則余平坦模；

是正合列；

證明與余平坦模的刻畫是類似的，故從略.

命題2.7正則余平坦模是可除模.

證明設(shè)E 是正則余平坦模，a∈R 是非零因子.由定義有（R／（a），E）?E／aE ＝0，故有aE ＝E，因此E是可除模.

注2.8可除模未必是正則余平坦模.文獻(xiàn)［11-12］證明了整環(huán)R是Prüfer整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)可除模是余平坦模.因此，只要整環(huán)R 不是Prüfer整環(huán)，則一定有一個(gè)可除模不是余平坦模.因而，也說(shuō)明了可除模未必是正則余平坦模.

命題2.9設(shè)｛Ei｝是一簇R-模，則是正則余平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Ei是正則余平坦模；當(dāng)且僅當(dāng)是正則余平坦模.

證明設(shè)I∈.由同構(gòu)關(guān)系ii

由文獻(xiàn)［13］定理3.9.2，有自然同構(gòu)

定義2.10設(shè)M是R-模.若對(duì)R 的任意正則理想I，有0→M?RI→M?RR 是正合列，等價(jià)地，（M，R／I）＝0，則M稱為正則平坦模.

定理2.11設(shè)R、T是環(huán)，E是內(nèi)射T-模，M是R-T雙模，且是正則平坦R-模，則HomT（M，E）是正則內(nèi)射R-模.

證明設(shè)I 是R 的正則理想，則0 →I→R→R／I→0 是R-正合列.因?yàn)镸是正則平坦R-模，故

是T-正合列.由E是內(nèi)射T-模，故

是T-正合列.由相伴同構(gòu)定理知

是R-正合列.從而由文獻(xiàn)［8］定 理5.3 知HomT（M，E）是正則內(nèi)射R-模.

命題2.12對(duì)R-模M，以下各條等價(jià)：

1）M是正則平坦模；

5）對(duì)環(huán)R 的任何正則理想I，同態(tài)σI：I ?RM→IM是同構(gòu)；

6）M+是正則內(nèi)射R-模；

7）M+是正則余平坦R-模；

9）設(shè)ξ：0→A→B→M→0 是正合列，則對(duì)R 的任何正則理想I，R／I?Rξ是正合列；

10）存在正合列ξ：0→A→P→M→0，其中P為投射模，使得對(duì)R的任何正則理想I，有R／I?Rξ是正合列.

證明1）?2）?3）?4）?5）與平坦模的刻畫是類似的，故從略.

1）?6）由定理2.11 知HomZ（M，／）＝M+是正則內(nèi)射R-模.

6）?7）顯然.

由相伴同構(gòu)定理知σI和σR同構(gòu).由M+是正則余平坦模知i*是滿同態(tài)，從而（1?i）*是滿同態(tài).故有正合列（M?RR）+→（M?RI）+→0，可得0→M?RI→M?RR正合.

1）?9）設(shè)I 為R 的任意正則理想，取正合列ξ：0→A→B→M→0，可得正合列

9）?10）顯然.

10）?1）設(shè)I為R的任意正則理想.取正合列ξ：0→A→P→M→0，可得正合列

由條件R／I?Rξ 正合，知A?RR／I→P?RR／I 為單同態(tài)，故（M，R／I）＝0.

定理2.13設(shè)R 是環(huán)，則每個(gè)R-模為正則平坦模當(dāng)且僅當(dāng)T（R）＝R.

證明若T（R）＝R，則＝｛R｝，故每個(gè)R-模都是正則平坦模.

反之，設(shè)每個(gè)R-模為正則平坦模.設(shè)M 是R-模，a∈R 是正則元.由假設(shè)，M 是正則平坦模，故T（R／（a），M）?Ma＝0，其中Ma＝｛x∈M|ax ＝0｝.于是M 為無(wú)撓模.特別地，R／（a）是無(wú)撓模.但R／（a）為撓模，因此，有R／（a）＝0，即（a）＝R，故a是R的單位，從而有T（R）＝R.

注2.14平坦模顯然是正則平坦模.但正則平坦模未必是平坦模.例如設(shè)R是QF環(huán)，但不是半單環(huán)，則T（R）＝R，且詣零根不等于零，因此，R 不是von Neumann 正則環(huán).由于T（R）＝R，則每個(gè)R-模都是正則平坦模.于是，存在一個(gè)R-模是正則平坦模，但不是平坦模.

命題2.15正則平坦模的純子模是正則平坦模.

證明設(shè)M是正則平坦模，B 是M 的純子模.則存在純正合列0 →B →M→M／B →0，使得0 →（M／B）+→M+→B+→0 為分裂正合列，即M+?（M／B）+⊕B+.由命題2.12 知，M+是正則余平坦模.由命題2.9 知，B+為正則余平坦模.又由命題2.12 知，B為正則平坦模.

命題2.16設(shè)｛Mi｝是一簇R-模，是正則平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是正則平坦模.

證明設(shè)I為R的任意正則理想，由文獻(xiàn)［13］定理3.4.5 知，存在同構(gòu)關(guān)系

3 正則凝聚環(huán)

回顧若環(huán)R的每個(gè)有限生成理想是有限表現(xiàn)的，則稱R為凝聚環(huán).下面將提出正則凝聚環(huán)的概念，并推廣凝聚環(huán)的某些對(duì)應(yīng)基本性質(zhì)，使之對(duì)Prüfer環(huán)的?？坍嫲l(fā)揮作用.

定義3.1環(huán)R稱為正則凝聚環(huán)，是指任意I∈，I是有限表現(xiàn)的.

凝聚環(huán)顯然是正則凝聚環(huán).

定理3.2（正則凝聚環(huán)的Chase 定理）對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià)：

1）R是正則凝聚環(huán)；

2）（正則）平坦模的直積是正則平坦模；

3）R的任意直積是正則平坦模.

證明1）?2）設(shè)｛Mi|i∈Γ｝是一簇平坦?；蛘齽t平坦模，設(shè)I∈，則I 為有限表現(xiàn).f、g 是對(duì)應(yīng)的自然同態(tài)，則有下面的交換圖.

由文獻(xiàn)［13］定理2.6.10 知，垂直的箭頭是同構(gòu).又由Mi是平坦?；蛘齽t平坦模知，底行是正合列，故f是單同態(tài)，即Mi為正則平坦模.

2）?3）顯然.

因?yàn)镽／I 是有限表現(xiàn)模，由文獻(xiàn)［13］定理2.6.10知，g、h同構(gòu)，由五項(xiàng)引理知f同構(gòu).

由文獻(xiàn)［13］定理2.6.10 知，I 為有限表現(xiàn)模，故R是正則凝聚環(huán).

推論3.3若R是正則凝聚環(huán)，則Mi是正則平坦模當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)Mi是正則平坦模.

證明設(shè)Mi是正則平坦模，由定理3.2 即得Mi是正則平坦模.

命題3.4若R是正則凝聚環(huán)，則R-模M是正則余平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是正則平坦模.

證明設(shè)M為R-模，I∈，由條件R 是正則凝聚環(huán)，知I是有限表現(xiàn)的.故有如下交換圖.

由文獻(xiàn)［13］定理2.6.13 知，f、g 同構(gòu).由命題2.6 知，底行正合當(dāng)且僅當(dāng)HomR（R，M）→HomR（I，M）→0 正合，當(dāng)且僅當(dāng)M 是正則余平坦模.因此，由交換圖可知，M是正則余平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是正則平坦模.

定理3.5對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià)：

1）R是正則凝聚環(huán)；

2）R-模M 是正則余平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M++是正則余平坦模；

3）R-模M 是正則平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M++是正則平坦模；

4）內(nèi)射模的正向極限是正則余平坦模；

5）對(duì)任意正則余平坦R-模M，及內(nèi)射R-模N，同態(tài)模HomR（M，N）是正則平坦模；

6）對(duì)任意內(nèi)射R-模N，同態(tài)模HomR（R+，N）是正則平坦模.

證明1）?2）由命題3.4 知，M 是正則余平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是正則平坦模.又由命題2.12知，則M+是正則平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M++是正則余平坦模.

2）?3）M是正則平坦模，則M+是正則余平坦模.由條件知，M+++是正則余平坦模.由命題2.12知，M+++是正則余平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M++是正則平坦模.

1）?4）設(shè)環(huán)R是正則凝聚環(huán)，Γ是定向集，Mi（i∈Γ）是內(nèi)射模的正向系.對(duì)任意I∈，I 為有限表現(xiàn)的，由文獻(xiàn)［18］知

由文獻(xiàn)［13］定理3.9.4 知，f、g同構(gòu)，由五項(xiàng)引理知h同構(gòu).由文獻(xiàn)［16］知，I 為有限表現(xiàn)，故R 是正則凝聚環(huán).

1）?5）對(duì)任意正則余平坦R-模M，及內(nèi)射R-模N，既然／是內(nèi)射上生成子，則存在正合列0 →N →（／）.因?yàn)镹 為內(nèi)射模，則存在某一R-模B，使得（／）?N ⊕B.故有

則HomR（M，N）是M+的直和加項(xiàng).由條件知R是正則凝聚環(huán)，故由命題3.4 及定理3.2 知，M+是正則平坦模.又由命題2.16 知，HomR（M，N）是正則平坦模.

5）?6）由R+是內(nèi)射模，即證.

6）?1）由

引理3.6［19］1）設(shè)M是R-模，則M是平坦模當(dāng)且僅當(dāng)M+是FP-內(nèi)射模；

2）設(shè)B 是R-模，B+是平坦模，則B 是FP-內(nèi)射模.

定理3.7設(shè)環(huán)R 是正則凝聚環(huán)，以下各條等價(jià)：

1）任意正則平坦R-模是平坦模；

2）任意正則余平坦R-模是FP-內(nèi)射模；

3）任意正則余平坦模且為純內(nèi)射R-模是內(nèi)射模.

證明1）?2）設(shè)B 為正則余平坦R-模，則B+為正則平坦模，由條件得，B+為平坦模，由引理3.6 知，B是FP-內(nèi)射模.

2）?3）顯然.

3）?1）設(shè)M 為正則平坦R-模，由命題2.12知，純內(nèi)射R-模M+為正則余平坦模.故由條件可知M+為內(nèi)射模，因此，M為平坦模.

設(shè)I是R的有限生成正則理想，但并不意味著每個(gè)生成元都是非零因子.為了給出下面的Prüfer環(huán)的刻畫，需要對(duì)可除模作更一般的刻畫.設(shè)N 是R-模，稱｛Nα|α≤π｝是N的子模的連續(xù)升鏈，是指N有子模升鏈

其中π和每個(gè)α都是序數(shù)，指標(biāo)集是連續(xù)序數(shù)的集合，且當(dāng)α是極限序數(shù)時(shí)，Nα＝∪β＜αNβ.

引理3.8設(shè)N是撓模，則N有子模的連續(xù)升鏈（1），使得對(duì)每個(gè)序數(shù)α，Nα+1／Nα是循環(huán)撓模.

證明令N0＝0.若N ＝0，取π＝0.設(shè)N≠0，取x∈N，x≠0，則令N1＝Rx.對(duì)給定的序數(shù)α，設(shè)β ＜α?xí)r，滿足要求的Nβ已經(jīng)作出.若有Nβ＝N，則做法停止.否則，當(dāng)α 不是極限序數(shù)時(shí)，取x∈N -Nα-1，并令Nα＝Nα-1+Rx.于是Nα／Nα-1是循環(huán)撓模.當(dāng)α是極限序數(shù)時(shí)，令Nα＝∪β＜αNβ.如此下去，即得所證.

命題3.9對(duì)R-模D，以下各條等價(jià)：

1）D是可除模；

4）對(duì)任何循環(huán)撓模N，D?RN ＝0；

5）對(duì)任何撓模N，D?RN ＝0.

證明1）?2）對(duì)任何I∈，則I 中存在一個(gè)非零因子s.由于D 是可除模，故有sD ＝D，從而有ID ＝D.故D是-可除模.

2）?3）這是顯然的.

3）?4）由于N 是循環(huán)模，故可設(shè)N ＝R／I，其中I是R 的理想.由于N 是循環(huán)撓模，故存在正則元素a∈I.于是有正合列

從而得到D?RN ＝0.

4）?5）由引理3.8，N 有連續(xù)升鏈（1）.由于N1與N2／N1是循環(huán)撓模，故由正合列

得到D?RN2＝0.用超限歸納法可證對(duì)任何序數(shù)α≤π，都有D?RNα＝0.特別地，有

設(shè)A是T（R）中的R-子模，定義

則A-1是T（R）中的R-子模.若有AA-1＝R，則稱A是可逆模.R 的理想若是可逆模，則稱之為可逆理想.

引理3.10［9］設(shè)A 是T（R）中的R-子模.則有：

1）若A是可逆的，則A是有限生成的；

2）若A包含T（R）中的一個(gè)單位，則A是投射模當(dāng)且僅當(dāng)A是可逆的；

3）有限生成的正則平坦理想是投射模.

證明1）和2）的證明參見(jiàn)文獻(xiàn)［9］引理5.3.

3）由文獻(xiàn)［20］引理18.1 即得.

命題3.11Prüfer環(huán)是正則凝聚環(huán).

證明設(shè)I是R 的有限生成正則理想，則I 是可逆的.由引理3.10 的2）知，I為投射模，從而I為有限表現(xiàn)的.故R是正則凝聚環(huán).

定理3.12對(duì)環(huán)R，以下各條等價(jià)：

1）R是Prüfer環(huán)；

2）可除模是正則余平坦模；

3）正則余平坦模的商模是正則余平坦模；

4）正則內(nèi)射模的商模是正則余平坦模；

5）h-可除模是正則余平坦模；

6）R的正則理想是平坦模；

7）設(shè)M 是有限生成自由模F 的有限生成子模，且F／M是撓模，則M是投射模.

證明1）?2）設(shè)D是可除模，I ＝（a1，a2，…，ak）是R的有限生成正則理想，f：I→D是同態(tài).由于R是Prüfer 環(huán)，故II-1＝R.于是有x1，x2，…，xn∈I-1，使得.由命題3.9 知，D是-可除模，從而有ID ＝D，故存在yij∈D，使得

由于xi∈I-1，aj∈I，故對(duì)任何i，j，有xiaj∈R.于是

對(duì)任何b∈I，有

令g：R→D，使得g（r）＝ry，r∈R.則對(duì)任何b∈I，有g(shù)（b）＝bg（1）＝by ＝f（b）.由命題2.6，D 是正則余平坦模.

2）?3）由命題2.7，正則余平坦模是可除模.又可除模的商模還是可除模，從而正則余平坦模的商模是正則余平坦模.

3）?4）由正則內(nèi)射模是正則余平坦模即知.4）?5）內(nèi)射模顯然是正則內(nèi)射模，由h-可除模的定義知h-可除模為正則余平坦模.

5）?1）設(shè)I是R的有限生成正則理想，X為任意R-模.嵌入X 到內(nèi)射模E，則有正合列0→X→E→E／X→0.于是E／X是h-可除模.于是有

故I是投射模.由引理3.10 知I 是可逆的，因此，R是Prüfer環(huán).

1）?6）設(shè)A 是R 的正則理想，則存在非零因子a∈A.顯然有A 的包含a 的有限生成子理想的集合是定向集，且A ＝∪B，其中B 取遍A 的包含a的有限生成子理想.由假設(shè)，每個(gè)B是投射模，從而有A是平坦模.

6）?1）由引理3.10 的3）即得.

1）?7）記F ＝Rn，對(duì)n用歸納法證明之.

n ＝1 時(shí)，則M是R的理想.由于R／M是撓模，故M是R 的有限生成正則理想.由于R 是Prüfer環(huán)，故M是投射模.

今設(shè)n ＞1，令F1＝Rn-1，N ＝M ∩F1.于是F／F1?R，且有下面的兩行是正合列的交換圖.

其中，Y ＝F／M是撓模，h是左邊交換方圖的誘導(dǎo)同態(tài).由文獻(xiàn)［21］引理1，h 是單同態(tài).由蛇形引理，0→M／N→R→cok（h）→0 是正合列.由于cok（h）＝Y(jié)／h（X）是撓模，故M／N 是投射模，從而有M 是投射模.

7）?1）由引理3.10 即得.