標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布次序統(tǒng)計量的性質(zhì)

尹真真， 邱珍珠

(上海對外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計與信息學(xué)院，上海 201620)

1 引 言

次序統(tǒng)計量是數(shù)理統(tǒng)計中的重要概念之一，它在可靠性理論、參數(shù)估計和非參數(shù)估計等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.比如，串聯(lián)系統(tǒng)的正常工作壽命為X(1)=min(X1,X2,…,Xn)，并聯(lián)系統(tǒng)正常工作壽命為X(n)=max(X1,X2,…,Xn).陳光曙[1]研究了最小次序統(tǒng)計量和最大次序統(tǒng)計量的聯(lián)合分布函數(shù)，并進一步給出其研究結(jié)果的實際應(yīng)用.關(guān)于兩參數(shù)拉普拉斯分布已有許多文獻做過研究.徐曉嶺、顧蓓青和王蓉華[2]研究了兩參數(shù)拉普拉斯分布(L(α,β))，由于它與正態(tài)分布相比具有尖峰厚尾的特性，因而在工程科學(xué)、質(zhì)量控制、環(huán)境科學(xué)以及金融工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.徐曉嶺和王蓉華[3]通過構(gòu)造四個獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的函數(shù)得到了標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布.匡能輝[4]證明了兩參數(shù)拉普拉斯分布總體的樣本的次序統(tǒng)計量間隔(X(1),X(2)-X(1),…,X(n)-X(n-1))既不獨立也不同分布.錢開燕和寧榮建[5]主要研究了指數(shù)分布與二項分布、泊松分布、正態(tài)分布、均勻分布之間的聯(lián)系.拉普拉斯分布的應(yīng)用十分廣泛，例如其在研究股指收益率中就經(jīng)常被用到[6-9].本文主要針對樣本容量為2的標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布總體，研究其次序統(tǒng)計量X(1),X(2)分布的一些特殊性質(zhì).

2 標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布極大、極小次序統(tǒng)計量的分布

設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布，記為X～L(1)，其分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)分別為

針對標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布L(1)，易得到如下引理1：

引理1設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布，則

(i)F(-x)=1-F(x)；

(iii)-X～L(1)；

(iii)|X|～Exp(1).

設(shè)總體X～L(1)，樣本容量n≥2，X1,X2,…,Xn為總體X的一個簡單隨機樣本，其次序統(tǒng)計量記為X(1),X(2),…,X(n)，極小、極大次序統(tǒng)計量的分布由如下定理1給出.

定理1(i)極小值次序統(tǒng)計量X(1)的分布函數(shù)FX(1)(x)與密度函數(shù)fX(1)(x)分別為

(ii)極大值次序統(tǒng)計量X(n)的分布函數(shù)FX(n)(x)與密度函數(shù)fX(n)(x)分別為

(iii)X(1)與-X(n)同分布，X(n)與-X(1)同分布.

證(i)對-∞

FX(1)(x)=P(X(1)≤x)=1-P(X(1)>x)=1-P(X1>x,X2>x,…,Xn>x)

(ii)對-∞

FX(n)(x)=P(X(n)≤x)=P(X1≤x,X2≤x,…,Xn≤x)

(iii)由于標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布是對稱分布，由引理1可知：X與-X同分布而X(1),X(2),…，X(n)為來自L(1)總體的前n個次序統(tǒng)計量，-X(n),-X(n-1),…,-X(1)為來自L(1)總體的前n個次序統(tǒng)計量，即有X(1)與-X(n)同分布，也即X(n)與-X(1)同分布.

特別地，當(dāng)n=2時

3 樣本容量為2的標(biāo)準(zhǔn)拉普拉斯分布次序統(tǒng)計量的性質(zhì)

定理2設(shè)總體X～L(1)，X1,X2是來自總體X的兩個簡單隨機變量，X(1),X(2)為其次序統(tǒng)計量，則有如下結(jié)論：

(ii)|X(1)|和|X(2)|的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別為

F|X(1)|(x)=F|X(2)|(x)=2F(x)-1，f|X(1)|(x)=f|X(2)|(x)=2f(x)，x>0；

(iii)X(1)與X(2)的聯(lián)合分布函數(shù)為

證(i)對x≥0

進而

(ii)對x≥0

F|X(1)|(x)=P(|X(1)|≤x)=P(-x≤X(1)≤x)=FX(1)(x)-FX(1)(-x)

=2F(x)-[F(x)]2-2F(-x)+[F(-x)]2=2F(x)-1，

F|X(2)|(x)=P(|X(2)|≤x)=P(-x≤X(2)≤x)=FX(2)(x)-FX(2)(-x)=2FX(x)-1，

進而

f|X(1)|(x)=f|X(2)|(x)=2f(x).

(iii)對-∞

FX(1),X(2)(x1,x2)=P(X(1)≤x1,X(2)≤x2)=P(X(2)≤x2)-P(X(1)>x1,X(2)≤x2)，

若x2≤x1

FX(1),X(2)(x1,x2)=[F(x2)]2，

若x2>x1

P(X(1)>x1,X(2)≤x2)=[F(x2)-F(x1)]2,

FX(1),X(2)(x1,x2)=F(x1)[2F(x2)-F(x1)],

則X(1)與X(2)的聯(lián)合分布函數(shù)為

(iv)對-∞

類似地，對x1≥0，-∞

(v)對x1,x2≥0

若x1≥x2

若x1

由定理2可以得到如下結(jié)論：

(i)X(1),X(2)既不獨立也不同分布；

(ii)X(1)與-X(2)同分布，X(2)與-X(1)同分布；

并由此得到“不獨立的隨機變量X,Y，其函數(shù)可能獨立，也可能不獨立”這一結(jié)論.

定理3設(shè)總體X～L(1)，X1,X2是來自總體X的兩個簡單隨機變量，X(1),X(2)為其次序統(tǒng)計量，則

(i)|X1|與|X(1)|同分布，|X2|與|X(2)|同分布；

(ii)|X(1)|與|X(2)|獨立同服從Exp(1)；

(iii)|X1|-|X2|，|X(1)|-|X(2)|同服從L(1).

證(i)顯然成立；

(ii)對x≥0，F(xiàn)|X(1)|(x)=F|X(2)|(x)=2F(x)-1=1-e-x，即|X(1)|與|X(2)|同服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布Exp(1).

又對x1≥0，x2≥0

F|X(1)|,|X(2)|(x1,x2)=P(|X(1)|≤x1,|X(2)|≤x2)=P(-x1≤X(1)≤x1,-x2≤X(2)≤x2)，

若x1≥x2

F|X(1)|,|X(2)|(x1,x2)=[F(x2)]2-F(-x1)[2F(x2)-F(-x1)]-[F(-x2)]2

+F(-x1)[2F(-x2)-F(-x1)]2=[2F(x1)-1][2F(x2)-1]，

若x1

F|X(1)|,|X(2)|(x1,x2)=F(x1)[2F(x2)-F(x1)]-F(-x1)[2F(x2)-F(-x1)]

-[F(-x2)]2+[F(-x2)]2=[2F(x1)-1][2F(x2)-1]，

則F|X(1)|,|X(2)|(x1,x2)=F|X(1)|(x1)F|X(2)|(x2)，即|X(1)|與|X(2)|相互獨立.

(iii)對x≥0

對x<0

則|X1|-|X2|～L(1)，同理有：|X(1)|-|X(2)|～L(1).

4 結(jié) 論

致謝非常感謝各審稿專家給予的寶貴意見.