陳 冰， 陳陽舟， 詹璟原

(1.北京工業(yè)大學信息學部， 北京 100124； 2.教育部數字社區(qū)工程中心， 北京 100124)

多智能體網絡是由具備感知、通信、執(zhí)行能力的多個智能體構成的網絡系統(tǒng). 近年來，多智能體網絡的協(xié)作控制在無人機編隊、移動車輛的協(xié)調合作和隊形控制、傳感器網絡以及交通網絡信號燈協(xié)調控制等領域得到了廣泛的應用. 多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)一致性是指智能體之間通過信息交換和相互協(xié)調使所有智能體的狀態(tài)趨于共同值[1]. 同樣，在日常生活中也存在通過多個智能體之間的相互協(xié)作來共同完成一項任務的現(xiàn)象，類似于生物群聚集的自然現(xiàn)象，如大雁南飛、魚群游動、螞蟻覓食、蜜蜂筑巢等生物行為，體現(xiàn)了多智能體之間的協(xié)同大大提高個體行為的智能化程度，進而更高效地完成很多個體無法完成的活動. 實際情況中的多智能體系統(tǒng)具有個體的數量多，并且智能體之間的相互作用關系也較復雜. 因此，大部分學者研究多智能體系統(tǒng)時，利用相關的圖論知識將它建模成圖，從而解決多智能體協(xié)同控制問題. 目前，盡管多智能體系統(tǒng)一致性理論研究取得了豐富的成果，但還存在一些不足. 例如，多智能體系統(tǒng)在一般有向通信拓撲條件下具有采樣數據丟失的一致性問題研究還不充分.

由于數字傳感器和控制器的廣泛應用，采樣控制被運用到多智能體網絡中，控制協(xié)議只在預定的采樣時刻進行信息交換和控制更新. 文獻[2]直接將連續(xù)系統(tǒng)離散化，建立了一個基于采樣數據的一致性協(xié)議. 文獻[3]利用采樣控制得出了二階采樣多智能體系統(tǒng)一致性的充要條件. 文獻[4-5]基于數據采樣控制器研究了領導- 跟隨多智能體網絡一致性問題. 文獻[6]分別針對固定和馬爾可夫切換拓撲情況提出了基于采樣觀測器的一致性協(xié)議. 文獻[7]考慮了狀態(tài)不可測的二階無向圖多智能體系統(tǒng)的事件觸發(fā)保性能一致性問題，采用觸發(fā)條件和Lyapunov穩(wěn)定性方法，給出了保性能輸出反饋一致性的一些充分條件. 文獻[8]討論了位置和速度采樣的二階多智能體網絡一致性的牽引控制. 文獻[9]研究了具有切換拓撲和有通信噪聲情況下的二階多智能體系統(tǒng)的平均一致性問題，結果表明均方平均一致的充分條件是: 一致性控制增益滿足近似性條件，并且每個采樣時刻的通信拓撲圖是一個具有生成樹的平衡圖. 文獻[10]采用模型預測控制方法研究了周期采樣系統(tǒng)和連續(xù)時間一階系統(tǒng)一致性問題，給出了解析解以及系統(tǒng)漸近一致的理論證明. 文獻[11]解決了具有網絡時變時延和動態(tài)變拓撲的離散時間的多智能體系統(tǒng)一致性問題. 文獻[12-13]分別研究了連續(xù)時間二階多智能體系統(tǒng)的量化一致性問題. 文獻[14]利用脈沖系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和圖論，得到了保證基于采樣數據多智能體系統(tǒng)一致的充要條件.

智能體之間通過共享的通信網絡傳輸信息，通信信道中會存在網絡時延、數據丟包、有限帶寬等情況，將會給多智能體網絡系統(tǒng)的穩(wěn)定性及控制性能帶來極大影響，因此，對其進行分析和研究顯得非常重要. 近幾年，針對具有采樣數據丟失情況的多智能體系統(tǒng)的一致性問題的研究成果較少，關于此類問題現(xiàn)有的研究成果[15-18]主要針對無向通信拓撲或有向平衡通信拓撲情況，并且文獻中僅考慮了一階或二階多智能體系統(tǒng)特殊情況. 文獻[15]研究了具有連續(xù)時間丟包的數據采樣多智能體系統(tǒng)一致性問題，采用正交矩陣作為變換矩陣，對系統(tǒng)進行結構分解，實現(xiàn)了具有丟包和時延的采樣數據多智能體一致性. 文獻[16]討論了連續(xù)時間有領導者的多智能體系統(tǒng)的采樣數據丟包情況下的一致性，通過引入誤差變量，將一致性問題轉化為誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，并將采樣數據看作時變時延數據，通過構造Lyapunov-Krasovskii泛函，利用積分不等式技術得出了領導- 跟隨多智能體系統(tǒng)達到一致的充分條件. 文獻[17-18]針對離散時間系統(tǒng)網絡中存在隨機通信通道故障并且各通信通道的數據丟失情況是相互獨立的領導- 跟隨多智能體系統(tǒng)，利用Lyapunov方法和線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)設計控制協(xié)議增益，得出了所有智能體狀態(tài)達到漸近一致的充分條件. 但上述文獻的結論都是基于通信拓撲為無向圖或是有向平衡圖.

本文在現(xiàn)有研究基礎上，考慮一般高階線性多智能體系統(tǒng)在有向通信拓撲下存在采樣數據丟包時的一致性問題，其中隨機丟包由Bernoulli隨機過程描述. 基于通信拓撲圖的有向生成樹的關聯(lián)矩陣構造線性變換將一致性問題等價轉化成一個降階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題，應用漸近穩(wěn)定性理論給出隨機丟包情況下的多智能體系統(tǒng)狀態(tài)一致性條件，并采用線性矩陣不等式方法將分布式一致性協(xié)議的設計轉化為求解一個凸優(yōu)化問題，并進一步分析采樣周期的允許邊界、隨機丟包概率與拉普拉斯矩陣之間的相互影響關系.

1 問題描述

考慮N個智能體構成的多智能體系統(tǒng)，其中第i個智能體的狀態(tài)方程為

(1)

式中，xi∈Rn,ui∈Rm分別為第i個智能體的狀態(tài)變量與控制輸入變量(或稱為控制協(xié)議).

假設智能體i能獲取其鄰居智能體j∈Ni相對于自身的狀態(tài)信息，并且假設智能體i獲得采樣數據

(2)

考慮具有采樣數據丟包的控制協(xié)議

(3)

式中,K為需要設計的反饋增益矩陣.隨機變量α(tk)為滿足Bernoulli分布的{0,1}序列，滿足

(4)

定義1如果對智能體i的任意初始狀態(tài)xi(0)滿足

則稱多智能體系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(3)作用下狀態(tài)達到均方漸近一致.

定義2如果一個有向圖除根節(jié)點以外的其他所有節(jié)點都只有一個父節(jié)點，則稱一個有向圖為一棵樹；如果存在一棵包含該有向圖所有節(jié)點的樹，則稱一個有向圖包含一棵有向生成樹.

本文假設多智能體系統(tǒng)的有向通信拓撲圖包含有向生成樹.

2 基于線性變換的一致性問題轉化

在控制協(xié)議(3)的作用下，系統(tǒng)(1)的全狀態(tài)閉環(huán)形式為

(5)

現(xiàn)在討論如何通過線性變換將系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(3)下的一致性問題等價地轉化為降階系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題.由上述假設，通信拓撲圖G的一棵有向生成樹包含N個節(jié)點和N-1條有向邊，可選取該有向生成樹的關聯(lián)矩陣來構造線性變換.

(6)

式中，1N為元素全為1的N維列向量.逆矩陣W-1可表示為

利用矩陣(6)構造系統(tǒng)(5)的線性變換

(7)

則進一步系統(tǒng)(5)轉化為

(8)

(9)

式中：

引理1[19]系統(tǒng)(9)等價變?yōu)?/p>

(10a)

(10b)

式中：

3 一致性條件和協(xié)議設計

為分析系統(tǒng)(10a)在采樣數據丟包情況下的穩(wěn)定性，首先給出幾個相關引理.

成立.

引理3[21]對任意向量a、b和一個正定矩陣Φ，有

-2aTb≤aTΦa+bTΦ-1b

下面給出使系統(tǒng)(10a)均方漸近指數穩(wěn)定的一個充分條件.

定理1多智能體系統(tǒng)(1)在控制協(xié)議(3)作用下狀態(tài)達到均方漸近一致的充分條件是: 存在正定對稱矩陣X∈Rn×n，標量β>0以及矩陣Y∈Rm×n，使得

(11)

成立.式中

若不等式(11)的可行解為X和Y，則控制協(xié)議(3)中的反饋增益矩陣可取為K=YX-1.

證明針對系統(tǒng)(10a)構造Lyapunov函數

V(t)=yT(t)(IN-1?P)y(t)

對V(t)關于時間求導，得到

(12)

根據式(10a)，得出

(13)

利用引理3來獲取式(13)中第1項的上界，可得

(14)

根據引理2，式(14)中的第2項可寫為

同樣,對式(13)第3項利用引理3獲得該項的上界，可得

(15)

(16)

由式(16)可得

(17)

其中標量β>0.

應用引理3，式(16)進一步轉化為

(18)

根據式(17)(18)，可得

(19)

令

接下來證明

(20)

利用反證法，假設式(19)不成立，至少存在一個t*滿足E{V(t*)}>E{V(tk)}.由t∈[tk,tk+1),t-tk<τ,以及式(19)得出

(21)

式(20)表明E{V(tk)}自tk時刻起在較短時間內是逐漸減小的，因此，存在t**∈[tk,t*]滿足

(22)

由式(19)可知

(23)

令φ(t)=eβtV(t)/V(tk),并由式(19)(20),t∈[tk,tk+1), 可得出

(24)

對式(24)兩邊在[tk,tk+1]進行積分，得到

(25)

由式(25)以及t-tk<τ, 得出

(26)

然后

E{V(tk+1)}≤σV(tk)≤σ2V(tk-1)≤…≤
σk+1E{V(t0)}

(27)

4 數值例子

例1考慮二階多智能體系統(tǒng)包含6個節(jié)點，每個智能體系統(tǒng)的模型參數為

假設通信權值均gij=1，由圖1可知系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為

圖1 有向拓撲Fig.1 Directed topology

根據式(6)構建的非奇異變換矩陣為

選擇采樣周期τ=0.05滿足定理1中的條件.假定系統(tǒng)的初始值為

具有丟包的數據采樣多智能體系統(tǒng)(1)在信息拓撲(3)下的狀態(tài)軌跡如圖2所示.圖3為隨機變量α(·)Bernoulli 0-1分布圖.

圖2 例1中多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.2 State trajectories of multiagent systems in example 1

圖3 例1的隨機變量α(·)分布Fig.3 Stochastic variable α(·) distribution of example 1

例2智能體個數及其通信拓撲圖同例1，但每個智能體的狀態(tài)方程(1)的參數矩陣為

選擇采樣周期τ=0.2來滿足定理1中的條件.假定系統(tǒng)的初始值為

具有丟包的數據采樣多智能體系統(tǒng)(1)在信息拓撲(3)下的狀態(tài)軌跡如圖4所示.圖5為隨機變量α(·)Bernoulli 0-1分布圖.

圖4 例2中多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡Fig.4 State trajectories of multiagent systems in example 2

圖5 例2的隨機變量α(·)分布Fig.5 Stochastic variable α(·) distribution of example 2

5 結論

1) 為克服文獻[15]特殊情況下的無向通信拓撲或有向平衡圖的不足，在此基礎上本文針對一般有向通信拓撲情況下的采樣數據丟失的多智能體系統(tǒng)一致性問題進行研究，采用有向生成樹的關聯(lián)矩陣進行線性變換，將數據采樣的多智能體的漸近狀態(tài)一致性問題轉化為相應系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性問題.

2) 利用LMIs分析了轉化后系統(tǒng)的穩(wěn)定性，得出了采樣周期的允許邊界、隨機丟包概率和拉普拉斯矩陣之間的相互關系，證明了在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性條件與采樣周期允許范圍內使得所有智能體狀態(tài)達到漸近一致.

3) 仿真結果表明，多智能體系統(tǒng)狀態(tài)分量仍能各自漸近地達到一致，從而實現(xiàn)了多智能體系統(tǒng)協(xié)調控制的目的.

4) 雖然本文對周期采樣的多智能體系統(tǒng)進行了研究，但是該方法可以擴展到非周期采樣以及丟包概率在每條通道上不同分布的情況.該方法在不同情況下的拓展研究將是下一步的研究目標.