曹建平，孫文柱，王海東，王云翔

(海軍航空大學(xué)青島校區(qū)，山東 青島 266041)

機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析無(wú)論是對(duì)于新機(jī)械的優(yōu)化設(shè)計(jì)，還是對(duì)于現(xiàn)有機(jī)械的運(yùn)動(dòng)性能分析，都是非常必要的[1]。機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析方法一般分為圖解法和解析法，其中解析法借助計(jì)算機(jī)可獲得較高的計(jì)算精度并能直接用于機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，因而應(yīng)用更為廣泛。暢博彥等[2]針對(duì)箏形七桿機(jī)構(gòu)采用幾何證明的方式對(duì)機(jī)構(gòu)執(zhí)行構(gòu)件實(shí)現(xiàn)直線運(yùn)動(dòng)的條件進(jìn)行了研究。郭震等[3]采用解析法分析了剛性折紙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性，推導(dǎo)出未知折痕轉(zhuǎn)角的顯式表達(dá)式。李杰[4]針對(duì)解析法推導(dǎo)過(guò)程復(fù)雜、難以得到解析解的問(wèn)題，提出了一種面向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的解析數(shù)值算法。但現(xiàn)有解析方法多基于閉環(huán)矢量方程進(jìn)行幾何分析，不夠直觀且易出錯(cuò)。復(fù)數(shù)矢量法直接采用代數(shù)方法求解幾何方程，可有效解決上述問(wèn)題，但經(jīng)典的復(fù)數(shù)矢量法僅用于矢量的四則運(yùn)算，不能求解矢量的點(diǎn)乘和叉乘，不利于復(fù)雜機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析，嚴(yán)重限制了復(fù)數(shù)矢量法的有效性。為此，本文對(duì)復(fù)數(shù)矢量法進(jìn)行了針對(duì)性的改進(jìn)，將復(fù)數(shù)運(yùn)算擴(kuò)展到矢量的點(diǎn)乘和叉乘，提高了復(fù)數(shù)矢量法的分析能力，并以噴氣偏流板裝置七桿機(jī)構(gòu)為例進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 復(fù)數(shù)矢量法及其改進(jìn)

復(fù)數(shù)矢量法是一種進(jìn)行平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的經(jīng)典解析方法，應(yīng)用廣泛[5-6]。其基本思想是利用復(fù)數(shù)符號(hào)表示平面矢量，從而將矢量的各種運(yùn)算轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，利于運(yùn)動(dòng)分析與編程實(shí)現(xiàn)。

1.1 平面矢量及其復(fù)數(shù)表示

復(fù)數(shù)矢量法應(yīng)用的對(duì)象是平面矢量，即在平面內(nèi)既有大小又有方向的量。根據(jù)該定義，在同一平面內(nèi)，位移、速度、加速度和力都是矢量，但矢量并不能完全表達(dá)其物理意義，比如要完全確定位移需要給出明確的起點(diǎn)和終點(diǎn)，而矢量只表達(dá)了位移的大小和方向；同樣力的物理意義除了大小和方向以外還有作用點(diǎn)。換句話說(shuō)，矢量除了表達(dá)物理量的大小和方向以外不表達(dá)任何其他要素，因此矢量可以在平面內(nèi)進(jìn)行二自由度的任意平移。另外，平面內(nèi)的角速度、角加速度和力偶不是復(fù)數(shù)矢量法研究的矢量，原因在于這3個(gè)量雖然在物理意義上是有方向的，但其方向是垂直于作用平面的，利用正負(fù)號(hào)即可充分表達(dá)，因此可將其視為標(biāo)量。

由定義可知，平面矢量本身與坐標(biāo)系的選擇是沒(méi)有關(guān)系的，但可以在特定的坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行表示。如圖1所示，AB表示一個(gè)矢量，其大小為L(zhǎng)AB，方向與水平夾角為φAB，在直角坐標(biāo)系OXY中可表示為：

AB=B-A=(xB-xA,yB-yA)

(1)

圖1 平面矢量表示

由式(1)可知矢量對(duì)應(yīng)于OXY平面的一個(gè)點(diǎn)，而復(fù)數(shù)與平面的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，因此可用復(fù)數(shù)來(lái)表示矢量：

AB=(xB-xA)+(yB-yA)i

(2)

進(jìn)一步，矢量還可以表示為：

AB=LAB(cosφAB+isinφAB)

(3)

根據(jù)歐拉定理eiθ=cosθ+isinθ，式(3)可進(jìn)一步表示為：

AB=LABeiφAB

(4)

式(4)即為平面矢量利用復(fù)數(shù)進(jìn)行表示，進(jìn)而矢量的代數(shù)運(yùn)算可通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算完成。設(shè)直角坐標(biāo)系OXY內(nèi)任意2個(gè)矢量為a1=(x1,y1)和a2=(x2,y2)，可分別用復(fù)數(shù)表示為a1=x1+y1i=L1eiφ1和a2=x2+y2i=L2eiφ2，其中L1和L2分別為a1和a2的大小，φ1和φ2分別為a1和a2與水平方向的夾角，則矢量加法表示為：

a1+a2=L1eiφ1+L2eiφ2

(5)

矢量減法表示為：

a1-a2=L1eiφ1-L2eiφ2

(6)

矢量標(biāo)乘表示為：

ka1=kL1eiφ1

(7)

矢量微分表示為：

(8)

1.2 復(fù)數(shù)矢量法改進(jìn)

經(jīng)典的復(fù)數(shù)矢量法是不完善的，沒(méi)有給出矢量點(diǎn)乘和叉乘的復(fù)數(shù)表示[1]，下面推導(dǎo)給出。

矢量點(diǎn)乘可表示為：

Re(L1L2ei(φ1-φ2))

(9)

式中Re(·)、(·)*分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)部和共軛。

證明：根據(jù)矢量點(diǎn)乘定義，矢量點(diǎn)乘可表示為：

a1·a2=x1x2+y1y2

可得：

(x1+y1i)(x2+y2i)*=(x1+y1i)(x2-y2i)=x1x2+y1y2-x1y2i+x2y1i

則：

Re{(x1+y1i)(x2+y2i)*}=x1x2+y1y2

2018年5月，第四屆現(xiàn)代家政產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新發(fā)展研討會(huì)在清華大學(xué)的熊知行樓召開(kāi)，受到參會(huì)嘉賓的一致好評(píng)，在家政行業(yè)內(nèi)引起積極的反響。在家政人的期待下，2018年11月24-25日，第四屆現(xiàn)代家政產(chǎn)業(yè)創(chuàng)新發(fā)展研討會(huì)孕嬰童專題研討在清華大學(xué)的熊知行樓進(jìn)行，來(lái)自主辦方單位負(fù)責(zé)人、職業(yè)院校研究學(xué)者、行業(yè)專家、行業(yè)從業(yè)人員近200人出席了本次活動(dòng)。此次活動(dòng)由全國(guó)婦聯(lián)人才開(kāi)發(fā)培訓(xùn)中心、《家庭服務(wù)》雜志社、清華大學(xué)老科協(xié)現(xiàn)代家政產(chǎn)業(yè)研究發(fā)展中心、北京市海淀區(qū)智慧社區(qū)與家庭服務(wù)協(xié)會(huì)主辦。

證畢。

同理，矢量叉乘可表示為：

a1×a2=Im{(x1+y1i)(x2+y2i)*}=Im(L1L2ei(φ1-φ2))

(10)

式中Im(·)表示復(fù)數(shù)的虛部。需要注意的是，一般矢量的叉乘仍是矢量，但復(fù)數(shù)矢量法針對(duì)的是在同一平面的平面矢量，其叉乘得到的矢量的方向只能垂直于矢量所在平面，可用正負(fù)號(hào)來(lái)表示其方向，即可用標(biāo)量完全表達(dá)，因此式(10)給出的矢量叉乘結(jié)果是標(biāo)量。

2 噴氣偏流板裝置運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

2.1 機(jī)構(gòu)描述

噴氣偏流板(the jet blast deflector, JBD)是航母上保障艦載機(jī)安全連續(xù)起飛的關(guān)鍵設(shè)備，其作用是將艦載機(jī)起飛時(shí)由噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)噴射出的高溫高壓氣流向上、向外偏流，以保證人員、飛機(jī)和設(shè)備的安全[7]。噴氣偏流板在組成上包括機(jī)械系統(tǒng)、海水冷卻系統(tǒng)、液壓系統(tǒng)和電氣控制系統(tǒng)。美軍現(xiàn)役航母上噴氣偏流板裝置有兩種型號(hào)[8]，分別是MK7-1型和MK7-0/2型，其中MK7-1型有2組模塊，MK7-0/2型則有3組模塊，如圖2所示。

圖2 美軍MK7型噴氣偏流板裝置

無(wú)論是哪種型號(hào)，其機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)都是一種七連桿傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，其機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖3所示。該機(jī)構(gòu)包括6個(gè)活動(dòng)構(gòu)件，其中構(gòu)件1是液壓缸缸體，構(gòu)件2是液壓缸活塞，構(gòu)件3是曲柄，構(gòu)件5是旋轉(zhuǎn)臂，構(gòu)件6是連桿，構(gòu)件7是偏流板組件，構(gòu)件3和構(gòu)件5固連在一起，構(gòu)件2作為主動(dòng)件；包括7個(gè)運(yùn)動(dòng)副，其中6個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，1個(gè)移動(dòng)副。該機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)將主動(dòng)件2的往復(fù)移動(dòng)轉(zhuǎn)換為構(gòu)件7繞著運(yùn)動(dòng)副F的升起/降下的往復(fù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖3 噴氣偏流板裝置七連桿執(zhí)行機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2.2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

下面利用改進(jìn)的復(fù)數(shù)矢量法對(duì)噴氣偏流板運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。如圖1所示，偏流板運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)構(gòu)成兩個(gè)封閉矢量多邊形：ABC和ADEF，據(jù)此可列出該機(jī)構(gòu)的2個(gè)封閉矢量位置方程，用復(fù)數(shù)矢量表達(dá)如下：

(11)

根據(jù)歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ及圖1所示相互位置關(guān)系(1和2受運(yùn)動(dòng)副約束共線，3和5固連在一起)，由式(1)可得(后文用c代表cos，s代表sin，ac代表arccos)：

(12)

式中：l1,l3,l4,l5,l6,l7,l8,δ,θ4,θ8為結(jié)構(gòu)參數(shù)，是常量；l2,θ1,θ2,θ3,θ5,θ6,θ7為變化的結(jié)構(gòu)參數(shù)變量。其中變量l2與原動(dòng)件2相連，表示液壓缸的活塞桿，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律已知；其他6個(gè)變量是輸出量，為待求量。

式(12)是非線性方程組，其解析解較難得到，但針對(duì)圖3所示機(jī)構(gòu)利用三角函數(shù)相關(guān)公式可得解析解：

(13)

對(duì)式(13)求導(dǎo)，可得：

(14)

將式(14)寫(xiě)成矩陣形式：

(15)

對(duì)式(14)進(jìn)一步求導(dǎo)，可得：

(16)

式中：αi(i=1,2,3,5,6,7)為角加速度。將式(16)寫(xiě)成矩陣形式：

(17)

3 算例分析

為分析航母偏流板裝置運(yùn)動(dòng)特性，將圖3所示機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)定為：安裝角δ=40°，液壓缸長(zhǎng)度l1=1 200 mm，活塞桿初始伸出長(zhǎng)度l20=200 mm，活塞桿行程Δl2=700 mm，曲柄長(zhǎng)度l3=700 mm，艙室機(jī)架AC長(zhǎng)度l4=1 700 mm，旋轉(zhuǎn)臂長(zhǎng)度l5=1 600 mm，連桿長(zhǎng)度l6=1 500 mm，偏流板組件長(zhǎng)度l7=2 800 mm，甲板機(jī)架AF長(zhǎng)度l8=3 200 mm，艙室機(jī)架安裝角θ4=1°，甲板機(jī)架安裝角θ8=20°。

在以上結(jié)構(gòu)參數(shù)基礎(chǔ)上，采用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真，以l2為自變量，設(shè)間隔為0.01將其離散化仿真，并設(shè)定活塞桿做勻速往復(fù)運(yùn)動(dòng)，其速度大小為72 mm/s，分別代入公式(13)、(15)和(17)中，可得到如圖4～6所示的各構(gòu)件的位置線圖、速度線圖和加速度線圖。

偏流板裝置屬于特大型船舶的特種裝置，構(gòu)件7偏流板組件自重可達(dá)上百噸，為減輕其升起和降下時(shí)對(duì)船體的沖擊，設(shè)計(jì)上要求降低活塞桿行程末端的偏離板組件的運(yùn)動(dòng)速度。由圖4可看出，偏流板組件7角速度先變大后變小，在末端時(shí)趨近于0，可有效避免強(qiáng)烈撞擊，并利于制動(dòng)，可知噴氣偏流板裝置七桿機(jī)構(gòu)構(gòu)型和設(shè)定結(jié)構(gòu)參數(shù)基本達(dá)到了設(shè)計(jì)要求。

圖4 位置線圖

圖5 速度線圖

圖6 加速度線圖

4 結(jié)論

本文對(duì)經(jīng)典的基于復(fù)數(shù)矢量法的平面機(jī)構(gòu)解析方法進(jìn)行改進(jìn)，并應(yīng)用到噴氣偏流板七桿運(yùn)動(dòng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析中，可知：

1)改進(jìn)后的復(fù)數(shù)矢量法不但可利用復(fù)數(shù)完成矢量常規(guī)四則運(yùn)算，且可完成矢量的點(diǎn)乘和叉乘運(yùn)算，為平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析帶來(lái)方便；

2)利用改進(jìn)復(fù)數(shù)矢量法建立了噴氣偏流板裝置七桿機(jī)構(gòu)的位置、速度和加速度方程，并得到解析解，說(shuō)明了改進(jìn)復(fù)數(shù)矢量法對(duì)于平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的有效性；

3)利用MATLAB對(duì)平面機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，得到了機(jī)構(gòu)的位置、速度和加速度線圖，結(jié)果與設(shè)計(jì)要求相符，說(shuō)明了結(jié)果的正確性；

4)本文結(jié)果為偏流板裝置的構(gòu)型和參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定了理論基礎(chǔ)。