吳 濤，李燕飛，郭海艷

(1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601;2.安徽大學(xué) 計算機(jī)智能與信號處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 合肥 230039)

隨著人類對客觀世界認(rèn)識的不斷加深，傳統(tǒng)的清晰集合已經(jīng)難以處理復(fù)雜情境下決策活動中的不確定性問題.1965年，Zadeh提出的模糊集[1]在一定程度上解決了這個問題，隨后他又在模糊集的基礎(chǔ)上對其隸屬度再次進(jìn)行模糊化，提出了二型模糊集[2]概念，之后模糊集蓬勃發(fā)展，一大批學(xué)者先后進(jìn)行探索，直覺模糊集[3]、區(qū)間直覺模糊集[4]、猶豫模糊集[5-6]等相繼被提出.文獻(xiàn)[7]提出并定義了區(qū)間二型模糊集質(zhì)心的概念.文獻(xiàn)[8]定義了基數(shù)、模糊性、方差和偏態(tài)4個不確定度量并推導(dǎo)了它們的計算公式，這些定義的提出對于量化不確定信息非常重要.文獻(xiàn)[9]提出了3種區(qū)間二型模糊集排序值公式，通過排序值比較模糊數(shù)的優(yōu)勢關(guān)系.文獻(xiàn)[10]中首次提出了模糊熵的概念，此后直覺模糊熵[11]和猶豫模糊熵[12]逐漸得到推廣.文獻(xiàn)[13-14]提出區(qū)間二型模糊集的區(qū)間因子、模糊因子及猶豫因子刻畫區(qū)間二型模糊集的不確定性，并基于此提出了新的區(qū)間二型模糊熵.此外，文獻(xiàn)[15]對二型模糊熵的研究對構(gòu)建新的二型模糊熵提供了重要參考.

在決策過程中，影響決策者決策行為的因素不只有客觀的信息，不同的決策者面對同樣的信息所作出的決策往往也不盡相同，因此在決策過程中考慮決策者的風(fēng)險偏好會使決策過程更加合理.論文基于區(qū)間二型模糊信息多屬性環(huán)境，定義了一個新的區(qū)間二型模糊集的排序值公式，提出了新的區(qū)間二型猶豫熵公式，對傳統(tǒng)的熵權(quán)法進(jìn)行了改進(jìn)，結(jié)合風(fēng)險偏好的熵權(quán)法來確定屬性權(quán)重，最后計算各個待選方案綜合排序值進(jìn)行決策，并用一個實(shí)例驗(yàn)證了該方法的合理性與可行性.

1 知識準(zhǔn)備

定義1[17](二型模糊集) 假設(shè)A是論域X上一個二型模糊集，則A可表示為A={((x,u),μA(x,u)):?x∈X，u∈JX∈[0,1]}，其中0≤μA(x,u)≤1，u為主隸屬度，μA(x,u)為次隸屬度.此外A還可以表示為

(1)

定義2[17]假設(shè)A是論域X上一個二型模糊集，如果對任意的x∈X和u∈Jx，有Jx≡1，則A為區(qū)間二型模糊集，表達(dá)形式為

(2)

設(shè)A是論域X上一個二型模糊集，定義A=(AU，AL)為X上的區(qū)間二型模糊集，有

(3)

定義3[18]對于任意的區(qū)間二型梯形模糊集A，A的運(yùn)動軌跡由其主隸屬度函數(shù)完全確定，將此運(yùn)動軌跡定義為A的不確定軌跡FOU(A).令A(yù)U(x)和AL(x)分別表示為A在x上的上下隸屬度函數(shù)，即

(4)

(5)

(6)

(7)

對于X上的所有區(qū)間二型梯形模糊集來說，其補(bǔ)集用AC表示，一般表達(dá)形式為

(8)

2 區(qū)間二型模糊集新型排序值公式

文獻(xiàn)[9]中的3種排序值公式，其中幾何平均和調(diào)和平均公式只要當(dāng)二型模糊集中有元素為零時排序值就一定為零，顯然這是不合理的.文獻(xiàn)[16]提出的排序值公式過于依賴上隸屬度對應(yīng)分點(diǎn)的取值，下隸屬度只在第二部分平均長度中上下隸屬度對應(yīng)分點(diǎn)值相乘時用到，由于分點(diǎn)取值皆是從0到1的實(shí)數(shù)，因此對應(yīng)位置相乘之后平均會得到更小的值，作用遠(yuǎn)小于第一部分中的上隸屬度首末分點(diǎn)平均值，因此也存在缺陷.論文提出的排序值公式則有效地克服了這些缺點(diǎn).

定義5對于一個區(qū)間二型模糊集A，其排序值公式定義為

(9)

從公式中可以看出，該排序值有3個部分：第一部分考慮了上隸屬度的算數(shù)平均取值，第二部分考慮了下隸屬度的平均大小，第三部分則是考慮了模糊集的平均高度.

定理1A∈IT2FSs,R(A)→[0,2]，且R(A)隨A中變量增大而增大，隨A中變量減小而減小.

定義6假設(shè)A，B是2個區(qū)間二型模糊集，論文定義偏好關(guān)系{p,f,≌}表示A劣于、優(yōu)于或者等同于B,即APB表示偏好關(guān)系R(A)

(1)如果R(A)

(2)如果R(A)>R(B)，即表示A優(yōu)于B,用A?B表示.

(3)如果R(A)=R(B),即表示A等同于B,用A?B表示.

3 區(qū)間二型模糊熵

設(shè)區(qū)間二型模糊集A，按照區(qū)間二型模糊集的結(jié)構(gòu)特征，可以看出區(qū)間二型模糊集的不確定性主要是由其模糊性和猶豫性兩個方面構(gòu)成，其定量表示可由信息熵來刻畫，取上隸屬度以外部分的面積為上模糊因子，用ΔU表示；下隸屬度以內(nèi)部分的面積為下模糊因子，用ΔL表示；上下隸屬度之間的部分面積為猶豫因子，用σ表示.下面給出區(qū)間梯形二型模糊集的各因子求解(區(qū)間二型模糊集同理)，如圖1所示.

圖1 梯形區(qū)間二型模糊集

定義7上模糊因子ΔU為

(10)

定義8下模糊因子ΔL為

(11)

定義9猶豫因子σ為

(12)

熵的上下模糊因子越接近1/2,區(qū)間二型模糊集模糊性越大，熵的猶豫因子越大，區(qū)間二型模糊集模糊性應(yīng)該越大.

定義10設(shè)A∈IT2FSs，實(shí)函數(shù)E:IT2FSs→[0,1]，則A的區(qū)間二型猶豫熵定義為

(13)

設(shè)A∈IT2FSs，A的猶豫熵為E(A)，則E(A)滿足以下公理：

(4)E(A)=E(AC).

(14)

(15)

公理(3).公理(3)的證明等價于證明下面的函數(shù)

(16)

4 風(fēng)險偏好函數(shù)、結(jié)合風(fēng)險偏好的熵權(quán)法及決策步驟

在決策過程中，決策者會面臨諸多不確定因素，而這些不確定因素既可能帶來收益也可能帶來風(fēng)險，所以不同的決策者面對這些不確定因素時的態(tài)度也不一樣.根據(jù)決策者的風(fēng)險態(tài)度不同，將決策者的風(fēng)險偏好分為5個等級，具體風(fēng)險偏好函數(shù)設(shè)置如下.

定義11設(shè)θ(x)是一個風(fēng)險偏好函數(shù)，則θ(x)可定義為

用θ(x)的不同取值反應(yīng)決策者不同的風(fēng)險態(tài)度.

經(jīng)典的熵權(quán)法確定屬性權(quán)重采取的是屬性熵值越小賦予其權(quán)重越大的方法，而事實(shí)上基于熵的權(quán)重賦值應(yīng)與決策者的風(fēng)險態(tài)度有關(guān)，傳統(tǒng)的熵權(quán)法默認(rèn)決策者為風(fēng)險規(guī)避者，而若決策者為風(fēng)險偏好者，則傳統(tǒng)的熵權(quán)法的賦權(quán)結(jié)果并不合理，因此這里提出了結(jié)合風(fēng)險偏好的熵權(quán)法來為屬性賦權(quán).第j個屬性的區(qū)間二型猶豫熵為

(17)

定義12結(jié)合風(fēng)險偏好的熵權(quán)法的第j個屬性權(quán)重賦值公式

(18)

其中：θ代表風(fēng)險偏好，wj代表給第j個屬性所賦的權(quán)重.

定理2當(dāng)θ=1時，屬性熵較大者權(quán)重較大；θ=0時，熵較小者權(quán)重較大.

證明設(shè)ej>ek,j,k∈1,2,…，m，有

當(dāng)θ=1時,wj-wk>0;θ=0時，wj-wk<0.故定理成立.

基于新的排序值公式、新的區(qū)間二型猶豫熵并結(jié)合風(fēng)險偏好的熵權(quán)法的決策步驟如下：

步驟1 規(guī)范化決策矩陣.決策屬性分為成本(越小越好)型和效益型(越大越好)，將原始數(shù)據(jù)規(guī)范化處理，使得所有屬性均屬于同一類型.假設(shè)標(biāo)準(zhǔn)化后的決策矩陣為D=(rij)n×m，其中

(19)

步驟2 通過公式(9)計算規(guī)范化后決策矩陣的排序值.

步驟3 通過公式(13),(17)計算屬性區(qū)間二型模糊熵.

步驟4 根據(jù)風(fēng)險偏好的不同，通過公式(18)計算出各屬性權(quán)重.

步驟5 通過公式score=D×wT計算各方案綜合得分，各方案得分按由大至小排序，得分最大者為最優(yōu)方案.

5 實(shí)例分析

某投資公司面對5個待選投資方案xi,i∈{1,2,…,5},選擇最優(yōu)方案進(jìn)行投資；邀請專家分別從aj,j∈{1,2,…,4}4個方面進(jìn)行評價，且4個屬性均為效益型.評估結(jié)果分為7個等級，分別用7種語言尺度表述，分別為“非常低(VL)”“低(L)”“比較低(ML)”“中等(M)”“比較高(MH)”“高(H)”“非常高(VH)”，每個語言尺度對應(yīng)一個區(qū)間二型模糊集(表1)，評估結(jié)果見表2.

表1 對應(yīng)的區(qū)間二型模糊集

表2 專家評估結(jié)果

下面利用新的排序值公式、新的區(qū)間二型猶豫熵并結(jié)合風(fēng)險偏好的熵權(quán)法進(jìn)行決策：

步驟1 由于每個屬性均為效益型，故原始矩陣即為規(guī)范化矩陣Dij=rij.

步驟2 通過公式(9)計算規(guī)范化決策矩陣的排序值

步驟3 通過區(qū)間二型猶豫熵公式(13)，(17)計算各屬性熵值

e=[0.405 6,0.571 2,0.460 6,0.504 5].

步驟4 通過公式(18)計算出不同風(fēng)險偏好下各屬性對應(yīng)的權(quán)重.圖2，3顯示了在不同風(fēng)險偏好θ(x)情況下權(quán)重變化情況.

圖2 不同風(fēng)險偏好下屬性a1,a3的權(quán)重w1,w3 圖3 不同風(fēng)險偏好下屬性a2,a4的權(quán)重w2,w4

步驟5 計算各方案綜合得分score=D×wT，并按得分多少從大到小排序，如表3所示.

表3 不同風(fēng)險偏好下的排序

根據(jù)構(gòu)建的模型并結(jié)合熵公式求得對應(yīng)的屬性權(quán)重，利用排序值公式得到最終的綜合排序值并對結(jié)果從大到小排序.根據(jù)表3中的結(jié)果，可以看出隨著風(fēng)險偏好值的增加，各屬性權(quán)重發(fā)生了有趨勢的變化，且隨著風(fēng)險偏好的變化，方案1，4的排位發(fā)生了變化，這說明風(fēng)險偏好對排序結(jié)果也會產(chǎn)生影響，說明該模型的全面性與合理性.

6 結(jié)束語

論文針對區(qū)間二型模糊信息環(huán)境下決策問題提出了新的決策模型，充分考慮了區(qū)間二型模糊集的各個部分對排序值的重要性，構(gòu)建新的排序值公式比較區(qū)間二型模糊數(shù)的優(yōu)劣.決策者的主觀風(fēng)險偏好對于決策結(jié)果會起到一定影響，而傳統(tǒng)的熵權(quán)法并未考慮，因此論文構(gòu)造了考慮風(fēng)險偏好的熵權(quán)法公式為屬性權(quán)重賦值，最后將排序矩陣結(jié)合屬性權(quán)重得到各方案綜合排序值，給出了一種區(qū)間二型模糊信息環(huán)境下的多屬性決策方法.由實(shí)例分析可以看出，論文方法合理，在風(fēng)險投資、金融管理中的股票、黃金、基金理財這些實(shí)際決策問題的評估中具有參考價值.