剛性航天器的預(yù)定義時間滑?？刂?/h1>
2022-01-24 04:51:18賽華陽徐振邦張恩陽
光學精密工程 2021年12期
賽華陽，徐振邦，賀 帥，張恩陽，秦 超
（1.中科院長春光學精密機械與物理研究所 中科院空間光學系統(tǒng)在軌制造與集成重點實驗室，吉林 長春 130033；2.中國科學院大學，北京 100049；3.中國科學院大學材料與光電研究中心，北京 100049）
1 引言
近年來，航天器的姿態(tài)跟蹤問題由于在空間應(yīng)用中的重要作用而得到了廣泛的研究［1-2］。航天器的姿態(tài)調(diào)整是一個復雜的控制問題，因為其存在相互作用的非線性運動學和動力學模型，以及空間環(huán)境中不可預(yù)測的外界擾動［3-4］。
滑?？刂疲⊿liding Mode Control，SMC）是處理具有不確定性和外界擾動的非線性系統(tǒng)的最有效的方法之一［5］。由于其對系統(tǒng)不確定性和外界干擾的強魯棒性，SMC 已被廣泛應(yīng)用到航天器的姿態(tài)控制中。但傳統(tǒng)的SMC 算法只能獲得漸近穩(wěn)定的結(jié)果，這意味著航天器的姿態(tài)跟蹤誤差需要很長的時間才能收斂到平衡點，而許多任務(wù)要求航天器實現(xiàn)快速的姿態(tài)調(diào)整［6］。為了滿足這一要求，有限時間控制的概念被提出，它可以提高系統(tǒng)誤差的收斂速度，使其在有限的時間內(nèi)收斂。終端滑?？刂凭褪且环N典型的有限時間控制方法，其中，一種新型的非奇異終端滑模控制（Non-singular Terminal Sliding Mode Con?trol，NTSMC）已經(jīng)被應(yīng)用到航天器的姿態(tài)調(diào)整中［7］。但有限時間控制方案的收斂時間依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，因此難以提前獲得航天器準確的姿態(tài)穩(wěn)定時間界限。與有限時間控制方案不同的是，固定時間控制可以保證系統(tǒng)的收斂時間獨立于系統(tǒng)的初始值，即系統(tǒng)收斂時間的上界是一個不依賴于系統(tǒng)初始狀態(tài)的常數(shù)［8］。目前，一些固定時間的SMC 也已經(jīng)被成功地應(yīng)用于航天器的姿態(tài)跟蹤控制中［1，9］。
雖然與有限時間控制相比，固定時間在系統(tǒng)穩(wěn)定時間的建立上有顯著的優(yōu)勢，但固定時間控制器的控制參數(shù)與穩(wěn)定時間之間的關(guān)系往往是復雜的。為了進一步解決這個問題，一種更先進的控制概念，即預(yù)定義時間控制被提出［10］。預(yù)定義時間控制為被控系統(tǒng)提供了一種先進的穩(wěn)定性特征，即通過調(diào)整預(yù)定義時間參數(shù)可以很容易地確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性上界，從而為系統(tǒng)的行為提供高度的確定性。在文獻［10-12］中，預(yù)定義時間控制被用來和SMC 相結(jié)合以提高一階控制系統(tǒng)的魯棒性，但這些方法僅能保證系統(tǒng)在SMC中到達階段的預(yù)定義時間穩(wěn)定性。在文獻［13-15］中，預(yù)定義時間滑模控制的相關(guān)理論被進一步提出，并被拓展到二階控制系統(tǒng)。此外，在文獻［3］中，預(yù)定義時間控制被應(yīng)用于航天器的姿態(tài)跟蹤控制中。但上述預(yù)定義時間控制方案的穩(wěn)定時間上界往往過于保守，這意味著控制器會遠提前于所設(shè)定的穩(wěn)定時間完成航天器的姿態(tài)調(diào)整。對于航天器姿態(tài)控制而言，過快的姿態(tài)調(diào)節(jié)會導致系統(tǒng)能量的浪費，甚至使控制力矩超過系統(tǒng)所允許的范圍。
在本文中，我們提出了一種應(yīng)用于剛性航天器姿態(tài)跟蹤控制的新型預(yù)定義時間滑模控制（Predefined-Time Sliding Mode Control，PTSMC）方案用于解決現(xiàn)有預(yù)定義時間控制方案的穩(wěn)定時間上界過于保守的問題。首先，我們設(shè)計了一種新型滑模變量和預(yù)定義時間滑模面，然后提出了一種新型PTSMC 方案，并采用邊界層技術(shù)降低了系統(tǒng)抖振。接著，通過Lyapunov函數(shù)證明了所提出的控制器的預(yù)定義時間穩(wěn)定性和系統(tǒng)收斂上界的非保守性。最后通過仿真實驗，分別與現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方案，NTSMC 方案和比例微分（Proportional-Deriva?tive，PD）控制進行了對比，并利用3 自由度氣浮平臺進行了實驗驗證，證明了所提出控制方案的有效性和優(yōu)越性。
2 剛性航天器模型和性質(zhì)
如圖1 所示，在建立航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)時常建立3 個參考坐標系，包括慣性坐標系FI，參考坐標系FO和航天器本體坐標系FB。在本文中，F(xiàn)I被選擇為以地球為中心的慣性框架，F(xiàn)B的原點位于被控航天器的質(zhì)心，并圍繞FI以ω0∈R+的軌道速率運行。FO與FB有相同的原點，其滾轉(zhuǎn)軸XO指向飛行器的飛行方向，俯仰軸YO垂直于飛行器的運行軌道，偏航軸ZO指向地心。
圖1 航天器的參考坐標系Fig.1 Coordinate reference frame system of spacecraft
剛性航天器的姿態(tài)可以通過航天器本體坐標系FB相對于慣性坐標系FI的姿態(tài)四元數(shù)進行表示，即（qv，q4）∈R3×R。剛性航天器的運動學方程可以表示為：
其中：ω∈R3表示航天器相對于本體坐標系FB的角速度，I3表示單位矩陣，(·)×表示為由向量元素構(gòu)建的偏斜對稱矩陣，即：
航天器的角速度誤差可以通過下式給出：
其中，C表示從FO到FB的坐標變換矩陣，并且矩陣C可以通過下式進行計算：
此外，航天器的姿態(tài)動力學方程可以表示為：
其中：J∈R3×3是航天器關(guān)于本體坐標系FB的慣性矩陣，u∈R3和d∈R3分別表示系統(tǒng)的控制力矩和未知但有界的擾動力矩。
結(jié)合式（3），（5）和（7），航天器姿態(tài)的誤差運動學和動力學方程可以被寫為：
考慮到航天器模型的不確定性，可以假設(shè)：
其中，J0和ΔJ分別表示已知的系統(tǒng)的名義慣性矩陣和慣性矩陣J的不確定部分。式（8）中給出的動力學方程可以被寫為：
其中，系統(tǒng)耦合不確定部分ρ∈R3被定義為如下形式：
參考文獻［1］，系統(tǒng)耦合不確定部分的上界可以通過下式確定：
本文要解決的問題如下：通過設(shè)計控制輸入u，使包含系統(tǒng)不確定性和外界干擾的剛性航天器的姿態(tài)誤差ev和角速度跟蹤誤差ωe在給定的時間內(nèi)收斂到零。
3 預(yù)定義時間穩(wěn)定性的基本理論
首先介紹關(guān)于有限時間、固定時間和預(yù)定時間穩(wěn)定性的一些的定義和引理以用于控制器預(yù)定義時間穩(wěn)定性的證明。
考慮一個非線性系統(tǒng)：
其中：x∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)，向量ρ∈Rb代表系統(tǒng)（13）的系統(tǒng)參數(shù)。函數(shù)f：Rn→Rn可以被認為是非線性和連續(xù)的，并且它的原點被假設(shè)為系統(tǒng)（13）的平衡點，即f(0；ρ)=0。
定義1.全局有限時間穩(wěn)定性［16］：如果系統(tǒng)（13）的原點是全局漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)（13）的任何解x(t，x0)在某個有限時刻達到平衡點，即?t≥T(x0)=0，則系統(tǒng)（13）的平衡點被認為是全局有限時間穩(wěn)定的，其中T：Rn→R+?{0}被稱為穩(wěn)定時間函數(shù)。
定義2.固定時間穩(wěn)定性［8］：如果系統(tǒng)（13）的原點是全局有限時間穩(wěn)定的且穩(wěn)定時間函數(shù)有界，即?Tmax>0：?x0∈Rn，T(x0)≤Tmax，那么系統(tǒng)（13）的平衡點是固定時間穩(wěn)定的。
定義3.預(yù)定義時間穩(wěn)定性［17］：對于系統(tǒng)（13）的系統(tǒng)參數(shù)ρ和常數(shù)Tc=Tc(ρ)>0，如果系統(tǒng)（13）的平衡點是固定時間穩(wěn)定的，且穩(wěn)定時間函數(shù)T：Rn→R 滿足以下條件：
則系統(tǒng)（13）的平衡點被認為是預(yù)定義時間穩(wěn)定的，且Tc叫做預(yù)定義時間。此外，如果穩(wěn)定時間函數(shù)滿足，那 么Tc被稱作 強預(yù)定義時間，否則，Tc被稱作弱預(yù)定義時間。
理論1.［13］如果存在滿足以下條件的連續(xù)正定徑向無界函數(shù)V：Rn→R：
其中：x∈Rn{0}；α，β，p，q，k為滿足kp<1，kq>1 的正常數(shù)。那么，系統(tǒng)（13）的平衡點是預(yù)定義時間穩(wěn)定的，預(yù)定義時間為Tc。如果設(shè)參數(shù)向量，則預(yù)定義時間函數(shù)滿足Tf=γ(ρ)，其中γ(ρ)可以通過下式計算得出：
4 預(yù)定義時間滑?？刂破髟O(shè)計與穩(wěn)定性分析
4.1 預(yù)定義時間滑?？刂破髟O(shè)計
首先，設(shè)計如下滑模變量：
其中：ωe和ev分別是航天器的角速度跟蹤誤差和姿態(tài)跟蹤誤差；α，β，p，q分別是定義的正常數(shù)且滿足01；γ，mp，mq分別是滿足γ=關(guān)系的正常數(shù)；Tc1是定義的滑動階段的預(yù)定義時間常數(shù)
接著，定義如下的預(yù)定義時間滑模面：
根據(jù)上述的滑模變量（17）和滑模面（18），所提出的PTSMC 可以表示如下：
其中：Tc2表示系統(tǒng)到達階段的預(yù)定義時間常數(shù)；b1，b1，b2是定義的正常數(shù)并滿足不等式（12），對于向量x∈Rn，|x|表示分別對向量的每個元素取絕對值。
圖2 給出了（17）～（19）中所提出的PTSMC的控制信號流程圖，其中u1是使系統(tǒng)在預(yù)定義時間內(nèi)收斂的滑模控制器，u2是用于抵抗系統(tǒng)不確定性和外界擾動的魯棒控制器。
圖2 PTSMC 方案的控制信號流程圖Fig.2 Block diagram showing the flow of the control sig?nals for the PTSMC scheme.
4.2 穩(wěn)定性分析
對于所提出的PTSMC 的穩(wěn)定性分析可以分為到達階段和滑動階段進行分析。同時，為了簡化證明過程，我們將式（10）重寫為以下形式：
4.2.1 系統(tǒng)到達階段的穩(wěn)定性分析
所提出的滑模面（18）關(guān)于時間的導數(shù)為：
帶入式（20），可以得到：
將式（22）帶入所提出的控制輸入（19），有：
對式（23）進一步化簡可以得到：
考慮一個Lyapunov 候選函數(shù)為V1(s)=|s|，則它的一階導數(shù)為：
根據(jù)理論1，我們可以得到，系統(tǒng)在到達階段是預(yù)定義時間穩(wěn)定的，且預(yù)定義時間為Tc2。
4.2.2 系統(tǒng)滑動階段的穩(wěn)定性分析
一旦系統(tǒng)的跟蹤軌跡被約束到滑模面上，即當t>Tc2時s=0，系統(tǒng)進入滑動階段，根據(jù)式（17）和（18），可以得到：
設(shè)滑動階段的Lyapunov 候選函數(shù)為V2(ev)=|ev|，于是可以得到：
同樣地，根據(jù)理論1，系統(tǒng)在預(yù)定義時間Tc2內(nèi)沿滑模面收斂到平衡點。
根據(jù)上述證明，我們可以得到，所提出的控制器可以在系統(tǒng)不確定和存在外界擾動的情況下實現(xiàn)剛性航天器的預(yù)定義時間收斂，其收斂時間為Tc=Tc1+Tc2。
備注1.由于存在系統(tǒng)的耦合不確定性ρ，即使系統(tǒng)的初始誤差ev→∞，系統(tǒng)誤差也會在預(yù)定義時間Tc之前收斂到原點，即Tc為弱預(yù)定義時間。同時，我們可以考慮一種特殊情況，當k0=成立時，式（25）和（26）中的等號成立，此時Tc為系統(tǒng)的最小收斂時間上界，根據(jù)定義3，Tc為強預(yù)定義時間。相較于現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方法，如文獻［5-9］中所提出的控制方案，本文中的Lyapunov 函數(shù)的導數(shù)僅在式（25）考慮耦合不確定時進行了縮放，而其他控制方案則在推導過程中進行了多次縮放，因此本文中所提出收斂時間上界是更不保守的。
備注2.考慮到符號函數(shù)sign(·)會導致系統(tǒng)控制輸入的抖振，為了改善符號函數(shù)導致的系統(tǒng)抖振，將所提出的控制器（19）中的sign(s)修改為同時，將式（19）中的函數(shù)a修改為如下形式：
其中，ε∈R 是一個很小的正常數(shù)。
5 實驗驗證與分析
在本章節(jié)中，為了證明所提出控制方案在系統(tǒng)收斂時間的保守性和跟蹤誤差精度等方面的優(yōu)越性，分別與現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方案，NTSMC 方案和傳統(tǒng)PD 控制方案進行仿真對比。所有的數(shù)值仿真實驗均基于Simulink/MATLAB 2020a 進行，基本采樣時間設(shè)為10-4s。
與文獻［7］中給出的航天器系統(tǒng)的參數(shù)相同，假設(shè)名義慣性矩陣為J0=［201.20.9；1.217 1.4；0.91.415］kg·m2，慣性矩陣的不確定度設(shè)為ΔJ=diag（2，2，3）kg·m2。期望的角速度設(shè)為ωd=0.05［sin（πt/100）sin（2πt/100）sin（3πt/100）］rad/s，外界擾動設(shè)為d=［0.1sin（t）0.2 sin（1.2t）0.3sin（1.5t）］N·m。系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)為q0=［0.3-0.2-0.3 0.883 2］Trad 和ω0=［0.06-0.04 0.05］Trad/s。對于所提出的PTSMC 方案，其控制參數(shù)分別設(shè)為p=1，q=3，k=0.5，α=4，β=0.25，Tc1=Tc2=3，ε=10?4，b0=1.8，b1=17.2，b2=3。
5.1 與現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方案的對比仿真實驗
考慮文獻［14］中所提出的二階預(yù)定義時間滑?？刂破鳎⊿econd Order Predefined-Time Slid?ing Mode Control，SOPTSMC）：
為了公平比較，修改控制器（30）中的k為本文中所提出的k0，sign(σ)修改為本文中在備注2中所設(shè)定的其他參數(shù)參考文獻［14］中給出的相應(yīng)參數(shù)值，即q1=1.2，p1=1，q2=0.5，p2=1，α2=10?3，β2=1 將其預(yù)定義參數(shù)設(shè)為Tc1=Tc2=3。
對比仿真結(jié)果如圖3～5 所示。圖3 和圖4 分別表示與SOPTSMC 控制方案相比的姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差，從圖中可以看出，給定相同的預(yù)定義收斂時間Tc=Tc1+Tc2=6 s，所提出控制方案中的跟蹤誤差在4 s 后收斂到零，而SOPTSMC 方案的實際收斂時間小于3 s。一般而言，我們總是希望航天器系統(tǒng)跟蹤誤差的實際收斂時間更接近于所設(shè)定的預(yù)定義收斂時間，這將有利于系統(tǒng)收斂時間的合理設(shè)置，因為更快的收斂時間往往意味著更多的能量消耗。圖5 顯示了控制力矩的對比，從圖中可以看出，所提出控制方案的初始力矩約為50 N，遠小于SOPTSMC 方案中的初始輸出力矩。此外，所提出的控制方案的控制力矩更加平滑，抖振更小，這對于剛性航天器的姿態(tài)跟蹤控制是更有利的。
圖3 PTSMC 與SOPTSMC 的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.3 Attitude tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖4 PTSMC 與SOPTSMC 的角速度跟蹤誤差Fig.4 Angular velocity tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖5 PTSMC 與SOPTSMC 的控制輸入Fig.5 Control inputs of PTSMC and SOPTSMC
5.2 與NTSMC 方案和傳統(tǒng)PD 控制方案的對比仿真實驗
參考文獻［7］中的所提出的NTSMC 方案
其中：控制參數(shù)滿足0參考文獻［18］中給出的PD 控制方案：
其中，kp和kd為給定的控制參數(shù)，分別定義kp=6I3，kd=8I3。
圖6 和圖7 分別顯示了所提出的控制方案與PD 控制和NTSMC 方案的姿態(tài)跟蹤誤差和角速度誤差，從圖中可以看出，PD 控制中的姿態(tài)跟蹤誤差漸進地收斂到零點。同時，由于PD 控制對系統(tǒng)的耦合不確定性不具有魯棒性，因此它有較差的誤差跟蹤精度。相較于NTSMC 方案，所提出的控制方案中系統(tǒng)的跟蹤誤差精度要遠高于NTSMC 方案，其姿態(tài)跟蹤誤差精度高于1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度高于2×10-6rad/s。最重要的是，PD 控制的跟蹤誤差是漸進收斂的，它的收斂時間趨近于無窮大，NTSMC 是有限時間收斂的，但它的收斂時間取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。而本文中所提出的PTSMC 方案的收斂時間可以通過控制器中的預(yù)定義參數(shù)直接進行調(diào)節(jié)，對于航天器的姿態(tài)控制而言，這有利于它在規(guī)定的時間內(nèi)完成姿態(tài)調(diào)整。
圖6 PTSMC，PD 和NTSMC 的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.6 Attitude tracking errors of PTSMC，PD and NTSMC
圖7 PTSMC，PD 和NTSMC 的角速度誤差Fig.7 Angular velocity errors of PTSMC，PD and NTSMC
總之，仿真結(jié)果表明，本文所提出的PTSMC方案相較于目前存在的預(yù)定義時間控制方案，其收斂時間的上界更加不保守。相較于現(xiàn)有的NTSMC 和PD 控制方案，有更高的跟蹤精度和魯棒性，并具有預(yù)定義時間收斂的特性。同時，在所提出的控制器中只需要采集航天器的實際姿態(tài)與角速度，這對于航天器的姿態(tài)控制是可實現(xiàn)的，可以被應(yīng)用在航天器的實際姿態(tài)控制中。
5.3 基于三自由度氣浮平臺的實驗驗證
由于在地面難以開展空間狀態(tài)的飛行器姿態(tài)跟蹤實驗，為了進一步驗證所提出的控制方案在實際應(yīng)用中的有效性，本章節(jié)利用本課題組研制的三自由度自由飛行機器人氣浮式平臺［19］模擬飛行器姿態(tài)控制，進行了多次姿態(tài)跟蹤控制實驗，實驗裝置如圖8 所示。該裝置的運動是一個剛體的平面運動，包括平面x，y軸方向的移動，和一個繞自身的轉(zhuǎn)動量?。
圖8 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺Fig.8 3-DOF free-flying robot floating platform
為了測試文中所提出的控制方案，分別進行了四次關(guān)于直線軌跡的跟蹤實驗，同時，在直線軌跡的跟蹤過程中伴隨平臺角度的跟蹤。四次實驗的軌跡跟蹤結(jié)果如圖9 所示，實驗均在氣浮平臺所在的大理石平臺上進行。可以看出，四次實驗均獲得了較高的位置跟蹤精度。對于軌跡1，在跟蹤軌跡末端位置誤差變大，這是由于軌跡1 中氣浮平臺運行時間較長，平臺后期供氣不足導致的。對于軌跡1 和軌跡2，氣浮平臺的初始位置與命令軌跡均有較大誤差，但氣浮平臺在文中所提出的控制方案的作用下，均能迅速地跟蹤到指令軌跡。
圖9 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺的姿態(tài)跟蹤實驗Fig.9 Attitude tracking experimental results of the float?ing platform of a 3-DOF free-flying robot
進一步地，在四次跟蹤實驗中，氣浮平臺的關(guān)于x，y軸和轉(zhuǎn)動量?隨時間的指令變化量與實際變化量如圖10 所示。在每次實驗中，控制器的預(yù)定義時間被設(shè)為20 s，從圖中可以看出，各自由度的姿態(tài)跟蹤誤差大約均在10 s 內(nèi)收斂，這說明了所提出的預(yù)定義時間滑?？刂破鞯挠行?。同時，從實驗結(jié)果可以看出，氣浮平臺具有優(yōu)異的姿態(tài)跟蹤性能，其中，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，x和y軸方向的跟蹤誤差小于0.2 m。
圖10 氣浮平臺的x，y 和? 隨時間的變化Fig.10 Changes of x，y and ? of the floating platform with time
6 結(jié)論
本文在保證性能的前提下，解決了航天器的預(yù)定義時間姿態(tài)跟蹤問題。通過Lyapunov 控制理論，我們嚴格證明了所提出的控制方案對于航天器的姿態(tài)跟蹤的調(diào)整時間是可以通過控制參數(shù)被指定的。同時，相較于現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制策略，文中所提出的控制方案的收斂時間是更不保守的，這有利于航天器姿態(tài)調(diào)整時間的合理設(shè)置。最后，通過仿真實驗證明剛性航天器的姿態(tài)跟蹤誤差精度可達1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度可達2×10-6rad/s，同時也說明了本方案相較于現(xiàn)有控制方案的優(yōu)越性，包括更不保守的收斂時間上界，良好的抗干擾性和較高的跟蹤誤差精度。通過3 自由度氣浮平臺的姿態(tài)跟蹤實驗說明了控制方案的有效性，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，位置跟蹤誤差小于0.2 m。
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近年來，航天器的姿態(tài)跟蹤問題由于在空間應(yīng)用中的重要作用而得到了廣泛的研究［1-2］。航天器的姿態(tài)調(diào)整是一個復雜的控制問題，因為其存在相互作用的非線性運動學和動力學模型，以及空間環(huán)境中不可預(yù)測的外界擾動［3-4］。
滑?？刂疲⊿liding Mode Control，SMC）是處理具有不確定性和外界擾動的非線性系統(tǒng)的最有效的方法之一［5］。由于其對系統(tǒng)不確定性和外界干擾的強魯棒性，SMC 已被廣泛應(yīng)用到航天器的姿態(tài)控制中。但傳統(tǒng)的SMC 算法只能獲得漸近穩(wěn)定的結(jié)果，這意味著航天器的姿態(tài)跟蹤誤差需要很長的時間才能收斂到平衡點，而許多任務(wù)要求航天器實現(xiàn)快速的姿態(tài)調(diào)整［6］。為了滿足這一要求，有限時間控制的概念被提出，它可以提高系統(tǒng)誤差的收斂速度，使其在有限的時間內(nèi)收斂。終端滑?？刂凭褪且环N典型的有限時間控制方法，其中，一種新型的非奇異終端滑模控制（Non-singular Terminal Sliding Mode Con?trol，NTSMC）已經(jīng)被應(yīng)用到航天器的姿態(tài)調(diào)整中［7］。但有限時間控制方案的收斂時間依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，因此難以提前獲得航天器準確的姿態(tài)穩(wěn)定時間界限。與有限時間控制方案不同的是，固定時間控制可以保證系統(tǒng)的收斂時間獨立于系統(tǒng)的初始值，即系統(tǒng)收斂時間的上界是一個不依賴于系統(tǒng)初始狀態(tài)的常數(shù)［8］。目前，一些固定時間的SMC 也已經(jīng)被成功地應(yīng)用于航天器的姿態(tài)跟蹤控制中［1，9］。
雖然與有限時間控制相比，固定時間在系統(tǒng)穩(wěn)定時間的建立上有顯著的優(yōu)勢，但固定時間控制器的控制參數(shù)與穩(wěn)定時間之間的關(guān)系往往是復雜的。為了進一步解決這個問題，一種更先進的控制概念，即預(yù)定義時間控制被提出［10］。預(yù)定義時間控制為被控系統(tǒng)提供了一種先進的穩(wěn)定性特征，即通過調(diào)整預(yù)定義時間參數(shù)可以很容易地確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性上界，從而為系統(tǒng)的行為提供高度的確定性。在文獻［10-12］中，預(yù)定義時間控制被用來和SMC 相結(jié)合以提高一階控制系統(tǒng)的魯棒性，但這些方法僅能保證系統(tǒng)在SMC中到達階段的預(yù)定義時間穩(wěn)定性。在文獻［13-15］中，預(yù)定義時間滑模控制的相關(guān)理論被進一步提出，并被拓展到二階控制系統(tǒng)。此外，在文獻［3］中，預(yù)定義時間控制被應(yīng)用于航天器的姿態(tài)跟蹤控制中。但上述預(yù)定義時間控制方案的穩(wěn)定時間上界往往過于保守，這意味著控制器會遠提前于所設(shè)定的穩(wěn)定時間完成航天器的姿態(tài)調(diào)整。對于航天器姿態(tài)控制而言，過快的姿態(tài)調(diào)節(jié)會導致系統(tǒng)能量的浪費，甚至使控制力矩超過系統(tǒng)所允許的范圍。
在本文中，我們提出了一種應(yīng)用于剛性航天器姿態(tài)跟蹤控制的新型預(yù)定義時間滑模控制（Predefined-Time Sliding Mode Control，PTSMC）方案用于解決現(xiàn)有預(yù)定義時間控制方案的穩(wěn)定時間上界過于保守的問題。首先，我們設(shè)計了一種新型滑模變量和預(yù)定義時間滑模面，然后提出了一種新型PTSMC 方案，并采用邊界層技術(shù)降低了系統(tǒng)抖振。接著，通過Lyapunov函數(shù)證明了所提出的控制器的預(yù)定義時間穩(wěn)定性和系統(tǒng)收斂上界的非保守性。最后通過仿真實驗，分別與現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方案，NTSMC 方案和比例微分（Proportional-Deriva?tive，PD）控制進行了對比，并利用3 自由度氣浮平臺進行了實驗驗證，證明了所提出控制方案的有效性和優(yōu)越性。
2 剛性航天器模型和性質(zhì)
如圖1 所示，在建立航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)時常建立3 個參考坐標系，包括慣性坐標系FI，參考坐標系FO和航天器本體坐標系FB。在本文中，F(xiàn)I被選擇為以地球為中心的慣性框架，F(xiàn)B的原點位于被控航天器的質(zhì)心，并圍繞FI以ω0∈R+的軌道速率運行。FO與FB有相同的原點，其滾轉(zhuǎn)軸XO指向飛行器的飛行方向，俯仰軸YO垂直于飛行器的運行軌道，偏航軸ZO指向地心。
圖1 航天器的參考坐標系Fig.1 Coordinate reference frame system of spacecraft
剛性航天器的姿態(tài)可以通過航天器本體坐標系FB相對于慣性坐標系FI的姿態(tài)四元數(shù)進行表示，即（qv，q4）∈R3×R。剛性航天器的運動學方程可以表示為：
其中：ω∈R3表示航天器相對于本體坐標系FB的角速度，I3表示單位矩陣，(·)×表示為由向量元素構(gòu)建的偏斜對稱矩陣，即：
航天器的角速度誤差可以通過下式給出：
其中，C表示從FO到FB的坐標變換矩陣，并且矩陣C可以通過下式進行計算：
此外，航天器的姿態(tài)動力學方程可以表示為：
其中：J∈R3×3是航天器關(guān)于本體坐標系FB的慣性矩陣，u∈R3和d∈R3分別表示系統(tǒng)的控制力矩和未知但有界的擾動力矩。
結(jié)合式（3），（5）和（7），航天器姿態(tài)的誤差運動學和動力學方程可以被寫為：
考慮到航天器模型的不確定性，可以假設(shè)：
其中，J0和ΔJ分別表示已知的系統(tǒng)的名義慣性矩陣和慣性矩陣J的不確定部分。式（8）中給出的動力學方程可以被寫為：
其中，系統(tǒng)耦合不確定部分ρ∈R3被定義為如下形式：
參考文獻［1］，系統(tǒng)耦合不確定部分的上界可以通過下式確定：
本文要解決的問題如下：通過設(shè)計控制輸入u，使包含系統(tǒng)不確定性和外界干擾的剛性航天器的姿態(tài)誤差ev和角速度跟蹤誤差ωe在給定的時間內(nèi)收斂到零。
3 預(yù)定義時間穩(wěn)定性的基本理論
首先介紹關(guān)于有限時間、固定時間和預(yù)定時間穩(wěn)定性的一些的定義和引理以用于控制器預(yù)定義時間穩(wěn)定性的證明。
考慮一個非線性系統(tǒng)：
其中：x∈Rn表示系統(tǒng)狀態(tài)，向量ρ∈Rb代表系統(tǒng)（13）的系統(tǒng)參數(shù)。函數(shù)f：Rn→Rn可以被認為是非線性和連續(xù)的，并且它的原點被假設(shè)為系統(tǒng)（13）的平衡點，即f(0；ρ)=0。
定義1.全局有限時間穩(wěn)定性［16］：如果系統(tǒng)（13）的原點是全局漸近穩(wěn)定的，且系統(tǒng)（13）的任何解x(t，x0)在某個有限時刻達到平衡點，即?t≥T(x0)=0，則系統(tǒng)（13）的平衡點被認為是全局有限時間穩(wěn)定的，其中T：Rn→R+?{0}被稱為穩(wěn)定時間函數(shù)。
定義2.固定時間穩(wěn)定性［8］：如果系統(tǒng)（13）的原點是全局有限時間穩(wěn)定的且穩(wěn)定時間函數(shù)有界，即?Tmax>0：?x0∈Rn，T(x0)≤Tmax，那么系統(tǒng)（13）的平衡點是固定時間穩(wěn)定的。
定義3.預(yù)定義時間穩(wěn)定性［17］：對于系統(tǒng)（13）的系統(tǒng)參數(shù)ρ和常數(shù)Tc=Tc(ρ)>0，如果系統(tǒng)（13）的平衡點是固定時間穩(wěn)定的，且穩(wěn)定時間函數(shù)T：Rn→R 滿足以下條件：
則系統(tǒng)（13）的平衡點被認為是預(yù)定義時間穩(wěn)定的，且Tc叫做預(yù)定義時間。此外，如果穩(wěn)定時間函數(shù)滿足，那 么Tc被稱作 強預(yù)定義時間，否則，Tc被稱作弱預(yù)定義時間。
理論1.［13］如果存在滿足以下條件的連續(xù)正定徑向無界函數(shù)V：Rn→R：
其中：x∈Rn{0}；α，β，p，q，k為滿足kp<1，kq>1 的正常數(shù)。那么，系統(tǒng)（13）的平衡點是預(yù)定義時間穩(wěn)定的，預(yù)定義時間為Tc。如果設(shè)參數(shù)向量，則預(yù)定義時間函數(shù)滿足Tf=γ(ρ)，其中γ(ρ)可以通過下式計算得出：
4 預(yù)定義時間滑?？刂破髟O(shè)計與穩(wěn)定性分析
4.1 預(yù)定義時間滑?？刂破髟O(shè)計
首先，設(shè)計如下滑模變量：
其中：ωe和ev分別是航天器的角速度跟蹤誤差和姿態(tài)跟蹤誤差；α，β，p，q分別是定義的正常數(shù)且滿足0
接著，定義如下的預(yù)定義時間滑模面：
根據(jù)上述的滑模變量（17）和滑模面（18），所提出的PTSMC 可以表示如下：
其中：Tc2表示系統(tǒng)到達階段的預(yù)定義時間常數(shù)；b1，b1，b2是定義的正常數(shù)并滿足不等式（12），對于向量x∈Rn，|x|表示分別對向量的每個元素取絕對值。
圖2 給出了（17）～（19）中所提出的PTSMC的控制信號流程圖，其中u1是使系統(tǒng)在預(yù)定義時間內(nèi)收斂的滑模控制器，u2是用于抵抗系統(tǒng)不確定性和外界擾動的魯棒控制器。
圖2 PTSMC 方案的控制信號流程圖Fig.2 Block diagram showing the flow of the control sig?nals for the PTSMC scheme.
4.2 穩(wěn)定性分析
對于所提出的PTSMC 的穩(wěn)定性分析可以分為到達階段和滑動階段進行分析。同時，為了簡化證明過程，我們將式（10）重寫為以下形式：
4.2.1 系統(tǒng)到達階段的穩(wěn)定性分析
所提出的滑模面（18）關(guān)于時間的導數(shù)為：
帶入式（20），可以得到：
將式（22）帶入所提出的控制輸入（19），有：
對式（23）進一步化簡可以得到：
考慮一個Lyapunov 候選函數(shù)為V1(s)=|s|，則它的一階導數(shù)為：
根據(jù)理論1，我們可以得到，系統(tǒng)在到達階段是預(yù)定義時間穩(wěn)定的，且預(yù)定義時間為Tc2。
4.2.2 系統(tǒng)滑動階段的穩(wěn)定性分析
一旦系統(tǒng)的跟蹤軌跡被約束到滑模面上，即當t>Tc2時s=0，系統(tǒng)進入滑動階段，根據(jù)式（17）和（18），可以得到：
設(shè)滑動階段的Lyapunov 候選函數(shù)為V2(ev)=|ev|，于是可以得到：
同樣地，根據(jù)理論1，系統(tǒng)在預(yù)定義時間Tc2內(nèi)沿滑模面收斂到平衡點。
根據(jù)上述證明，我們可以得到，所提出的控制器可以在系統(tǒng)不確定和存在外界擾動的情況下實現(xiàn)剛性航天器的預(yù)定義時間收斂，其收斂時間為Tc=Tc1+Tc2。
備注1.由于存在系統(tǒng)的耦合不確定性ρ，即使系統(tǒng)的初始誤差ev→∞，系統(tǒng)誤差也會在預(yù)定義時間Tc之前收斂到原點，即Tc為弱預(yù)定義時間。同時，我們可以考慮一種特殊情況，當k0=成立時，式（25）和（26）中的等號成立，此時Tc為系統(tǒng)的最小收斂時間上界，根據(jù)定義3，Tc為強預(yù)定義時間。相較于現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方法，如文獻［5-9］中所提出的控制方案，本文中的Lyapunov 函數(shù)的導數(shù)僅在式（25）考慮耦合不確定時進行了縮放，而其他控制方案則在推導過程中進行了多次縮放，因此本文中所提出收斂時間上界是更不保守的。
備注2.考慮到符號函數(shù)sign(·)會導致系統(tǒng)控制輸入的抖振，為了改善符號函數(shù)導致的系統(tǒng)抖振，將所提出的控制器（19）中的sign(s)修改為同時，將式（19）中的函數(shù)a修改為如下形式：
其中，ε∈R 是一個很小的正常數(shù)。
5 實驗驗證與分析
在本章節(jié)中，為了證明所提出控制方案在系統(tǒng)收斂時間的保守性和跟蹤誤差精度等方面的優(yōu)越性，分別與現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方案，NTSMC 方案和傳統(tǒng)PD 控制方案進行仿真對比。所有的數(shù)值仿真實驗均基于Simulink/MATLAB 2020a 進行，基本采樣時間設(shè)為10-4s。
與文獻［7］中給出的航天器系統(tǒng)的參數(shù)相同，假設(shè)名義慣性矩陣為J0=［201.20.9；1.217 1.4；0.91.415］kg·m2，慣性矩陣的不確定度設(shè)為ΔJ=diag（2，2，3）kg·m2。期望的角速度設(shè)為ωd=0.05［sin（πt/100）sin（2πt/100）sin（3πt/100）］rad/s，外界擾動設(shè)為d=［0.1sin（t）0.2 sin（1.2t）0.3sin（1.5t）］N·m。系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)為q0=［0.3-0.2-0.3 0.883 2］Trad 和ω0=［0.06-0.04 0.05］Trad/s。對于所提出的PTSMC 方案，其控制參數(shù)分別設(shè)為p=1，q=3，k=0.5，α=4，β=0.25，Tc1=Tc2=3，ε=10?4，b0=1.8，b1=17.2，b2=3。
5.1 與現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制方案的對比仿真實驗
考慮文獻［14］中所提出的二階預(yù)定義時間滑?？刂破鳎⊿econd Order Predefined-Time Slid?ing Mode Control，SOPTSMC）：
為了公平比較，修改控制器（30）中的k為本文中所提出的k0，sign(σ)修改為本文中在備注2中所設(shè)定的其他參數(shù)參考文獻［14］中給出的相應(yīng)參數(shù)值，即q1=1.2，p1=1，q2=0.5，p2=1，α2=10?3，β2=1 將其預(yù)定義參數(shù)設(shè)為Tc1=Tc2=3。
對比仿真結(jié)果如圖3～5 所示。圖3 和圖4 分別表示與SOPTSMC 控制方案相比的姿態(tài)跟蹤誤差和角速度跟蹤誤差，從圖中可以看出，給定相同的預(yù)定義收斂時間Tc=Tc1+Tc2=6 s，所提出控制方案中的跟蹤誤差在4 s 后收斂到零，而SOPTSMC 方案的實際收斂時間小于3 s。一般而言，我們總是希望航天器系統(tǒng)跟蹤誤差的實際收斂時間更接近于所設(shè)定的預(yù)定義收斂時間，這將有利于系統(tǒng)收斂時間的合理設(shè)置，因為更快的收斂時間往往意味著更多的能量消耗。圖5 顯示了控制力矩的對比，從圖中可以看出，所提出控制方案的初始力矩約為50 N，遠小于SOPTSMC 方案中的初始輸出力矩。此外，所提出的控制方案的控制力矩更加平滑，抖振更小，這對于剛性航天器的姿態(tài)跟蹤控制是更有利的。
圖3 PTSMC 與SOPTSMC 的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.3 Attitude tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖4 PTSMC 與SOPTSMC 的角速度跟蹤誤差Fig.4 Angular velocity tracking errors of PTSMC and SOPTSMC
圖5 PTSMC 與SOPTSMC 的控制輸入Fig.5 Control inputs of PTSMC and SOPTSMC
5.2 與NTSMC 方案和傳統(tǒng)PD 控制方案的對比仿真實驗
參考文獻［7］中的所提出的NTSMC 方案
其中：控制參數(shù)滿足0 參考文獻［18］中給出的PD 控制方案： 其中，kp和kd為給定的控制參數(shù)，分別定義kp=6I3，kd=8I3。 圖6 和圖7 分別顯示了所提出的控制方案與PD 控制和NTSMC 方案的姿態(tài)跟蹤誤差和角速度誤差，從圖中可以看出，PD 控制中的姿態(tài)跟蹤誤差漸進地收斂到零點。同時，由于PD 控制對系統(tǒng)的耦合不確定性不具有魯棒性，因此它有較差的誤差跟蹤精度。相較于NTSMC 方案，所提出的控制方案中系統(tǒng)的跟蹤誤差精度要遠高于NTSMC 方案，其姿態(tài)跟蹤誤差精度高于1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度高于2×10-6rad/s。最重要的是，PD 控制的跟蹤誤差是漸進收斂的，它的收斂時間趨近于無窮大，NTSMC 是有限時間收斂的，但它的收斂時間取決于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。而本文中所提出的PTSMC 方案的收斂時間可以通過控制器中的預(yù)定義參數(shù)直接進行調(diào)節(jié)，對于航天器的姿態(tài)控制而言，這有利于它在規(guī)定的時間內(nèi)完成姿態(tài)調(diào)整。 圖6 PTSMC，PD 和NTSMC 的姿態(tài)跟蹤誤差Fig.6 Attitude tracking errors of PTSMC，PD and NTSMC 圖7 PTSMC，PD 和NTSMC 的角速度誤差Fig.7 Angular velocity errors of PTSMC，PD and NTSMC 總之，仿真結(jié)果表明，本文所提出的PTSMC方案相較于目前存在的預(yù)定義時間控制方案，其收斂時間的上界更加不保守。相較于現(xiàn)有的NTSMC 和PD 控制方案，有更高的跟蹤精度和魯棒性，并具有預(yù)定義時間收斂的特性。同時，在所提出的控制器中只需要采集航天器的實際姿態(tài)與角速度，這對于航天器的姿態(tài)控制是可實現(xiàn)的，可以被應(yīng)用在航天器的實際姿態(tài)控制中。 由于在地面難以開展空間狀態(tài)的飛行器姿態(tài)跟蹤實驗，為了進一步驗證所提出的控制方案在實際應(yīng)用中的有效性，本章節(jié)利用本課題組研制的三自由度自由飛行機器人氣浮式平臺［19］模擬飛行器姿態(tài)控制，進行了多次姿態(tài)跟蹤控制實驗，實驗裝置如圖8 所示。該裝置的運動是一個剛體的平面運動，包括平面x，y軸方向的移動，和一個繞自身的轉(zhuǎn)動量?。 圖8 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺Fig.8 3-DOF free-flying robot floating platform 為了測試文中所提出的控制方案，分別進行了四次關(guān)于直線軌跡的跟蹤實驗，同時，在直線軌跡的跟蹤過程中伴隨平臺角度的跟蹤。四次實驗的軌跡跟蹤結(jié)果如圖9 所示，實驗均在氣浮平臺所在的大理石平臺上進行。可以看出，四次實驗均獲得了較高的位置跟蹤精度。對于軌跡1，在跟蹤軌跡末端位置誤差變大，這是由于軌跡1 中氣浮平臺運行時間較長，平臺后期供氣不足導致的。對于軌跡1 和軌跡2，氣浮平臺的初始位置與命令軌跡均有較大誤差，但氣浮平臺在文中所提出的控制方案的作用下，均能迅速地跟蹤到指令軌跡。 圖9 三自由度自由飛行機器人氣浮平臺的姿態(tài)跟蹤實驗Fig.9 Attitude tracking experimental results of the float?ing platform of a 3-DOF free-flying robot 進一步地，在四次跟蹤實驗中，氣浮平臺的關(guān)于x，y軸和轉(zhuǎn)動量?隨時間的指令變化量與實際變化量如圖10 所示。在每次實驗中，控制器的預(yù)定義時間被設(shè)為20 s，從圖中可以看出，各自由度的姿態(tài)跟蹤誤差大約均在10 s 內(nèi)收斂，這說明了所提出的預(yù)定義時間滑?？刂破鞯挠行?。同時，從實驗結(jié)果可以看出，氣浮平臺具有優(yōu)異的姿態(tài)跟蹤性能，其中，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，x和y軸方向的跟蹤誤差小于0.2 m。 圖10 氣浮平臺的x，y 和? 隨時間的變化Fig.10 Changes of x，y and ? of the floating platform with time 本文在保證性能的前提下，解決了航天器的預(yù)定義時間姿態(tài)跟蹤問題。通過Lyapunov 控制理論，我們嚴格證明了所提出的控制方案對于航天器的姿態(tài)跟蹤的調(diào)整時間是可以通過控制參數(shù)被指定的。同時，相較于現(xiàn)有的預(yù)定義時間控制策略，文中所提出的控制方案的收斂時間是更不保守的，這有利于航天器姿態(tài)調(diào)整時間的合理設(shè)置。最后，通過仿真實驗證明剛性航天器的姿態(tài)跟蹤誤差精度可達1.5×10-6rad，角速度跟蹤誤差精度可達2×10-6rad/s，同時也說明了本方案相較于現(xiàn)有控制方案的優(yōu)越性，包括更不保守的收斂時間上界，良好的抗干擾性和較高的跟蹤誤差精度。通過3 自由度氣浮平臺的姿態(tài)跟蹤實驗說明了控制方案的有效性，角度跟蹤誤差小于0.1 rad，位置跟蹤誤差小于0.2 m。5.3 基于三自由度氣浮平臺的實驗驗證
6 結(jié)論
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