2+2=22？

陳永明 邵芳芳

最近網(wǎng)傳國外一個數(shù)學(xué)教師因堅持2+2=4而丟了工作的故事。故事說，丹尼上交的數(shù)學(xué)試卷出現(xiàn)了“2+2=22”的結(jié)果，女教師威爾斯耐心地給他講解，指出正確答案是“2+2=4”，但丹尼堅持認(rèn)為“2+2=22”。后來孩子的父母竟然到校長那里投訴，說“把偏見硬塞進孩子的腦子里”。再后來，家長們開始在學(xué)校外集體游行示威，高喊著“讓孩子做主！停止踐踏孩子的自信心”的口號，要求老師給孩子道歉，學(xué)校對威爾斯作了辭退處理，校長支付給她經(jīng)濟補償：前期的薪水2000元，這一期的薪水2000元，一共是4000元，“既然2+2=22，那么2000+2000應(yīng)該等于22000元！”威爾斯老師反駁說，校長頓時啞口無言。

2000+2000應(yīng)該等于幾？究竟是22000，還是4000？這是非常有意思的故事，我們不去討論其中包含的教育、政治制度等問題，只討論其中的數(shù)學(xué)問題。

上面的問題涉及了計數(shù)方法，特別是位值的概念。在當(dāng)今的計數(shù)系統(tǒng)中，數(shù)字寫在不同的位置上表示不同的值是計數(shù)法的一個重要特征，人們對這一特征習(xí)以為常，不以為然，其實位值是一個很不容易理解的東西。

當(dāng)今的計數(shù)系統(tǒng)有三個特征。

第一個特征是記數(shù)符號，也就是數(shù)字，現(xiàn)今世界通用的記數(shù)符號是阿拉伯?dāng)?shù)字。歷史上曾出現(xiàn)過多種數(shù)的表示方法，如古埃及的象形文字、古巴比倫的楔形文字、古希臘的阿提卡數(shù)字、古羅馬的羅馬數(shù)字、古印度的婆羅門數(shù)字、瑪雅文化的貝形符號數(shù)字等，當(dāng)然還有中國的漢字?jǐn)?shù)字。這些文字或者數(shù)字，有的由于使用不便，早已被淘汰;而阿拉伯?dāng)?shù)字通用范圍廣，使用方便，一直沿用至今。特別需要指出的是，阿拉伯?dāng)?shù)字是古代印度人發(fā)明的。阿拉伯人在古代世界扮演了運輸大隊長的角色，他們把印度數(shù)字帶到了歐洲，歐洲人張冠李戴，以為這套數(shù)字是阿拉伯人發(fā)明的，把它叫作阿拉伯?dāng)?shù)字。

第二個特征是進位制，我們現(xiàn)在基本上都用十進制，據(jù)說，這是因為人有十個手指的緣故。在歷史上，曾經(jīng)出現(xiàn)過五進制、二十進制（法國人、印第安人、中南美土著人、西伯利亞土著人）等，或許他們在數(shù)數(shù)的時候，只用一只手，或者用十個腳趾一起幫忙。還有六十進制（巴比倫人），現(xiàn)今角度單位度、分、秒還是他們的“遺產(chǎn)”。也有十二進制（英國人、羅馬人），如1打=12只，1英尺=12英寸……我國使用過十六進制，在重量計算時，1斤=16兩。當(dāng)然，眾所周知，在計算機里用的是二進制。

十進制和人的十個手指有關(guān)，在數(shù)數(shù)的起步階段使用手指幫忙是很自然的，因此它有其優(yōu)點。但平心而論，它的缺點也不少，特別在“分”的時候。譬如，要把1件東西分給兩個人，十進制、十二進制、六十進制都可以，但是要分給3個人、4個人、6個人，十二進制、六十進制就有它的優(yōu)勢了。六十進制還可以方便地分給5個人，因為60的約數(shù)有2、3、4、5、6、10、12、15、20、30，在分的時候特別方便，這就容易體會刻畫角度的度分秒制為什么至今不變。至于十六進制，可以對分、對分、對分再對分，這就容易體會我國用十六進制作為斤兩換算的依據(jù)。

前兩個特征比較容易理解。第三個特征，也是最重要的特征是位值制，就是寫在不同位置上的數(shù)字代表不同的數(shù)量。位值制的發(fā)明意義非常重大，它是古人摸索了幾千年才找到的寶貴財富。古人在計數(shù)時，一開始，就是扳手指，或者用實物（譬如小石子）代數(shù)。譬如我們原先用1顆小石子代表數(shù)1，2顆小石子就代表數(shù)2，10顆小石子代表數(shù)10，11顆小石子代表數(shù)11，18顆小石子代表數(shù)18……這真叫“一是一，二是二”。這個階段只有一個數(shù)字“1”，別的數(shù)字是把1重疊使用得到的。本文開始故事里的丹尼就是用這種重疊法，不過他是把兩個“2”重疊起來。這個階段的特點有兩個：首先是“一是一”（這是基礎(chǔ)數(shù)字），其次是使用“重疊法”表示大一點的數(shù)。

隨著物質(zhì)的豐富，打到的獵物多了，這種計數(shù)方法的缺點慢慢地顯現(xiàn)出來。有個故事說，某小孩學(xué)數(shù)，先學(xué)了“一”，第二天學(xué)了“二”，第三天學(xué)了“三”，他說學(xué)數(shù)很容易，我都會了。既然“一、二、三”是用橫條重疊，“四”肯定也是啦！就以為“四”就是四橫，“五”就是五橫。這個孩子的名字叫萬百千，為了寫“萬”這個姓，一橫、兩橫、三橫……把這個孩子折磨得死去活來。

于是，計數(shù)法來了一次改進，進入“大數(shù)符號”的階段。

用一種東西代表更大的數(shù)，譬如1根小樹枝代表10，那么11就用1根小樹枝和1顆小石子表示。這根小樹枝就是一個大數(shù)符號。在這個“以一當(dāng)十、百、千……”的階段，除了1這個數(shù)字外，創(chuàng)造了新的符號代表較大的數(shù)，譬如羅馬人用V（大拇指和食指分開呈現(xiàn)的“虎口”狀）代表5，X（一正一反的兩個虎口）代表10，L代表50，C代表100，M代表1000，把新符號和原先的符號1重疊使用。

現(xiàn)在有的鐘表上的刻度還用羅馬數(shù)字。一、二、三就記為Ⅰ（1根豎棒）、Ⅱ（2根豎棒）、Ⅲ（3根豎棒）。五記為V，六則是虎口Ⅵ（豎棒在右），七、八當(dāng)然是Ⅶ和Ⅷ（豎棒在右）。我們注意到，幾個符號之間還是用重疊的方法。

為什么沒有提到四和九？按理九應(yīng)該是虎口V的右邊放4根豎棒，這樣做的話，顯得有點煩瑣。羅馬人創(chuàng)造了扣除法，就是把小的數(shù)放在大數(shù)的左面，表示從大數(shù)里扣除這個小數(shù)。4就是5-1，他們在V的左邊放1根豎棒，即用Ⅳ來表示。同樣的，在X左邊放1根豎棒，表示10-1=9，這是扣除法。

這個階段，增加了幾個大數(shù)的符號，即“以一當(dāng)十、百”等，再用“重疊法”“扣除法”，的確可以把所有的整數(shù)都表示出來。但后來人們發(fā)覺還是不方便，首先是太復(fù)雜，譬如2021應(yīng)該怎樣表示呢？其次是一會兒左減、一會兒右加，容易混淆。譬如19，記為XⅠX，應(yīng)該是先把中間一個Ⅰ和最后一個符號X結(jié)合“Ⅸ（9=10-1）”，然后再和左邊第一個符號X結(jié)合 “XⅠX（10+9=19）”。如果一不小心，可能會弄錯。

另一撥原始人計數(shù)的辦法有點別致，他們是這樣做的：先在地上挖了個坑（標(biāo)記為一號坑），在這個坑里放1顆小石子代表1，2顆小石子代表2……等10顆小石子滿了，在地上再挖二號坑，在這個二號坑里放1顆小石子，同時把一號坑里的10顆小石子全部撤去，這就表示10了。再在一號坑里放1顆小石子，2顆小石子……滿10以后，在二號坑里放入1顆小石子的同時撤去一號坑里的全部石子，這就是20……

同樣是1顆小石子，放在一號坑里和放在二號坑里代表的數(shù)量是不一樣的。這種計數(shù)法，就是位值制。前面故事里丹尼認(rèn)為“2+2=22”，他不知道“22”里的兩個“2”在不同的數(shù)位上所代表的意義不同。右面的代表2，左面的代表20！

位值制的產(chǎn)生是非常艱難的，羅馬人曾經(jīng)稱霸世界，但是他們沒有用位值制，和現(xiàn)今的位值制相比，羅馬人的計數(shù)法是多么麻煩??！

位值制，最早是由中國人發(fā)明的。追溯到商代（約公元前16、17世紀(jì)至公元前1045年左右），我國就已經(jīng)在使用十進位值制計數(shù)法了。英國著名科學(xué)史家李·約瑟博士曾推斷：在“印度數(shù)字”的背后，位值制早已在中國存在了兩千年，這是中華民族的驕傲。

總結(jié)一下，現(xiàn)今的計數(shù)法，主流是以阿拉伯?dāng)?shù)字表示的十進位值制計數(shù)法。

本文的最后，順便談一下零的問題。零的發(fā)明和使用被稱為人類偉大的發(fā)現(xiàn)之一，也是一個飛躍！

大多數(shù)學(xué)史家認(rèn)為0是印度人發(fā)明的。古印度人大約在公元前3世紀(jì)，掌握了數(shù)字符號1到9，但此時還不知道“0”，直到約公元5世紀(jì)，也即1到9數(shù)字符號發(fā)明之后的一千多年后，“0”這個符號才出現(xiàn)。請注意，是一千多年后！

你看，古人知道數(shù)字已經(jīng)幾千年，已經(jīng)會算圓周率，知道[2]，但是今天的幾歲小毛孩都知道的0，那時的大學(xué)者就是不知道，豈不怪哉！

但據(jù)李·約瑟博士的考證，“0”產(chǎn)生于中印文化，是中國人首先使用的位值制促進了零的出現(xiàn)，印度是在中國算籌和位值制的影響下才創(chuàng)造出“0”的。我們老祖宗的數(shù)字是用算籌擺放出來的，在要用0表示的場合，用空位來代替（流傳到現(xiàn)代的珠算，就是用空位表示0）。但數(shù)字中的空位，很容易引發(fā)錯誤，所以很自然地有人把銅錢擺在空位上。從本質(zhì)上說，我們的祖先已經(jīng)理解0的意義了。因此，即使說印度人首先使用了0這個符號，也應(yīng)該是在中國算籌和位值制的影響下才創(chuàng)造出來的，李·約瑟博士的話是有道理的。

（1.上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院? ?200235 2.上海市田林中學(xué)? ?200233）